1、仁寿一中南校区2024届高三期中考试理科数学试题本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上.2答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号3答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上.4考试结束后，将答题卡交回.第卷（选择题，共60分）一、选择题1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简集合和，即可得出的取值范围.【详解】解：由题意在，中，故选：B.2. 已知复数
2、满足，其中为虚数单位，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】计算，再计算共轭复数得到答案.【详解】，则.故选：C3. 执行如图所示的程序框图，将输出的看成输入的的函数，得到函数，若，则（ ） A. B. C. 或D. 1【答案】B【解析】【分析】根据程序框图得到函数解析式，再根据函数解析式求出，再分类讨论，结合函数解析式计算可得.【详解】由程序框图可得，则，若，即时，解得（舍去）；若，即时，解得.故选：B4. 某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（ ）A. B. C. 8D. 【答案
3、】B【解析】【分析】首先分析数据的情况，再根据平均数公式计算可得.【详解】依题意这组数据一共有个数，中位数为，则从小到大排列的前面有个数，后面也有个数，又唯一的众数为，则有两个，其余数字均只出现一次，则最大数字为，又极差，所以最小数字为，所以这组数据为、，所以平均数为.故选：B5. 已知空间中a，b，c是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】根据空间中垂直于同一条直线的两条直线可以是平行、相交或异面即可判断A；根据空间中两平面的位置关系即可判断B；根据空间中两直线的位置关系即可判断C；根据线面垂直的性
4、质判断面面平行即可判断D【详解】对于A，空间中垂直于同一条直线的两条直线可以是平行、相交或异面，故A错误；对于B，垂直于同一个平面的两个平面可以是平行、相交，故B错误；对于C，垂直于同一个平面的两条直线是平行的，故C正确；对于D，垂直于同一条直线的两个平面平行，故D错误故选：C6. “”是“是奇函数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由是奇函数，逐步化简，计算可得，由此即可得到本题答案.【详解】当时，由得，则的定义域关于原点对称，又，则是奇函数，故充分性成立；若是奇函数，则，即，所以，则，故，所以，故，不一定推得，
5、从而必要性不成立；所以“”是“是奇函数”的充分不必要条件.故选：A7. 已知，则与的夹角等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据向量模的坐标公式,向量夹角的坐标公式，即可求解.【详解】因为向量，所以，则，同理，所以，所以与的夹角为.故选：C.8. 已知数列和均为等差数列，是数列的前n项和，则（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意结合等差数列的性质分析可得，进而可得，代入运算即可.【详解】根据题意，设等差数列，又因为是关于n的一次式，可得，则，所以.故选：B9. 蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴“有用脚蹴踢的含义，“鞠”最早系外包皮革内饰米
6、糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.已知某“鞠”的表面上有四个点PABC，其中平面，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据线面垂直得到线线垂直，进而得到三棱锥的外接球即为以为长，宽，高的长方体的外接球，求出长方体体对角线的长，得到该球的半径和体积.【详解】因为平面，平面，所以，又，所以两两垂直，所以三棱锥的外接球即为以为长，宽，高的长方体的外接球，即该球的直径为长方体体对角线的长，因为，所以，所以该球的半径为2，体积为. 故选：C10. 为了加强新型冠状病毒疫情防控，某社区派遣甲乙丙丁戊五名志愿者参加，三个小区的防疫工作
7、，每人只去1个小区，每个小区至少去1人，且甲乙两人约定去同一个小区，则不同的派遣方案共有（ ）A. 24种B. 36种C. 48种D. 64种【答案】B【解析】【分析】分3：1：1与2：2：1分配进行选派，结合排列组合知识简单计算即可.【详解】若按照3：1：1进行分配，则有种不同的方案，若按照2：2：1进行分配，则有种不同的方案，故共有36种派遣方案.故选：B11. 已知函数为R上的奇函数，为偶函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用函数的奇偶性和对称性，逐项分析、判定选项，即可求解.【详解】对于A中，函数为偶函数，则有，可得，又由为奇函数，则，则有，所以
8、，即，所以A错误；对于B中，函数为偶函数，则有，所以B不正确；对于C中，由，则，所以是周期为4的周期函数，所以，所以C正确；对于D中，由是周期为4的周期函数，可得，其中结果不一定为0，所以D错误.故选：C.12. 已知，则下列结论正确的有（ ） A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【解析】【分析】求出、的值，比较、的大小，利用指数函数的单调性、导数法、不等式的基本性质以及基本不等式逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为，则，.对于，则，从而，则，则，即，对；对于，因为，则，所以，错；对于，所以，所以，错；对于，构造函数，其中，则.当时，则函数在上单调递增，因为，则，即，可得，所以，对.故
9、选：B.二、填空题13. 已知等差数列满足，则的前项的和为_【答案】78【解析】【分析】利用等差数列性质可计算得，代入等差数列前项和公式即可求出结果.【详解】由等差数列性质可知，解得；由，可得；则数列的前项的和为.故答案为：14. 的展开式中的系数为_【答案】40【解析】【详解】二项式展开式的通项公式为：,令可得：的系数为：.故答案为-40.点睛：在Tr1 中，是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负15. 已知定义在上函数满足，且是偶函数，当时，则_【答案】#2.75【解析】【分析】利用
