1、第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(理)第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）主干知识梳理 一、分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法那么完成这件事共有N种不同方法 mn 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）二、分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N种不同的方法mn第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（
2、理）概率（文）基础自测自评1(教材习题改编)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有()A50个 B45个C36个D38个C 利用分类加法计数原理，共有8765432136个第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）2(教材习题改编)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有()A6种 B12种C24种D30种C 分步完成，甲、乙两人从4门课程中选1门有4种方法；甲从剩下的3门中选1门有3种方法；乙从剩下的2门中选1门有2种方法，故共有43224.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）3有4位教师在同一年级的4个班中各教一个
3、班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有()A8种B9种C10种D11种B 分四步完成，共有33119种第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）4由0，1，2，3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有_解析 由0，1，2，3可组成的四位数共有343192个，其中无重复的数字的四位数共有3A18个，故有19218174个答案 174第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）5(教材习题改编)5名毕业生报考三所中学任教，每人仅报一所学校，则不同的报名方法的种数是_解析 共有3333335243.答案 243第十章 计数原理、概率、随机变量
4、及其分（理）概率（文）关键要点点拨1两个原理的联系与区别：两个原理都是对完成一件事的方法种数而言的区别在于：(1)分类加法计数原理是“分类”，分步乘法计数原理是“分步”；(2)分类加法计数原理中每类方法中的每一种方法都能独立完成这件事，分步乘法计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事2对于较复杂的问题有时要两个原理综合使用，即先分类再分步或先分步再分类第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）典题导入(2014江西六校联考)若自然数n使得作竖式加法n(n1)(n2)均不产生进位现象，则称n为“良数”例如：32是“良数”，因为323334不产生进位现象；23不
5、是“良数”，因为232425产生进位现象那么小于1 000的“良数”的个数为()分类加法计数原理第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）A27 B36C39D48第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）听课记录 一位“良数”有0，1，2，共3个；两位数的“良数”十位数可以是1，2，3，两位数的“良数”有10，11，12，20，21，22，30，31，32，共9个；三位数的“良数”有百位为1，2，3，十位数为0的，个位可以是0，1，2，共339个，百位为1，2，3，十位不是零时，十位个位可以是两位“良数”，共有3927个根据分类加法计数原理，共有48个小于1 000的
6、“良数”答案 D第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）规律方法利用分类加法计数原理解题时，应注意：(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏(2)分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，且不能重复(3)对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）跟踪训练1(2012孝感统考)如图所示，在A、B间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通今发现A、B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有()第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）A9种 B11种C13种D
7、15种C 按照焊接点脱落的个数进行分类若脱落1个，则有(1)，(4)共2种；若脱落2个，有(1，4)，(2，3)，(1，2)，(1，3)，(4，2)，(4，3)共6种；若脱落3个，有(1，2，3)，(1，2，4)，(2，3，4)，(1，3，4)共4种；若脱落4个，有(1，2，3，4)共1种综上共有264113种焊接点脱落的情况第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）典题导入(1)用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A6个 B9个C18个D36个分步乘法计数原理 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文
8、）听课记录 由题意知，1，2，3中必有某一个数字重复使用2次第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法故共可组成33218个不同的四位数答案 C第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(2)(2014湖南长郡中学、衡阳八中等十二校一联)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1、2、9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1、5、9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有_种.123456789第十章 计数原理、概率
9、、随机变量及其分（理）概率（文）听课记录 把区域分为三部分，第一部分1、5、9，有3种涂法第二部分4、7、8，当5、7同色时，4、8各有2种涂法，共4种涂法；当5、7异色时，7有2种涂法，4、8均只有1种涂法，故第二部分共426种涂法第三部分与第二部分一样，共6种涂法由分步计数原理，可得共有366108种涂法答案 108第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）规律方法解决此类问题，首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法多少种，求其积注意 各步之间相互联系，依次完成后，才能做完这件事，即步与步之间的方法相互独立，逐步完成第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率
