1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 选修2-1第三章 空间向量与立体几何成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 空间向量与立体几何 第三章 第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 本章归纳总结 第三章 第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 知 识 结 构 1学 后 反 思 2专 题 突 破 3第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 知 识 结 构第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 第三
2、章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 学 后 反 思第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 空间向量与立体几何要解决的主要问题是：空间向量的基本定理及基本运算，利用空间向量解决平行与垂直问题，以及运用法向量，共线的方向向量求夹角与距离问题解决上述问题的关键是：首先，类比平面向量的有关运算去理解空间向量，其次，要结合数形结合的思想去掌握，再次，对于空间向量在立体几何中的应用要明确概念的本质，例如方向向量、法向量、二面角、线面角等最后要善于对规律、技巧、方法进行总结、归类、明确不同方法的优势第三章 本章归纳总结成才之路
3、高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 1在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止在空间向量的加法运算中，如下事实常帮助我们简化运算：(1)首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.2向量等式的证明，就是向量化简的过程，可以由一端证到另一端，也可以两
4、端同时证明至“中间”向量表达式，从而达到证明等式的目的3共线向量定理包含两个命题，特别是对于两个向量a，b，若存在实数x，使axb(b0)ab，可以作为以后证明线线平行的依据，但必然在a(或b)上有一点不在b(或a)上第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 4共面向量定理是判定三个向量是否共面的依据，要证明三个向量a、b、c共面，只需存在一对实数x，y使axbyc就可以了在证明时要结合空间图形，若通过运算得不出a、b、c的向量等式，x、y就不存在，a、b、c就不共面，但一定要注意，三个向量共面是指它们所在的基线平行于同一平面或在同一平面内，并不是指它们的
5、基线一定在同一平面内，利用此定理可以证明四点共面第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 5在求两个向量的夹角时，可用平移向量的方法观察空间图形，把其中的一个向量平移到与另一个向量的起点重合，转化成求平面角的大小，或当平移向量也不能做出时可用数量积公式 cos ab|a|b|求其余弦值，转化为求 ab，|a|，|b|，进而得出两个向量的夹角的大小6求两个向量的数量积，要结合图形，把数量积中的各向量表示成已知的三个不共面的基向量表达式，然后化简求出，关键是基底的正确选取第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 7在空间图
6、形中求线段的长度可求线段对应向量的模，用|a|2aa来计算，并且要把a表示成已知基向量的表达式用数量积公式及运算性质求出8平行问题的处理经常采用线线线面面面的解题思路，要注意证明线线平行可以利用向量共线定理，也也可以建系利用方向向量平行来证，线面平行的证明可以转化为线线平行来证，也可以让直线垂直于平面的法向量面面平行的证明可以转化为线面平行来证也可以结合法向量来证(法向量平行)第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 9垂直问题的处理也是经常采用线线线面面面的解题思路，证明线线垂直经常利用数量积为零来证，线面垂直的证明可以转化为线线垂直来证，也可以让直线平
7、行于平面的法向量面面垂直的证明可以转化为线面垂直来证也可以结合法向量来证(法向量垂直)10异面直线所成的角和两条直线的方向向量所成的角相等或互补，因此可以先求两条直线的方向向量所成的角然后再求夹角但要注意夹角的余弦为负时要取正11三垂线定理及其逆定理经常用来证明线线垂直，在应用中一定要找好投影面及垂线第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 12设 n 是平面 的一个法向量，直线 a，若 an，则a.设 n 是平面 的一个法向量，若 an，则 a.13设 Aa，Ba，n 是平面 的一个法向量，如果是一个锐角，则直线 a 与平面 所成的角就是的余角，即2；如
8、果是一个钝角，则直线 a 与平面 所成的角就等于2.第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 14设，是二面角l的两个面，m，n分别是，的法向量，如果当m，n的起点都在二面角的面内，方向均指向二面角内部或均指向二面角外部，则这个二面角的大小就是如果m，n的方向一个指向二面角的内部，另一个指向二面角的外部，则这个二面角的大小就是.15两点间的距离求取需要注意向量模的性质及模长公式16点与面的距离、点与线的距离、线与面的距离、面与面的距离都要转化为点与点间的距离求取17求解过程中需要注意先作后求第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学
9、 选修2-1 专 题 突 破第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 法向量在立体几何中的应用已知平面，如果一个向量n的基线与平面垂直，则向量n叫做平面的法向量或说向量n与平面正交法向量的引进，对空间夹角与距离问题以及线面与面面位置关系的研究，提供了一个很方便、实用的工具，其思路明确，易于下手，过程较为程序化，易于掌握第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 例1 已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点求证：平面DEA平面A1FD1.思路分析 证明面面垂直就是证明平面的法向量垂直证明 如
