1、 高二下期第三次考试数学（理科试题）一、单选题（每题5分，共60分）1已知，则在复平面内复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2将上所有点经过伸缩变换：后得到的曲线方程为（）ABCD3设双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（）ABCD4已知函数的导函数为，且满足，则（）ABCD5已知椭圆过点且与双曲线有相同焦点，则椭圆的离心率为（）ABCD6关于的方程，有下列四个命题：甲：是方程的一个根；乙：是方程的一个根；丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则假命题是（）A甲B乙C丙D丁7已知函数，则的大致图象为（）ABCD8设，则a，b，c的大小关
2、系为（）ABCD9已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（）A3B4CD610动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（）ABCD11已知点O为坐标原点，点F是椭圆的左焦点，点，分别为C的左，右顶点，点P为椭圆C上一点，且轴，过点A的直线l交线段PF于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE上靠近O点的三等分点，则椭圆C的离心率（ ）ABCD12已知函数，若，则的最大值为（）ABCD二、填空题（每题5分，共20分）13设为虚数单位，复数的实部与虚部的和为12，则_.14过点的直线与抛物线交于，两点，点在轴上方，若，则直线的斜率_.15已知函数，若
3、这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则_16若不等式恒成立，则实数的最小值为_.三、解答题（第17题10分，其余试题每题12分）17（本题10分）已知抛物线上一点到焦点F的距离为4(1)求实数p的值；(2)若过点的直线l与抛物线交于A，B两点，且，求直线l的方程18（本题12分）已知函数在处有极值.(1)求实数的值；(2)求函数在上的最值.19（本题12分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位已知圆和圆的极坐标方程分别是和(1)求圆和圆的公共弦所在直线的直角坐标方程；(2)若射线与圆的交点为P，与圆的交点为Q，求的值20（本题12
4、分）如图所示，在四棱锥中，平面ABCD，且，.(1)求证：平面；(2)若E为PC的中点，求与平面所成角的正弦值.21（本题12分）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，离心率，点E在椭圆C上，的面积的最大值为(1)求C的方程；(2)设C的上、下顶点分别为A，B，点M是C上异于A，B的任意一点，直线MA，MB分别与x轴交于P，Q两点，O为坐标原点，证明： 为定值22（本题12分）已知函数(1)若，求函数的图像在处的切线方程；(2)若，是函数的两个极值点，求的取值范围，并证明： 高二下期第三次考试数学（理科答案）一、选择题答案1A 2D 3A 4C 5C 6A 7C 8D 9B 10A 11D 12D
5、11【分析】根据题设条件，画出图形，设OE上靠近O点的三等分点为N，利用平行关系建立比例式，即可求出椭圆离心率作答.【详解】如图，设OE上靠近O点的三等分点为N，椭圆的半焦距为c，轴，则，在中，在中，由，得，而，则，即，解得，又，于是，所以椭圆C的离心率.12D【分析】分析函数的单调性，设，可得出，构造函数，利用导数求出函数的最大值，即可得解.【详解】因为，则函数在上单调递减，在上单调递增，不妨设，有，可得，有，令，有，令，可得，令，可得，可得函数的增区间为，减区间为，可得，故的最大值为.二、填空题 132 14 15/ 1616、【详解】令，则，所以在上单调递增，由恒成立，得恒成立，得恒成立
6、，即恒成立，因为在上单调递增，所以恒成立，即恒成立，令，则，由，得；由，得，所以在上为增函数，在上为减函数，所以，所以，所以的最小值为.17(1) (2)或【详解】（1）由抛物线的几何性质知：P到焦点的距离等于P到准线的距离， ，解得：；（2）由（1）知抛物线，则焦点坐标为F，显然直线l斜率不为0，设直线l为：，联立直线与抛物线方程：，得：，则，则所以 ，解得，所以直线l为：或；综上， ，直线l为：或.18(1) (2)【详解】（1），解得，则，若，则；若，则或,即函数在处有极大值且极大值为，符合题意，故：（2）由（1）知，若，则；若，则或,在上单调递增，在上单调递减,又，.19(1)圆，即，
7、则，圆，即，则，两式相减得到两圆公共弦所在直线的直角坐标方程为：(2)将代入圆和圆的极坐标方程得：，所以20(1)证明见解析(2)【详解】（1）作，垂足为，易证，四边形为正方形.所以，.又，因为，所以.因为平面，平面，所以.又，平面，平面，所以平面.（2）以点为坐标原点，以所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.则，.设平面的法向量为，由，得，令，可得平面的一个法向量为.设与平面所成角为，则.21(1)(2)证明见解析【详解】（1）设C的半焦距为，由题意可得，解得，所以C的方程为（2）由（1）可得，设椭圆上任意一点，所以直线AM的方程为，令，得，即同理可得 ，所以，在椭圆上，则，整理得，（为定值）.22(1) (2)，证明见解析【详解】（1）当时，所以，所以函数的图像在处的切线方程为，即（2）因为，所以，由题意知是方程在内的两个不同的实数解，令，又，且函数图像的对称轴为直线，所以只需， 解得，即实数的取值范围为，由是方程的两根，得，故，又，所以
