1、2015-2016学年河北省衡水市冀州中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共l2个小题，每小题5分，共60分每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1若集合A=x|，B=x|x22x，则AB=（）Ax|0x1Bx|0x1Cx|0x1Dx|0x12“|b|2是“直线y=x+b与圆x2+y24y=0相交”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3若角的终边上有一点P（1，m），且sincos=，则m的值为（）ABC或D4下列叙述正确的是（）A命题：xR，使x3+sinx+20的否定为：xR，均有x3+sinx+20B命题：若x2=1，则x=
2、1或x=1的逆否命题为：若x1或x1，则x21C己知nN，则幂函数y=x3n7为偶函数，且在（0，+）上单调递减的充要条件为n=1D把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移个单位，可以得到函数y=cos2x的图象5已知等差数列an中，|a3|=|a9|，公差d0；Sn是数列an的前n项和，则（）AS5S6BS5S6CS6=0DS5=S66P是ABC所在平面内一点，若=+，其中R，则P点一定在（）AABC内部BAC边所在直线上CAB边所在直线上DBC边所在直线上7已知函数f（x）=sin（2x+），其中为实数，若|对xR恒成立且，则下列结论正确的是（）ABCf（x）是奇函数D是f（x）的单调递增
3、区间8已知A、B、C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2+x+=成立的实数x的取值集合为（）A1BC0D0，19在各项均为正数的等比数列an中，（a1+a3）（a5+a7）=4a42，则下列结论中正确的是（）A数列an是递增数列B数列an是递减数列C数列an是常数列D数列an有可能是递增数列也有可能是递减数列10将石子摆成如图所示的梯形形状称数列5，9，14，20，为“梯形数”根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差，即a20145=（）A2 0182 012B2 0202 013C1 0092 012D1 0102 01311设sin0，cos0，且sincos，则的
4、取值范围是（）A（2k+，2k+），kZB（ +， +），kZC（2k+，2k+），kZD（2k+，2k+）（2k+，2k+），kZ12已知函数y=sinx+acosx的图象关于对称，则函数y=asinx+cosx的图象的一条对称轴是（）Ax=Bx=Cx=Dx=二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸中的横线上）.13设向量=（cos，sin），=（cos，sin），其中0，若|2+|=|2|，则14数列an满足an+1=，若a1=，则a2016=15已知函数f（x）=sin2x+2cos2x1，有下列四个结论：函数f（x）在区间，上是增函数；点（，0）是函数f
5、（x）图象的一个对称中心；函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象向左平移得到；若x0，则f（x）的值域为0，则所有正确结论的序号是16已知数列an满足a1=15，则的最小值为三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17已知命题p：x1和x2是方程x2mx2=0的两个实根，不等式a25a3|x1x2|对任意实数m1，1恒成立；命题q：不等式ax2+2x10有解，若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围18在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a=，b=3， sinB+sinA=2（） 求角A 的大小；（） 求A
6、BC 的面积19数列an是等差数列，若公差d0，a1=1，且a3是a1，a9的等比中项（1）求数列an的通项公式（2）若对任意的nN*，不等式+恒成立，求实数的取值范围20如图，函数f（x）=Asin（x+）（其中A0，0，|）的图象与坐标轴的三个交点为P，Q，R，且P（1，0），Q（m，0）（m0），PQR=，M为QR的中点，|PM|=（）求m的值及f（x）的解析式；（）设PRQ=，求tan21设二次方程anx2an+1x+1=0（nN*）有两根、，且满足62+6=3（1）试用an表示an+1；（2）求证：an是等比数列；（3）若a1=，求数列an的通项公式22已知数列an满足：a1=1，a