10、图所示，建立空间直角坐标系Dxyz.导学号 64150882 第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 令 DD12，则有 D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(2,0,0)，A1(2,0,2)，F(0,1,0)，E(2,2,1)设 n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)分别是平面 DEA，平面 A1FD1 的法向量，则 n1DA，n1DE.x1，y1，z12，0，00，x1，y1，z12，2，10，x10，2x12y1z10.第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 令y11，得n1(0，1,2)同理
11、可得n2(0,2,1)因此n1n2(0，1,2)(0,2,1)0，知n1n2.平面DEA平面A1FD1.方法总结 证明平面与平面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直而证明平面与平面平行，可以转化为证明平面的法向量平行并且不需要在图形中作出辅助线，使图形更清楚明了第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 例2 在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，侧棱AA12，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示)思考分析 直线与平面所成的角和直线
12、的方向向量与平面法向量的夹角是一种互余的关系解析 如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz.设 CA2a，则 A(2a,0,0)，B(0,2a,0)，D(0,0,1)，A1(2a,0,2)，E(a，a,1)，G(2a3，2a3，13)导学号 64150883 第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 GE(a3，a3，23)，BD(0，2a，1)GE BD23a2230，解得 a1.BA1(2，2,2)，GE(13，13，23)设 A1B 与平面 ABD 所成角为，则cos(2)sin|BA1 GE|BA1|GE|432 3 63 23 2 23.arcsin
13、 23.第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 方法总结 斜线与平面所成的角和斜线与该平面的法向量所成的角互余，或与该平面的法向量所成的角的补角互余，故要求斜线与平面所成的角，只要求斜线与该平面的法向量所成的角即可通常设斜线 AB 与平面 所成角为(02)，则 cos(2)|ABn|AB|n|，即 sin|ABn|AB|n|.第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 立体几何问题的向量求法本章的综合题中包含线面关系的证明，角的求解及空间距离的求解，在处理与本章有关的综合问题时，基本方法是向量法，通过向量的代数运算解决
14、问题，并且要能作图、识图、用图利用向量解决立体几何问题具有快捷、有效的特征一般方法如下：先将原问题转化为等价的向量问题，即将已知角转化为向量的夹角，线段长度转化为向量的模，并用已知向量表示出来的向量，然后利用向量的运算解决该向量问题，从而原问题得解在近几年的高考中，立体几何问题，都偏重于向量解决第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 例 3 如图，在ABC 中，ABC60，BAC90，AD 是 BC 上的高，沿 AD 把ABD 折起，使BDC90.(1)证明：平面 ADB平面 BDC；(2)设 E 为 BC 的中点，求AE与DB 夹角的余弦值导学号 64
15、150884 第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 解析(1)折起前 AD 是 BC 边上的高，当ABD 折起后，ADDC，ADDB，又 DBDCD，AD平面 BDC，AD平面 ABD，平面 ABD平面 BDC.第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1(2)由BDC90及(1)知 DA，DB，DC 两两垂直，不妨设|DB|1，以 D 为坐标原点，以DB，DC，DA 所在直线为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得 D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A(0,0，3)，E(12，32，0
16、)，第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 AE(12，32，3)，DB(1,0,0)，AE与DB 夹角的余弦值为cos AEDB|AE|DB|121224 2222.方法总结 利用向量的坐标解决立体几何问题的关键是在于找准位置，建立适当、正确的空间直角坐标系，难点是在已建好的坐标系中表示出已知点的坐标，只有正确表示出已知点的坐标，才能通过向量的坐标运算，实现几何问题的代数化.第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 思想方法一、函数与方程思想在空间向量中的应用在立体几何中，通过建立空间直角坐标系，把空间中的线、角、
17、距离等问题用数加以表示，然后通过分析变量间的关系，建立方程或方程组或者构造方程或方程组，使问题获得解决有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要用构造方程或建立函数表达式的方式加以解决第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 例 4 如图，在四面体 ABOC 中，OCOA，OCOB，AOB120，且 OAOBOC1.(1)设 P 为 AC 的中点证明：在 AB 上存在一点 Q，使 PQOA，并计算ABAQ的值；(2)求二面角 OACB 的平面角的余弦值导学号 64150885 第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 思
