1、上海市七宝中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.方程的解为_【答案】【解析】【分析】计算出的值，再转化在对应的余弦值，结合周期性质，即可解决。【详解】因为方程，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，以及三角函数的周期性。常用三角函数值需记忆。2.设为等差数列，若，则_【答案】【解析】【分析】根据等差数列的性质：在等差数列中若则即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查的等差数列的性质：若则，这一性质是常考的知识点，属于基础题。3.求值：_【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系：，以及反三角函数即可解决。【详解】由题意故答案为
2、：【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，同角角三角函数基本关系主要有: ,.属于基础题。4.函数，的值域是_【答案】【解析】【分析】首先根据的范围求出的范围，从而求出值域。【详解】当时，由于反余弦函数是定义域上的减函数，且所以值域为故答案为：【点睛】本题主要考查了复合函数值域的求法：首先求出内函数的值域再求外函数的值域。属于基础题。5.设数列的前项和，若，则的通项公式为_【答案】【解析】【分析】已知求，通常分进行求解即可。【详解】时，化为：时，解得不满足上式数列在时成等比数列时，故答案为： 【点睛】本题主要考查了数列通项式的求法:求数列通项式常用的方法有累加法、定义法、配凑法、累乘法等
3、。6.利用数学归纳法证明不等式“”的过程中，由“”变到“”时，左边增加了_项【答案】.【解析】分析：分析题意，根据数学归纳法的证明方法得到时，不等式左边的表示式是解答该题的突破口，当时，左边，由此将其对时的式子进行对比，得到结果.详解：当时，左边，当时，左边，观察可知，增加的项数是，故答案是.点睛：该题考查的是有关数学归纳法的问题，在解题的过程中，需要明确式子的形式，正确理解对应式子中的量，认真分析，明确哪些项是添的，得到结果.7.若在区间（且）上至少含有30个零点，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】首先求出在上的两个零点，再根据周期性算出至少含有30个零点时的值即可【详解】根据，即，故，
4、或，在区间（且）上至少含有30个零点，不妨假设（此时，），则此时的最小值为，（此时，），的最小值为，故答案为：【点睛】本题函数零点个数判断，解决此类问题通常结合周期、函数图形进行解决。属于难题。8.设数列的通项公式为，则_【答案】【解析】分析】根据数列的通项式求出前项和，再极限的思想即可解决此题。【详解】数列的通项公式为，则，则答案故为：【点睛】本题主要考查了给出数列的通项式求前项和以及极限。求数列的前常用的方法有错位相减、分组求和、列项相消等。本题主要利用了分组求和的方法。9.已知数列中，其前项和为，则_.【答案】377【解析】【分析】本题主要考查了已知数列的通项式求前和，根据题目分奇数项和
5、偶数项直接求即可。【详解】，则故答案为：377【点睛】本题主要考查了给出数列的通项式求前项和以及极限。求数列的前常用的方法有错位相减、分组求和、裂项相消等。本题主要利用了分组求和的方法。属于基础题。10.对于正项数列，定义为的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列的通项公式为_【答案】【解析】【分析】根据的定义把带入即可。【详解】-得故答案为：【点睛】本题主要考查了新定义题，解新定义题首先需要读懂新定义，其次再根据题目的条件带入新定义即可，属于中等题。11.中，则A的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由正弦定理将sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C 变为，然后用余弦定理推
6、论可求，进而根据余弦函数的图像性质可求得角A的取值范围。【详解】因为sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，所以，即 。所以 ，因为，所以。【点睛】在三角形中，已知边和角或边、角关系，求角或边时，注意正弦、余弦定理运用。条件只有角的正弦时，可用正弦定理的推论，将角化为边。12.关于的方程只有一个实数根，则实数_【答案】【解析】【分析】首先从方程看是不能直接解出这个方程的根的，因此可以转化成函数，从函数的奇偶性出发。【详解】设，则为偶函数，其图象关于轴对称，又依题意只有一个零点，故此零点只能是，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了函数奇偶性以及零点与方程的关系，方程的根就是对应函数
7、的零点，本题属于基础题。13.等差数列前项和为，已知，则_【答案】4028【解析】【分析】首先根据、即可求出和，从而求出。【详解】，得，即，即，故答案为：4028【点睛】本题主要考查了解方程，以及等差数列的性质和前项和。其中等差数列的性质:若则比较常考，需理解掌握。14.数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：， ，有如下运算和结论：；数列，是等比数列；数列，的前项和为；若存在正整数，使，则其中正确的结论是_（将你认为正确的结论序号都填上）【答案】【解析】分析：根据题中所给的条件，将数列的项逐个写出，可以求得，将数列的各项求出，可以发现其为等差数列，故不是等比数列，利用求和公式求得结果，结
8、合条件，去挖掘条件，最后得到正确的结果.详解：对于，前24项构成的数列是，所以，故正确；对于，数列是，可知其为等差数列，不是等比数列，故不正确；对于，由上边结论可知是以为首项，以为公比的等比数列，所以有，故正确；对于，由知，即，解得，且，故正确；故答案是.点睛：该题考查的是有关数列的性质以及对应量的运算，解题的思想是观察数列的通项公式，理解项与和的关系，认真分析，仔细求解，从而求得结果.二、选择题15.已知、都是公差不为0的等差数列，且，则的值为（）A. 2B. -1C. 1D. 不存在【答案】C【解析】【分析】首先根据求出数列、公差之间的关系，再代入即可。【详解】因为和都是公差不为零的等差数