7、n+1ansin2=sin2cos2n（）当=时，求数列an的通项公式；（）在（）的条件下，若数列bn满足bn=sin，Sn为数列bn的前n项和，求证：对任意nN*，Sn3+2015-2016学年河北省衡水市冀州中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共l2个小题，每小题5分，共60分每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1若集合A=x|，B=x|x22x，则AB=（）Ax|0x1Bx|0x1Cx|0x1Dx|0x1【考点】交集及其运算【分析】分别求解分式不等式和一元二次不等式化简集合A与集合B，然后直接利用交集运算求解【解答】解：由，得，解得0x1
8、所以x|=x|0x1，又B=x|x22x=x|0x2，所以AB=x|0x1x|0x2=x|0x1故选A【点评】本题考查了交集及其运算，考查了分式不等式及二次不等式的解法，是基础的运算题2“|b|2是“直线y=x+b与圆x2+y24y=0相交”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由直线y=x+b与圆x2+y24y=0相交，可得2，解出即可判断出【解答】解：圆x2+y24y=0配方为：x2+（y2）2=4，可得圆心C（0，2），半径R=2若直线y=x+b与圆x2+y24y=0相交，则2，解得2b6，因此“|b|2是
9、“直线y=x+b与圆x2+y24y=0相交”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3若角的终边上有一点P（1，m），且sincos=，则m的值为（）ABC或D【考点】任意角的三角函数的定义【分析】由条件利用考查任意角的三角函数的定义，求得m的值【解答】解：角的终边上有一点P（1，m），sin=，cos=再根据sincos=，可得=，求得m=或m=，故选：C【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题4下列叙述正确的是（）A命题：xR，使x3+sinx+20的否定为：xR，均有x3+sinx
10、+20B命题：若x2=1，则x=1或x=1的逆否命题为：若x1或x1，则x21C己知nN，则幂函数y=x3n7为偶函数，且在（0，+）上单调递减的充要条件为n=1D把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移个单位，可以得到函数y=cos2x的图象【考点】命题的真假判断与应用；命题的否定；函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】逐项判断即可A、根据特称命题的否定形式判断；B、x=1或x=1的否定为：x1且x1；C、根据幂函数的性质易得；D、图象向左平移，应把x换成x+，从而得到D错误【解答】解：A、根据特称命题的否定可知A错误；B、原命题的逆否命题应为：“若x1且x1，则x21”，故B错误；C、
11、因为幂函数为偶函数，所以3n7为偶数，又函数为减函数，所以3n70，得：n2，故n=1，所以C正确；D、把函数y=sin2x的图象向左平移个单位所得函数的解析式为y=sin2（x+）=sin（2x+）=sin2x，故D错误故选：C【点评】本题考查了含有一个量词的命题的否定，逆否命题，幂函数的性质以及函数图象的平移考查基本知识的掌握情况属于基础题5已知等差数列an中，|a3|=|a9|，公差d0；Sn是数列an的前n项和，则（）AS5S6BS5S6CS6=0DS5=S6【考点】等差数列的性质【分析】先根据d0，|a3|=|a9|确定a30，a90，且a3+a9=0，进而根据等差中项性质可知a6=
12、0，进而可推断a50，a70；最后根据S6=S5+a6进而推断出S6=S5【解答】解：d0，|a3|=|a9|，a30，a90，且a3+a9=0，a6=0，a50，a70；S5=S6故选D【点评】本题主要考查了等差数列的性质属基础题6P是ABC所在平面内一点，若=+，其中R，则P点一定在（）AABC内部BAC边所在直线上CAB边所在直线上DBC边所在直线上【考点】向量在几何中的应用【分析】根据，代入，根据共线定理可知与共线，从而可确定P点一定在AC边所在直线上【解答】解：，=，则，即与共线，P点一定在AC边所在直线上，故选B【点评】本题主要考查向量的共线定理，要证明三点共线时一般转化为证明向量
13、的共线问题属于中档题7已知函数f（x）=sin（2x+），其中为实数，若|对xR恒成立且，则下列结论正确的是（）ABCf（x）是奇函数D是f（x）的单调递增区间【考点】正弦函数的单调性【分析】利用正弦函数的对称性与单调性，可求得=2k+（kZ），于是得到f（x）=sin（2x+），再对A、B、C、D四个选项逐一分析判断即可【解答】解：f（x）=sin（2x+），|对xR恒成立，x=为函数f（x）的一条对称轴，2+=k+（kZ）；=k+（kZ）；又，sin（+）sin（2+），sin0，=2k+（kZ），f（x）=sin（2x+）；对于A，f（）=sin（+）=0，故A错误；对于B，f（）=si