10、函数的奇偶性、周期性结合对数运算法则计算即可.【详解】由是偶函数，所以，即，故的一个周期为4，所以.故答案为：16. 锐角三角形的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理结合已知可得，于是由锐角三角形，可得，再用正弦定理与二倍角及和差角公式可将转化为，由函数单调性可得其范围.【详解】解：因为，且，所以由正弦定理得：，所以又锐角三角形中，则，即所以，由于锐角三角形，所以，解得所以由于，则在上递减，在上递增所以在上递减，于是有，即的取值范围为.故答案为：.三、解答题17. 已知数列满足，（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列前n项和
11、【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）利用退一作商法，结合等差数列的知识证得数列是等差数列.（2）利用裂项求和法求得.【小问1详解】因为 ，所以当时， 因为，所以由得，即所以，即由，得，所以，所以所以数列是以-2为首项，-3为公差的等差数列小问2详解】由（1）得，即，所以所以18. 如图，在直三棱柱中，是的中点.（1）证明：平面.（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可；（2）以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.分别求出平面和平面的法向量，由二面角的向量公式即可求出答案.【小
12、问1详解】证明：连接交于点，则是的中点，连接，又是的中点，所以.又平面平面，所以平面.【小问2详解】解：以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，.设是平面的法向量，由可得令，得.设是平面的法向量，由可得令，得.所以，即二面角的余弦值为.19. 某单位计划在一水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独
13、立.（1）求未来3年中，设表示流量超过120的年数，求的分布列及期望；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：年入流量发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【答案】（1）（2）欲使总利润的均值达到最大，应安装2台发电机【解析】【详解】试题分析：(1)利用二项分布求得分布列，然后可得数学期望为0.3；(2)利用题意分类讨论可得应安装2台发电机试题解析：（1）依题意， 由二项分布可知，. , 所以的分布列为012
14、30.7290.2430.0270.001 . （2）记水电站的总利润为（单位：万元），假如安装1台发点机，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润，； 若安装2台发电机，当时，只一台发电机运行，此时， 当时，2台发电机运行，此时，. 若安装3台发电机，当时，1台发电机运行，此时，当时，2台发电机运行，此时，当时，3台发电机运行，此时， 综上可知，欲使总利润的均值达到最大，应安装2台发电机. 20. 如图，在平面四边形中， （1）求；（2）若，求的面积【答案】（1）； （2）的面积为.【解析】【分析】（1）利用余弦定理即可求得边BC的长，再由正弦定理求； （2）利用
15、正弦定理求，根据四边形内角和关系结合二倍角公式求，进而求得的面积【小问1详解】因为，为锐角，所以因为，在中，由余弦定理得，即，得在中，由正弦定理得，所以，所以，因为，所以，故，所以；【小问2详解】在中，由正弦定理得，又，即，所以因为，所以，所以，所以，所以的面积.21. 已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）当时，恒成立，求的取值范围.参考数据：，.【答案】（1）减区间为，增区间为；（2）.【解析】【分析】（1）当时，求得，分析导数的符号变化，由此可求得函数的单调递增区间和递减区间；（2）由可得，可得出，构造函数，利用导数证明出对一切恒成立，由此可求得实数的取值范围.【详解】（1）当时，则
16、.令，得；令，得.故函数的单调递减区间为，调递增区间为；（2）因为当时，恒成立，且，由，可得.因为，所以，设，则.设，则.令，得；令，得.故函数在上单调递减，在上单调递增，因为，所以存在，使.当或时，；当时，.则函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.因为，所以对一切的恒成立.故的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求的直角坐标方程；（2）已知点，设与的交点为，当
17、时，求的极坐标方程【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据将极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将曲线的参数方程代入的直角坐标方程，根据的几何意义可设，列出韦达定理，由求出，即可求出的普通方程与极坐标方程.【小问1详解】因为曲线的极坐标方程为，即，因为，所以，所以的直角坐标方程为.【小问2详解】将曲线参数方程为（为参数）代入的直角坐标方程，整理得，由的几何意义可设，因为点在内，所以方程必有两个实数根，所以，因为，所以，因为，所以，即，所以的普通方程为，则的极坐标方程为.23. 已知函数，（1）求函数的最小值；（2）设，求证：【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）写出分段函数形式，分析、的性质及最值，即可确定最小值；（2）利用分析法，将问题化为证明，进一步转化为证即可.【小问1详解】由题设，而在、上均能取到最小值，对于在上递减，上为常数，上递增，且连续，所以的最小值在上取得，即时，最小值为.【小问2详解】由，仅当取等号，要证，即证，则，需证，而，即，所以恒成立，故得证.
