1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 选修2-2 推理与证明 第二章 2.3 数学归纳法第二章 课堂典例探究 2课 时 作 业 3课前自主预习 1课前自主预习从前有一位画家，为了测试他的三个徒弟对绘画奥妙的掌握程度，就把他们叫来，让他们用最少的笔墨，画出最多的马第一个徒弟在卷子上密密麻麻地画了一群马；第二个徒弟为了节省笔墨，只画出许多马头；第三个徒弟在纸上用笔勾画出两座山峰，再从山谷中走出一匹马，后面还有一匹只露出半截身子的马三张画稿交上去，评判结果是最后一幅画被认定为佳作，构思巧妙，笔墨经济，以少胜多！这第三张画稿只画了一匹半马，为何能胜过一群马呢？你知道其中蕴含的数学原理吗
2、？1.我们在玩多米诺骨牌游戏时，只要任意相邻的两块骨牌之间的距离保持适中，即前一块骨牌倒下时能砸倒后一块，那么在推倒第一块骨牌后，会出现怎样的情形？2什么叫归纳法？答案：1.在推倒第一块骨牌后，就会导致第二块骨牌倒下，而第二块倒下，又导致第三块倒下，以此类推，直到全部倒下2由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫归纳法根据考察的对象是全部还是部分，归纳法又分为：完全归纳法和不完全归纳法.一、数学归纳法 1定义：一个与自然数相关的命题，如果(1)当 n 取第一个值 n0 时命题成立；(2)在假设 nk(kN，且 kn0)时命题成立的前提下，推出当 nk1 时命题也成立，那么可以断定，
3、这个命题对 n取第一个值后面的所有正整数成立。2证题时的具体步骤第一步，证明当 n 取第一个值 n0(例如 n01 或 2 时结论正确)；第二步，假设当 nk(kN且 kn0)时结论正确，证明当nk1 时结论也正确在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确，注意：(1)第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可(2)用数学归纳法证明有关问题的关键在于第二步，即nk1时为什么成立？nk1时成立是利用假设nk时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出nk1时成立，而不是直接代入，否则nk1时也成假设了，命题并没有得
4、到证明(3)数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题，的证明，如与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、几何问题、探求数列的通项和前n项和等问题用数学归纳法证明某命题时，左式为12coscos3cos(2n1)(k，kZ，nN*)，在验证 n1 时，左边所得的代数式为()A.12 B.12cosC.12coscos3D.12coscos3cos5答案 B解析 令 n1，左式12cos.故选 B.导学号05300528二、数学归纳法的应用数学归纳法常用来解决与正整数有关的问题，具有广泛的应用1证明等式证明这类命题是“一凑一变”，突出“变”字，“凑”是指由nk1的左端凑出nk的左端，或由nk的
5、左瑞凑出nk1的左端；“变”是指把拼凑的式子变为nk1的右端2证明不等式证明这类题的关键是“一凑一证”，常结合其他方法(如放缩法等)完成“一证”3证明整除问题证明这类问题的关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬提公因式”，即将 nk 时的项从 nk1 时的项中“硬提出来”，构成 nk 的项，后面的式子相对变形，使之与 nk1 时的项相同，从而达到利用假设的目的4证明几何问题此类问题证明的关键是要弄清楚当由 nk 推导 nk1 的情形时，几何图形的变化规律5证明数列问题数列与数学归纳法有着非常密切的关系，我们知道，数列是定义在 N(或它的有限子集1,2,3，n)
6、上的函数，这与数学归纳法运用的范围是一样的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上也是一致的为此数列中有不少问题都可用数学归纳法予以证明，诸如数列的通项，前 n 项和 Sn 的增减性、有界性等，既可以是恒等式，也可以是不等式，没有固定的格式，有一定的综合性，是最近几年高考的热点问题之一，证明时要灵活应用题目中的已知条件，充分考虑“假设”这一步的应用，不利用假设而进行的证明不是数学归纳法已知数列an的通项公式 an42n12，数列bn的通项满足 bn(1a1)(1a2)(1an)，试证明：bn2n112n.证明(1)当 n1 时，a14，b1143，b12111213，等式成立导学号05300529
7、(2)假设 nk(k1，kN)时等式成立，即 bk2k112k，那么 nk1 时，有 bk1(1a1)(1a2)(1ak)(1ak1)bk(1ak1)2k112k142k122k1112k1，也就是说 nk1 时，等式也成立由(1)(2)可知，等式对任何正整数 n 都成立三、数学归纳法与“观察归纳猜想证明”近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现成的结论，而且加强了对归纳推理的考查，既要求归纳、发现结论，又要求能证明结论的正确性，形成了“观察归纳猜想证明”的思维模式，它是数学归纳法的重点题型，也是近几年高考的热点在中学阶段，这方面的题型主要有以下几方面：已知数列的递推公式，求通项或前