14、n（+）=sin（+）sin（+）=f（），故B错误；对于C，f（0）=sin=0，故f（x）不是奇函数，故C错误；对于D，当x0，时，（2x+），f（x）=sin（2x+）为增函数，故D正确故选：D【点评】本题考查正弦函数的图象与性质，着重考查正弦函数的对称性、奇偶性与单调性的综合判断，考查分析、运算能力，属于中档题8已知A、B、C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2+x+=成立的实数x的取值集合为（）A1BC0D0，1【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】利用向量的运算法则将等式中的向量都用以o为起点的向量表示，利用三点共线的条件列出方程求出x【解答】解：，即即A，B
15、，C共线，x2+1x=1，解得x=0，1当x=0时，此时B，C两点重合，不合题意故选A【点评】本题考查向量的运算法则、三点共线的充要条件：A，B，C共线，其中x+y=19在各项均为正数的等比数列an中，（a1+a3）（a5+a7）=4a42，则下列结论中正确的是（）A数列an是递增数列B数列an是递减数列C数列an是常数列D数列an有可能是递增数列也有可能是递减数列【考点】等比数列的性质【分析】由条件利用等比数列的定义和性质可得+=2，设公比为q，则得q4+q8=2q6，求得 q2=1，q=1，由此得出结论【解答】解：各项均为正数的等比数列an中， 成立，即 a1a5+a1a7+a3a5+a3
16、a7=4成立利用等比数列的定义和性质化简可得+=4，进一步化简得+=2设公比为q，则得q4+q8=2q6，化简可得 1+q4=2q2，即 （q21）2=0，q2=1，故q=1，故此等比数列是常数列，故选：C【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，求得 q2=1，是解题的关键，属于中档题10将石子摆成如图所示的梯形形状称数列5，9，14，20，为“梯形数”根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差，即a20145=（）A2 0182 012B2 0202 013C1 0092 012D1 0102 013【考点】归纳推理【分析】根据前面图形中，编号与图中石子的个数之间的关系，分析他们之间存
17、在的关系，并进行归纳，用得到一般性规律，即可求得结论【解答】解：由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n=1时，a1=2+3=（2+3）2；n=2时，a2=2+3+4=（2+4）3；由此我们可以推断：an=2+3+（n+2）=2+（n+2）（n+1）a20145=2+（2014+2）（2014+1）5=10102013故选D【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）11设sin0，cos0，且sincos，则的取值范围是（）A（2k+，2k+），kZB（ +， +），kZC（2k+
18、，2k+），kZD（2k+，2k+）（2k+，2k+），kZ【考点】三角函数线【分析】通过已知条件判断角的范围，推出的范围，利用不等关系式，求解即可【解答】解：由sin0，cos0，故+2k+2k，kZ，故+，当k=3n时， +2n+2n，由sincos，故+2n+2n，nZ当k=3n+1时， +2n+2n，故+2n+2n，nZ，符合sincos当k=3n+2时， +2n+2n，故+2n+2n，nZ，不符合sincos综上， +2n+2n或+2n+2n，nZ，即， +2k+2k或+2k+2k，kZ，故选：D【点评】本题考查三角函数的化简求值，三角函数的不等式的应用，注意角的范围以及三角函数线分
19、类讨论思想的应用12已知函数y=sinx+acosx的图象关于对称，则函数y=asinx+cosx的图象的一条对称轴是（）Ax=Bx=Cx=Dx=【考点】正弦函数的对称性【分析】函数y=sinx+acosx变为y=sin（x+），tan=a又图象关于对称， +=k+，kz，可求得=k，由此可求得a=tan=tan（k）=，将其代入函数y=asinx+cosx化简后求对称轴即可【解答】解：y=sinx+acosx变为y=sin（x+），（令tan=a）又图象关于对称，+=k+，kz，可求得=k，由此可求得a=tan=tan（k）=，函数y=sinx+cosx=sin（x+），（tan=）其对称轴
20、方程是x+=k+，kz，即x=k+又tan=，故=k1，k1z故函数y=asinx+cosx的图象的对称轴方程为x=（kk1）+=（kk1）+，kk1z，当kk1=1时，对称轴方程为x=故选A【点评】本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性质，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸中的横线上）.13设向量=（cos，sin），=（cos，sin），其中0，若|2+|=|2|，则【考点】向量的模【分析】利用向量模的坐标公式求出两个向量的模，利用向量的数量积公式求出；利用向量模的平方等于向量的平