9、列，所以设故，可得又因为和代入则故选：C【点睛】本题主要考查了极限的问题以及等差数列的通项属于基础题。16.设是公比为的无穷等比数列，若的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则数列是（）A. 公比为的等比数列B. 公比为的等比数列C. 公比为或的等比数列D. 公比为或的等比数列【答案】B【解析】【分析】根据题意可得，带入等比数列前和即可解决。【详解】根据题意，若的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则，又由是公比为的无穷等比数列，则，变形可得，则，数列为的奇数项组成的数列，则数列为公比为的等比数列；故选：B【点睛】本题主要考查了利用等比数列前项和计算公比，属于基础题。17.函数图象的一条对
10、称轴在内，则满足此条件的一个值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：令，此时，故选A考点：三角函数的性质18.若数列前项和为，则下列命题：（1）若数列是递增数列，则数列也是递增数列；（2）数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数；（3）若是等差数列（公差），则的充要条件是；（4）若是等比数列，则的充要条件是其中，正确命题的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【解析】（1）错.（2）错.数列的首项可以为负数.（3）错.（4）正确.三、解答题19.已知函数的图象与轴正半轴的交点为，（1）求数列的通项公式；（2）令（为正整数），问是否存在非零整数，使
11、得对任意正整数，都有？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）把点A带入即可（2）根据（1）的计算出、，再解不等式即可【详解】（1）设，得，所以 ；（2），若存在，满足恒成立即：，恒成立 当为奇数时，当为偶数时，所以，故： .【点睛】本题考查了数列通项的求法，以及不等式恒成立的问题，不等式恒成立是一个难点，也是高考中的常考点，本题属于较难的题。20.已知函数，.（1）求函数在上的单调递增区间；（2）在中，内角、所对边的长分别是，若，求的面积的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）首先把化成的型式，再根据三角函的单调性即可解决（2）
12、根据（1）结果把代入可得A的大小，从而计算出B的大小，根据正弦定理以及面积公式即可解决。【详解】（1）因为，由，得，又，所以或，所以函数在上递增区间为：，；（2）因为，在三角形中由正弦定理得，.【点睛】本题主要考查了三角函数问题以及解三角形问题。三角函数问题常考周期、单调性最值等，在解三角形中长考的有正弦定理、余弦定理以及面积公式。21. 已知函数f（x）=2sin（x），其中常数0（1）令=1，判断函数F（x）=f（x）+f（x+）的奇偶性，并说明理由；（2）令=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，对任意aR，求y=g（x）在区间a，a
13、+10上零点个数的所有可能值【答案】（1）F（x）既不是奇函数，也不是偶函数（2）21或20【解析】试题分析：（1）f（x）=2sinx，F（x）=f（x）+f（x+）=2sinx+2sin（x+）=2（sinx+cosx），F（）=2，F（）=0，F（）F（），F（）F（），所以，F（x）既不是奇函数，也不是偶函数（2）f（x）=2sin2x，将y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到y=2sin2（x+）+1的图象，所以g（x）=2sin2（x+）+1令g（x）=0，得x=k+或x=k+（kz），因为a，a+10恰含10个周期，所以，当a是零点时，在a，a+10上零点个数
14、21，当a不是零点时，a+k（kz）也都不是零点，区间a+k，a+（k+1）上恰有两个零点，故在a，a+10上有20个零点综上，y=g（x）在a，a+10上零点个数的所有可能值为21或20考点：函数y=Asin（x+）的图象变换；函数奇偶性的判断；根的存在性及根的个数判断点评：本题考查函数y=Asin（x+）的图象变换、函数的奇偶性、根的存在性及根的个数的判断，考查数形结合思想，结合图象分析是解决（2）问的关键22.已知数列满足：，.（1）求、；（2）求证：数列为等比数列，并求其通项公式；（3）求和.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）直接带入递推公式即可（2）证明
15、等于一个常数即可。（3）根据（2）的结果即可求出，从而求出。【详解】（1）， ，可得；，；（2）证明：，可得数列为公比为，首项为等比数列，即；（3）由（2）可得，【点睛】本题主要考查了根据通项求数列中的某一项，以及证明是等比数列和求前偶数项和的问题，在这里主要用了分组求和的方法。23.已知，为两非零有理数列（即对任意的，均为有理数），为一个无理数列（即对任意的，为无理数）（1）已知，并且对任意的恒成立，试求的通项公式；（2）若为有理数列，试证明：对任意的，恒成立的充要条件为；（3）已知，试计算【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据不等式可得，把代入即可解出（2）根据化简，利用为有理数即可解决（3）根据题意可知，本题需分为奇数和偶数时讨论，通过求出。【详解】（1），即，（2），为有理数列，为无理数列，以上每一步可逆（3），当时，当时，为有理数列，为有理数列，为无理数列，当时，当时，【点睛】本题数列的分类问题，数列通项式的求法、有关数列的综合问题等。本题难度、计算量较大，属于难题。