8、n 项和；由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在；给出一些简单的命题(n1,2,3，)，猜想并证明对任意自然数 n 都成立的一般性命题这类问题涉及的知识内容是很广泛的，可以涵盖前面几节所讲述的所有内容：代数、三角恒等式、不等式、数列、几何问题、整除性问题等解题一般分三步进行：验证 p(1)、p(2)、p(3)、p(4)、；提出猜想；用数学归纳法证明在数列an，bn中，a12，b14，且 an，bn，an1 成等差数列，bn，an1，bn1 成等比数列(nN)求 a2，a3，a4 及 b2，b3，b4，由此猜测an，bn的通项公式，并证明你的结论解析 由条件得 2
9、bnanan1，a2n1bnbn1.由此可以得 a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜测 ann(n1)，bn(n1)2.导学号05300530用数学归纳法证明：当 n1 时，由上可得结论成立假设当 nk(kN)时，结论成立，即 akk(k1)，bk(k1)2，那么当 nk1 时，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，bk1a2k1bk(k2)2，所以当 nk1 时，结论也成立由，可知 ann(n1)，bn(n1)2 对一切正整数都成立四、运用归纳假设证明 nk1 时的技巧1拆项添项2紧盯目标3改变途径4巧妙转化证明：1n1 1n213n11(nN)证明(
10、1)当 n1 时，不等式显然成立(2)假设当 nk(kN)时，不等式成立当 nk1 时，不 等 式 左 边 1k2 1k3 13k1 13k2 13k3 13k11(1k21k313k1)(13k213k313k11)1(13k213k313k4 1k1)导学号05300531欲证左边1，只需证13k213k313k4 1k10.13k213k313k4 1k16k63k23k423k118k1223k23k433k23k4k1233k23k4k10.故当 nk1 时，不等式也成立根据(1)和(2)，知不等式对任意的 nN都成立课堂典例探究用数学归纳法证明等式证 明：113 135 12n12
11、n1 n2n1.(nN*)导学号05300532分析 第一步验证 n 取第一个正整数 1 时等式成立，第二步假定 nk(kN*)时命题成立，即11313512k12k1k2k1成立，并以此作为条件来推证等式 11313512k12k112k12k3k12k11成立证明(1)当 n1 时，左边 11313，右边121113，左边右边，所以等式成立(2)假设 nk(k1)时等式成立，即有 113 13512k12k1k2k1，则当 nk1 时，113 13512k12k112k12k3 k2k112k12k3 k2k312k12k3 2k23k12k12k3 k12k3k12k11.所以当 nk1
12、 时，等式也成立由(1)、(2)可知，对一切 nN*等式都成立方法总结 证明过程的关键是第二步由 nk 到 nk1的过渡，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝 nk1证明目标的表达式变形nN*，求证：112131412n1 12n 1n1 1n2 12n.证明(1)当 n1 时，左边11212，右边 11112.左边右边(2)假设 nk 时等式成立，即 112131412k1 12k 1k1 1k2 12k，导学号05300533则当 nk1 时，112131412k1 12k 12k112k21k1 1k2 12k 12k112k2 1k2 1k312k112k2.即当 nk1 时，等式也
13、成立综合(1)、(2)可知，对一切 nN*，等式成立.用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明：1 122 132 1n221n(n2，nN*)证明 1当 n2 时，1 1225432212，命题成立2假设 nk(k2)时命题成立，即 1 122 1321k221k.当 nk1 时，1 122 1321k21k1221k1k1221k1kk121k1k 1k12 1k1命题也成立由 1、2知原不等式在 n2，nN*时均成立导学号05300534方法总结 用数学归纳法证明不等式常常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小技巧变换出要证明的目标不等式本例中用1k121kk1放缩求证：1n2
14、11213 12n12n(nN*)证明 设 f(n)11213 12n.(1)当 n1 时，f(1)112，原不等式成立(2)设 nk(kN*)时，原不等式成立即 1k21121312k12k 成立导学号05300535当 nk1 时，f(k1)f(k)12k112k2 12k11k212k112k2 12k11k2 12k1 12k1 12k11k2121k12f(k1)f(k)12k112k2 12k112k12k112k2 12k1n2(nN)时，由 nk 递推到 nk1 时，左边增加的项数是_，增加的式子是_错解 当 nk(kN)时，左边1121312k1；当 nk1 时，左边1121
15、312k112k11.所以左边增加的项数是 1 项，增加的式子是12k11.导学号05300543辨析 仔细观察 nk 变为 nk1 时有何变化，需认真观察式子的特点，特别注意第 n 项并非它的通项因分母是连续增大的正整数，所以12k1的后面一项为12k，接着的项为12k1，12k2，12k3，12k11，即 nk1 时，左边1121312k1 12k12k112k11，所以增加的式子为 12k12k112k11，因为12k11122k112k2k1，所以增加的项数为 2k 项正解 2k 12k12k112k11数学归纳法数学归纳法定义了解数学归纳法证明步骤掌握数学归纳法的应用掌握课 时 作 业（点此链接）