21、方列出方程求出，求出两个角的差【解答】解：， =cos（）即cos（）=0；又有0，故答案为【点评】本题考查向量模的坐标公式、向量的数量积公式、向量模的平方等于向量的平方14数列an满足an+1=，若a1=，则a2016=【考点】数列递推式【分析】直接由数列递推式分段求出数列的前几项，可得数列an是周期为3的周期数列，则答案可求【解答】解：由an+1=，且a1=，得：，由上可知，数列an是周期为3的周期数列，故答案为：【点评】本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，训练了分段函数的应用，是基础题15已知函数f（x）=sin2x+2cos2x1，有下列四个结论：函数f（x）在区间，上是增函数；
22、点（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心；函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象向左平移得到；若x0，则f（x）的值域为0，则所有正确结论的序号是【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；正弦函数的图象【分析】将函数f（x）化简成y=Asin（x+）的形式，利用正弦函数图象及性质对各项进行判断即可【解答】解：函数f（x）=sin2x+2cos2x1，化简得：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）函数f（x）的单调增区间为k，（kZ），当k=0时，可得函数f（x）在区间，上是单调递增；对函数f（x）的对称中心坐标为（，0），（kZ），当k=1时，可得函数f（x）的对称中
23、心坐标为（，0）；对函数y=sin2x的图象向左平移得到y=sin2（x+）=cos2x不对当x0，那么，当时，函数f（x）取得最小值为1，值域为1，不对故答案为：【点评】本题考查了三角函数的图象及性质的综合运用能力和计算，有一定的综合性，属于中档题16已知数列an满足a1=15，则的最小值为【考点】数列递推式【分析】把已知数列递推式变形，利用累加法求出数列的通项公式，得到关于n的函数，然后利用函数单调性求得最小值【解答】解：由，得an+1an=2n，a1=15，an=a1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）=15+2+4+2（n1）=15+2=n2n+15=n+1，令f（x）=x+，
24、得，当n取1，2，3时，n+1减小，当n取大于等于4的自然数时n+1的值增大n=3时， =3+51=7；n=4时， =4+1=的最小值为故答案为：【点评】本题考查了数列递推式，考查了数列的函数特性，考查了利用函数的单调性求函数的最值，是中档题三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17已知命题p：x1和x2是方程x2mx2=0的两个实根，不等式a25a3|x1x2|对任意实数m1，1恒成立；命题q：不等式ax2+2x10有解，若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围【考点】四种命题的真假关系；一元二次不等式的应用【分析】本题考查的知识点是命题的
25、真假判定，由命题p：x1和x2是方程x2mx2=0的两个实根，不等式a25a3|x1x2|对任意实数m1，1恒成立，我们易求出P是真命题时，a的取值范围；由命题q：不等式ax2+2x10有解，我们也易求出q为假命题时的a的取值范围，再由命题p是真命题，命题q是假命题，求出两个范围的公共部分，即得答案【解答】解：x1，x2是方程x2mx2=0的两个实根|x1x2|=当m1，1时，|x1x2|max=3，由不等式a25a3|x1x2|对任意实数m1，1恒成立可得：a25a33，a6或a1，命题p为真命题时a6或a1，命题q：不等式ax2+2x10有解当a0时，显然有解当a=0时，2x10有解当a0
26、时，ax2+2x10有解，=4+4a0，1a0，从而命题q：不等式ax2+2x10有解时a1又命题q是假命题，a1，故命题p是真命题且命题q是假命题时，a的取值范围为a1【点评】若p为真命题时，参数a的范围是A，则p为假命题时，参数a的范围是CRA这个结论在命题的否定中经常用到，请同学们熟练掌握18在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a=，b=3， sinB+sinA=2（） 求角A 的大小；（） 求ABC 的面积【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（）锐角ABC 中，由条件利用正弦定理求得sinB=3sinA，再根据sinB+sinA=2，求得sinA的值，可得角A