18、路分析(1)建立空间直角坐标系，利用PQOA建立方程求解；(2)列方程组求出两个平面的法向量，转化为向量的夹角解析(1)作 ONAB 于点 N，取 O 为坐标原点，以 OA，ON，OC 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz(如图所示)，则 A(1,0,0)，C(0,0,1)，B(12，32，0)P 为 AC 的中点，P(12，0，12)第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 设AQ AB(0,1)AB(32，32，0)，OQ OA AQ(1,0,0)(32，32，0)(132，32，0)，PQ OQ OP(1232，32，12
19、)PQOA，PQ OA 0，即12320，13.存在点 Q(12，36，0)使得 PQOA 且ABAQ3.第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1(2)记平面 ABC 的一个法向量为 n(n1，n2，n3)，则由 nCA，nAB，且CA(1,0，1)，AB(32，32，0)，得 n1n30，32n1 32 n20，故可取 n(1，3，1)又平面 OAC 的一个法向量为 e(0,1,0)，cos ne|n|e|1，3，10，1，051 155.根据题图知二面角 OACB 的平面角是锐角，记为，则 cos 155.第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习
20、指导 人教B版 数学 选修2-1 方法总结 在用空间向量的运算解决空间线线、线面、面面的平行、垂直问题，或求空间角(线面角、二面角)等问题时，主要是利用直线的方向向量和平面的法向量来证明或求值，运用的主要思想是通过列方程(组)求出未知量，得到直线的方向向量和平面的法向量，然后进行向量的有关运算第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 例 5 如图，正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD、ABEF 互相垂直点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF上移动，若 CMBNa(0a 2)(1)求 MN 的长；(2)当 a 为何值时，MN 的
21、长最小导学号 64150886 第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 解析 方法一：(1)如图作 MPAB 交 BC 于点 P，NQAB 交 BE 于点 Q，连接 PQ，依题意可得，即四边形 MNQP 是平行四边形，MNPQ.CMBNa，CBABBE1，ACBF 2，CP1 a2，BQ1 a2，即 CPBQ a2.第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 MNPQ 1CP2BQ21 a22 a22a 22 212(0a 2)(2)由上得 MNa 22 212，当 a 22 时，MN 22，即 M、N 分别移动到 A
22、C、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为 22.第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 方法二：运用空间直角坐标系的知识，取 BA、BE、BC 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴(如图)建立空间直角坐标系由 M、N 向 AB 作垂线，则垂足重合，记为 G，设 BGx，则 x 22 a，AG1 22 a，MGAG1 22 a，M(22 a,0,1 22 a)，N(22 a，22 a,0)第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1(1)由空间中两点距离公式，得|MN|02 22 a21 22 a2 a2 2a1(0
23、a 2)(2)由|MN|a2 2a1a 22 212(0a 2)，得当 a 22 时，|MN|min 22，此时，M、N 分别是 AC、BF 的中点第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 二、转化与化归的思想转化与化归思想的主要目的是将未知问题转化为已知问题，复杂问题转化为简单问题，空间问题转化为平面几何问题本章中涉及到转化与化归思想的知识有：(1)位置关系的转化，即平行转化和垂直转化；(2)角的转化；(3)距离的转化第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 例6 如图所示，在六面体ABCDEFG中，平面ABC平面D
24、EFG，AD平面DEFG，ABAC，EDDG，EFDG，且ABADDEDG2，ACEF1.(1)求证：BF平面ACGD；(2)求二面角DCGF的余弦值；(3)求六面体ABCDEFG的体积思路分析(1)转化为证明线线平行；(2)利用空间向量法求二面角的余弦值；(3)六面体需要转化为特殊的几何体求解导学号 64150887 第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 解析 由已知，AD，DE，DG 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,2)，B(2,0,2)，C(0,1,2)，E(2,0,0)，G(0,2,0)，F(2,1,0)第三章 本章归纳
25、总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1(1)BF(2,1,0)(2,0,2)(0,1，2)，CG(0,2,0)(0,1,2)(0,1，2)，BFCG，BFCG.又 BF平面 ACGD，CG平面 ACGD，故 BF平面 ACGD.(2)FG(0,2,0)(2,1,0)(2,1,0)，设平面 BCGF 的一个法向量为 n1(x，y，z)，则n1CG y2z0，n1FG 2xy0.第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 令 y2，则 n1(1,2,1)而平面 ADGC 的一个法向量为 n2(1,0,0)，cos n1n2|n1|n2|66.故二面角 DCGF 的余弦值为 66.(3)设 DG 的中点为 M，连接 AM，FM，则 V 六面体 ABCDEFGV 三棱柱 ADMBEFV 三棱柱 ABCMFGDESADMADSMFG21221212214.第三章 本章归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 方法总结(1)根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关、易于解决的新问题，是我们解决数学问题的常用思路(2)通过等价转化，把证线面平行的问题转化为证线线平行的问题，把空间角转化为向量的夹角，把不规则几何体转化为规则几何体
