1、双曲线的简单几何性质基础全面练(15分钟30分)1(2021百色高二检测)双曲线y21的顶点到其渐近线的距离等于()A BC D【解析】选C.因为双曲线y21的顶点为，渐近线方程为yx，即x2y0，所以顶点到渐近线的距离为.2设双曲线1的渐近线方程为3x2y0，则a的值为()A4 B3 C2 D1【解析】选A.因为方程表示双曲线，所以a0，b0).由已知2b12，且c2a2b2，所以b6，c10，a8，所以双曲线的标准方程为1或1.(2)因为e，所以ca，b2c2a2a2.又因为焦点在x轴上，所以设双曲线的标准方程为1(a0).把点(5，3)代入方程，解得a216.所以双曲线的标准方程为1.(
2、3)设以yx为渐近线的双曲线方程为(0)，当0时，a24，所以2a26.当0，b0，若双曲线C1：1的离心率为2，则双曲线C2：1的离心率为()A2 B C D【解析】选B.由题意可知，2，所以4，即3；所以1，又双曲线C2：1，即1，所以双曲线C2：1的离心率为.2已知双曲线C1：y21，双曲线C2：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线C2的一条渐近线上的点，且OMMF2，O为坐标原点若SOMF216，且双曲线C1，C2的离心率相同，则双曲线C2的实轴长是()A4 B8 C16 D32【解析】选C.双曲线C1：y21的离心率为，设F2(c，0)，双曲线C2的一条渐近线方
3、程为yx，可得|F2M|b，即有|OM|a.由SOMF216，得ab16，即ab32.又a2b2c2且，解得a8，b4，c4，故双曲线的实轴长为16.3已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为()A1 B1Cy21 Dx21【解析】选D.由双曲线的渐近线yx与圆(x2)2y23相切可知，又解得所以所求双曲线的方程为x21.4双曲线1(a0，b0)的一条渐近线与直线x2y10垂直，则双曲线的离心率为()A B C D1【解析】选B.由已知得2，所以e.5已知双曲线与椭圆1有共同的焦点，且它的离心率为，则该双曲线的方程为()Ax
4、2y250 Bx2y224Cx2y250 Dx2y224【解析】选D.因为双曲线与椭圆1有共同的焦点，所以双曲线的焦点在y轴上，分别为(0，4)和(0，4)，因为双曲线的离心率为，所以，所以a2，b2，所以双曲线的方程为y2x224，即x2y224.二、填空题(每小题5分，共15分)6若椭圆1(ab0)的离心率为，则双曲线1的渐近线方程为_.【解析】因为e，不妨设a4，c1，则b，所以对应双曲线的渐近线方程为yxx.答案：yx7已知双曲线y21(a0)的一条渐近线方程为xy0，则a_【解析】双曲线y21的渐近线方程为y，已知一条渐近线方程为xy0，即yx，因为a0，所以，所以a.答案：8已知双
5、曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为_【解析】画图可得相似直角三角形，所以有OAAOFF，3，即e3.答案：3三、解答题(每小题10分，共20分)9(1)已知双曲线的焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为23，且经过P(，2)，求双曲线方程(2)求焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(3，2)的双曲线方程【解析】(1)设双曲线方程为1(a0，b0).由已知所以所求双曲线方程为y2x21.(2)设所求双曲线方程为1(a0，b0).因为e，所以e21，1，解得所以所求的双曲线方程为1.10设F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使F
6、1AF290且|AF1|3|AF2|，求双曲线的离心率【解析】因为AF1AF2，所以|AF1|2|AF2|2|F1F2|24c2.因为|AF1|3|AF2|，所以点A在双曲线的右支上则|AF1|AF2|2a，所以|AF2|a，|AF1|3a，代入到式得(3a)2a24c2，.所以e.【补偿训练】已知F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围【解析】因为双曲线1(a0，b0)的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点，所以|PF1|PF2|2a，|PF1|2a|PF2|，所以4a|PF2|8a，当且仅当|
7、PF2|，即|PF2|2a时取等号，所以|PF1|2a|PF2|4a，因为|PF1|PF2|2a0).设点A(0，)，即点A(0，)，A(0，)为双曲线x21的上、下焦点由双曲线的定义得|PA|4，则|PA|PB|4|PB|47.2已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，).(1)求双曲线方程(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证MF1MF20.(3)在(2)的条件下，求F1MF2的面积【解析】(1)因为e，所以可设双曲线方程为x2y2(0).因为过点(4，)，所以1610，即6.所以双曲线方程为x2y26.(2)由(1)可知，双曲线中ab，所以c2，不妨设F1，F2分别为双曲线的左右焦点，则F1(2，0)，F2(2，0).方法一：kMF1，kMF2，kMF1kMF2.因为点(3，m)在双曲线上，所以9m26，m23，所以kMF1kMF21，所以MF1MF2，所以0.方法二：因为(32，m)，(23，m)，所以 MF1(32)(32)m23m2.因为M点在双曲线上，所以9m26，即m230，所以0.(3)F1MF2的底边长|F1F2|4，F1MF2的高h|m|，所以SF1MF26.