27、 的值（） 锐角ABC 中，由条件利用余弦定理求得c的值，再根据ABC的面积为bcsinA，计算求得结果【解答】解：（）锐角ABC 中，由条件利用正弦定理可得=， sinB=3sinA，再根据sinB+sinA=2，求得sinA=，角A=（） 锐角ABC 中，由条件利用余弦定理可得a2=7=c2+96ccos，解得c=1 或c=2当c=1时，cosB=0，故B为钝角，这与已知ABC为锐角三角形相矛盾，故不满足条件当c=2时，ABC 的面积为bcsinA=32=【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题19数列an是等差数列，若公差d0，a1=1，且a3是a1，a9的等比中项（1）
28、求数列an的通项公式（2）若对任意的nN*，不等式+恒成立，求实数的取值范围【考点】数列与不等式的综合；数列递推式【分析】（1）利用等比数列与等差数列的通项公式即可得出（2）利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可得出【解答】解：（1）a3是a1，a9的等比中项=a1（a1+8d），即（1+2d）2=1+8d，d0，解得d=1通项公式an=1+（n1）=n（2）由通项公式知： =，+=+=1，对任意的nN*，不等式+恒成立，【点评】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20如图，函数f（x）=Asin（x+）（其中A0，0，|
29、）的图象与坐标轴的三个交点为P，Q，R，且P（1，0），Q（m，0）（m0），PQR=，M为QR的中点，|PM|=（）求m的值及f（x）的解析式；（）设PRQ=，求tan【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；同角三角函数间的基本关系【分析】（）由已知可得=，从而解得m的值，由图象可求T，由周期公式可求，把p（1，0）代入f（x），结合|，即可求得的值，把R（0，4）代入f（x）=Asin（x），即可解得A的值，从而可求f（x）的解析式（）由ORP=，tanORP=，根据tan（）=即可解得tan的值【解答】解：（）PQR=，OQ=OR，Q（m，0），R（0，m），又M为QR的中
30、点，M（，），又|PM|=，=，m22m8=0，m=4，m=2（舍去），R（0，4），Q（4，0），=3，T=6， =6，把p（1，0）代入f（x）=Asin（x+），Asin（+）=0，|，=把R（0，4）代入f（x）=Asin（x），Asin（）=4，A=f（x）的解析式为f（x）=sin（x）所以m的值为4，f（x）的解析式为 f（x）=sin（x）（）在OPR中，ORP=，tanORP=，tan（）=，=，解得tan= 【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质、同角三角函数关系、正余弦定理等解三角形基础知识；考查两点间距离公式、运算求解能力以及化归与转化思想21设二次方程anx2an+
31、1x+1=0（nN*）有两根、，且满足62+6=3（1）试用an表示an+1；（2）求证：an是等比数列；（3）若a1=，求数列an的通项公式【考点】数列递推式；一元二次方程的根的分布与系数的关系；等比关系的确定【分析】（1）直接利用韦达定理求出两根之和以及两根之积，再代入62+6=3整理即可得（2）对（1）的结论两边同时减去整理即可证：数列是等比数列；（3）先利用（2）求出数列的通项公式，即可求数列an的通项公式【解答】解：（1）由韦达定理得：，由62+6=3得6=3，故（2）证明：因为=an=（），所以，故数列是公比为的等比数列；（3）当时，数列的首项，故=，于是an=【点评】本题是对数列
32、的递推关系以及韦达定理和等比数列知识的综合考查本题虽然问比较多，但每一问都比较基础，属于中档题22已知数列an满足：a1=1，an+1ansin2=sin2cos2n（）当=时，求数列an的通项公式；（）在（）的条件下，若数列bn满足bn=sin，Sn为数列bn的前n项和，求证：对任意nN*，Sn3+【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）当时，利用等差数列的通项公式即可得出；（2）由（1）可得：an=，可得，可得当n=1，2，3时，不等式成立；当n4时，由于，利用“错位相减法”、等比数列的前n项函数公式即可得出【解答】（1）解：当时，2n1an是以1为首项、1为公差的等差数列，2n1an=n，从而（2）证明：，当n=1，2，3时，；当n4时，令，两式相减得，综上所述，对任意【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项函数公式、三角函数的性质、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