10、（文）跟踪训练2有0、1、2、8这9个数字(1)用这9个数字组成四位数，共有多少个不同的四位数？(2)用这9个数字组成四位密码，共有多少个不同的四位密码？解析(1)未强调四位数的各位数字不重复，只需首位不为0，依次确定千、百、十、个位，各有8、9、9、9种方法，共能组成8935 832个不同的四位数第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(2)每一位上的数字都有9种方法 共能组成946 561个不同的四位密码第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）典题导入(2012山东高考)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是
11、同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A232 B252 C472 D484两个原理的综合应用 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）听课记录 若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选 3张，若都不同色则有 C14C14C1464 种，若 2 张同色，则有 C23C12C24C14144(种)；若红色卡片有 1 张，剩余 2 张不同色，则有 C14C23C14C14192(种)，剩余 2 张同色，则有 C14C13C2472(种)，所以不同的取法有 6414419272472(种)答案 C第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）互动探究本例条件变
12、为“有5张卡片，它们的正、反面分别写着0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数”，问不同的三位数有多少个？解析 分两类：第一类，百位数字是1，有8648个三位数；第二类，百位数字不是1，有886384个三位数，根据分类计数原理共有48384432个三位数第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）规律方法用两个原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和得到总数；分步要做到“步骤完整”(2)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画圈的方法来帮助分析第十
13、章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）跟踪训练3已知集合M1，2，3，N4，5，6，7，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是()A18 B10C16D14第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）D M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有22个，在第二象限的点共有12个N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有22个，在第二象限的点共有22个所求不同的点的个数是2212222214(个)第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）【创新探究】分类
14、讨论思想在计数原理中的应用(2012四川高考)方程ayb2x2c中的a，b，c 3，2，0，1，2，3，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有()A60条 B62条C71条D80条第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）【思路导析】分 c0 和 c0 两种情况讨论【解析】显然方程 ayb2x2c 表示抛物线时，有 ab0，故该方程等价于 yb2a x2ca.(1)当 c0 时，从3，2，1，2，3中任取 2 个数作为 a，b 的值，有 A2520 种不同的方法，当 a 一定，b 的取值互为相反数时，对应的抛物线相同，这样的抛物线共有 4312 条，所
15、以此时不同的抛物线共有 A25614条；第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(2)当 c0 时，从3，2，1，2，3中任取 3 个数作为 a，b，c 的值有 A3560 种不同的方法，当 a，c 的值一定，而 b 的值互为相反数时，对应的抛物线相同，这样的抛物线共有 4A2324 条，所以此时不同的抛物线有 A351248 条 综上所述，满足题意的不同的抛物线有 144862 条【答案】B第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）【高手支招】分类加法计数原理体现了分类讨论思想在计数原理中的应用解决此类问题的关键是确定分类标准，做到不重复、不遗漏.第十章 计数原理、
16、概率、随机变量及其分（理）概率（文）体验高考1(2013福建高考)满足a，b1，0，1，2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A14B13C12D10第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）B 因为a，b1，0，1，2，可分为两类：当a0时，b可能为1或1或0或2，即b有4种不同的选法；当a0时，依题意得44ab0，所以ab1.当a1时，b有4种不同的选法，当a1时，b可能为1或0或1.即b有3种不同的选法，当a2时，b可能为1或0，即b有2种不同的选法根据分类加法计数原理，(a，b)的个数共有443213.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分
17、（理）概率（文）2(2012安徽高考)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为()A1或3B1或4C2或3D2或4第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）D 设6位同学分别用a，b，c，d，e，f表示若任意两位同学之间都进行交换共进行C15(次)交换，现共进行了13次交换，说明有两次交换没有发生，此时可能有两种情况：(1)由3人构成的2次交换，如ab和ac之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有b，c两人(2)由4人构成的2次交换，如ab和ce之间的交换
18、没有发生，则收到4份纪念品的有a，b，c，e四人故选D.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）3(2012新课标全国高考)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A12种B10种C9种D8种第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）A 利用分步乘法计数原理和组合数公式求解 分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有 C122(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有 C246(种)选派方法 由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有 2612(种)第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）课时作业
