1、试卷第 1 页，共 6 页 哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学 2022 年高三第二次联合模拟考试 理科数学答案 一、选择题 1-6 A B C D B A 7-12 D B C A D A 12 题解析：（1）双曲线33xyx，以3xy和 y 轴为渐近线（2）双曲线两条渐近线的夹角为60，焦点所在的对称轴为3yx （3）解方程组333yxxyx，得223292xy，因此2226axy （4）223tan30,233baba；二、填空题 13.1000 此题答(12)1000也可以给分 14.1 4,15.33 16.三、解答题 17.（1）证明：设 AB 的中点为 M，连接1,B
2、M CM 1111,ABB AB BBABMADB BMBAD=正方形中，1BDB M，1AA 平面 ABC，CM 平面 ABC1AACM，又,ACBC MABCMAB=为中点，1ABAAA=，CM 平面11ABB A，-3 分 BD 平面11ABB ABDCM，111,B MCMM B MB CM=平面CM 平面1B CM，BD平面1B CM 1B C 平面1B CM，1BDB C -6 分（2）如图，以 B 为原点建立空间直角坐标系，则111(0,0,2),(3,1,1),(0,2,0)(3,1,1),(0,2,0)(3,1,1),(0,2,2)BDCBDBCB DB C=设平面 BDC
3、的法向量 n=111(,)x y z则00BD nBC n=，11113+0,20 xyzy=(1,0,3)n=取 -8 分 设平面1B DC 的法向量222(,)mx y z=则1100B D mB C m=，2222230220 xyzyz+=，取(0,1,1)m=-10 分 试卷第 2 页，共 6 页 则6cos,4n mn mn m=所以二面角1BDCB的余弦值为64.-12 分18.解：（1）若将上述表各中人数超过 25 人的 6 个班两两组合进行课后看护，共1533222426=ACCC种不同的方法，其中班级代号为 1，2 的两个班合班看护共322222422=ACCC种不同的方法
4、，记 A 表示事件”班级代号为 1，2 的两个班合班看护“则其概率31()155P A=-4 分（2）X 的可能取值为 0，1，2，3 61)0(31036=CCXP，21)1(3102614=CCCXP，103)2(3101624=CCCXP，301)3(31034=CCXP -8 分 X 的分布列为：X 0 1 2 3 P 61 21 -10 分 数学期望11316()01236210305E X=+=.-12 分 19.设等差数列 na的公差为d，由条件，11111334()(2)7adadad adad+=+=+，-1 分 解得100ad=，或112ad=，0d，112ad=11)22
5、1nann=+=（-3 分 2211320nn nnbb bb+=，11()(3)0nnnnbbbb+=，0nb，113nnbb+=又110,0,nbb=，113nnbb+=，nb是以 1 为首项，13为公比的等比数列.113nnb=-6 分 103301试卷第 3 页，共 6 页（2）111(),21,6621313nnnnnnbananb+=+，即，即273nn恒成立-7 分 设273nnnc=，则11125274(4)333nnnnnnnncc+=，-9 分 即1111,2,345,*,nnnnnnnccnccnnNcc+=时；时；时 14581nnncc=或 时，为 的最大项.-11
6、分 181，故实数 的最小值为 181.-12 分 20.解：（1）()(1)(2)xfxxae=+，则(0)2fa=，由已知(2)1aa=，故1a=-2 分（2）()(1)(2)xfxxae=+()当0a 时，20 xae，则()f x 在(,1)上单调递增，在(1,)+上单调递减；-3 分()当0a 时，令20 xae=，得2lnxa=，02ae时，2ln1a ，则()f x 在(,1)上单调递增，在2(1,ln)a上单调递减，在2(ln,)a+上单调递增；-4 分 2ae=时，1()2(1)(1)0 xfxxe+=+，则()f x 在(,)+上单调递增；-5 分 2ae时，2ln1a ，
7、则()f x 在2(,ln)a上单调递增，在2(ln,1)a 上单调递减，在(1,)+上单调递增.-6 分 （3）（方法一）2()ln2(0)f xxxxx等价于ln10(0)xaxexxx+当21ae时，2ln1ln1(0)xxaxexxxexxx+-7 分令2()ln1xg xxexx=+，21()(1)()xg xxex=+令21()xh xex=，则()h x 在区间(0,)+上单调递增1(1)10he=，1(2)02h=，存在0(1,2)x，使得0()0h x=，即0 201xex=，002lnxx=-10 分试卷第 4 页，共 6 页 当0(0,)xx时，()0g x，则()g x
8、 在0(0,)x上单调递减，当0(,)xx+时，()0g x，则()g x 在0(,)x+上单调递增0 2min000000001()()ln1210=+=+=xg xg xx exxxxxx()0g x，故2()ln2f xxxx -12 分（方法二）当21ae时，2ln1ln1(0)xxaxexxxexxx+-7 分2ln2()ln1(ln2)1xx xg xxexxexx+=+=+-9 分令ln2txx=+，则tR，-10 分令()1tk tet=，则()1tk te=当0t 时，()0k t；当0t 时，()0k t()k t 在区间(,0)上单调递减，(0,)+上单调递增.()(0)
9、0k tk=，即()0g x 2()ln2f xxxx-12 分21.1）焦点2(,0),(3)42 522=+=ppFFP02=pp 抛物线 E 的标准方程为24yx=-2 分（2）显然，直线 AB 斜率存在，设 AB 的方程为2(3)=+yk x 由22(3)4=+=yk xyx得，2248 120,0,16(321)0,kyykkkk+=+设1122(,),(,)A x yB x y，则121248,12+=+yyy ykk，1212122()=+y yyy -直线 AC 的方程为2114=yyyx，由211244=yyyxyx得，2221111440164 4)0yyyyyy+=，(，
10、设 33(,)C x y 则134+=yy -由得32322323(4)122(4),2()20y yyyyyy y=+=+-4 分 试卷第 5 页，共 6 页（i）若直线 BC 没有斜率，则230yy+=，又23232()20yyy y+=+，22333205,4yyx=，5.BCx=的方程为 -5 分（ii）若直线 BC 有斜率，为2323234=+yyxxyy，直线 BC 的方程为222234()4=+yyyxyy，即23234()0+=xyy yy y，将代入得23234()2()200+=xyy yyy，23()(2)4(5)0yyyx+=，故直线 BC 有斜率时过点(5,2).由（
11、i）（ii）知，直线 BC 过点(5,2).-8 分(3)112121211|8422SPQyyyyyy=22323231211|844422SPQyyyyyyyy=+-9 分 由（2）得121248,12+=+yyy ykk，21221632432148|kkyykkk+=21016(321)0,1,0,3kkkkk=+，且 221212124321321441|4yySkkkkSyykkk+=+-10 分 设11,kutu=，2221222(2)(32)3844834(1)1SuuuutttSuu+=+1311,0,(,1)1)322kkt 且（，-24(1)1(0,1)t+，故12(0,
12、1).SS 的取值范围是 -12 分 22 解(1)12,2OABOAOBC=极点 为的中点，的极坐标方程为,221,xyC=+由得的直角坐标方程为224,xy+=-3 分 cos()6,cossin6 20,4+=由得 试卷第 6 页，共 6 页 cos,sin,6 20.xylxy=的直角坐标方程为 -5 分(2)由2262xxyy =，得226xxyy=，代入224,xy+=得224246xy+=所以2C 的普通方程为 22126xy+=，2C 的参数方程为 2 cos,(6 sinxy =为参数），-7 分 设(2 cos,6 sin)P 为2C 上任意一点，点P 到 l 的距离为d，
13、则2 2 cos+-22 cos-6 sin-6 23=62cos()322d=+（）6 所以 当maxcos+)183d=(时,，当mincos()143d+=时，所以 P 到 l 的距离的取值范围是4,8 -10 分 23.解：（1）方法一：12,211()4,2212,2xf xxxx=，1 1(),2 2f x在上单调递减，所以()f x 的值域为2,2 -2 分 方法二：2121(21)(21)2xxxx+=，当且仅当(21)(21)0 xx+，即12x 或12x 等号取到 221212xx +，所以()f x 的值域为2,2 原不等式222244160 x yxy+2224)4(4)0（x yy+224)(4)0（yx 2222,22,(4)(4)0 xyyx 成立，22221644.x yxy+成立 -5 分（2）由（1）得2,2ab=，22,21yzyz+5(2)2(2)2221 2 25zyzyzyzyz=+=，1.z -10 分
