1、导数大题10种主要题型（五）预习案题型九：导数中的凹凸反转证明不等式问题中有一类不等式形式复杂，由即首先知道两个函数（其中一个常常是对数函数与多项式函数的组合，另一个是指数函数与多项式函数的组合）组合而成，我们往往指对分离，然后研究函数的图像，两个函数的图像凹凸性刚好相反，称为凹凸反转，这个名词非常形象的阐述了这类题目的解题思想。例1已知函数f（x）xlnx（1）求函数yf（x）的单调区间；（2）证明：当x0时，例2已知f（x）a（xlnx）+，aR（）讨论f（x）的单调性；（）当a1时，证明f（x）f（x）+对于任意的x1，2成立题型十：导数中的同构统一思想同构式源于指数对数跨阶的问题，与属
2、于跨阶函数，而属于跳阶函数，所以指对跳阶的函数问题，在中学阶段没有解决它的巧妙的方法，只能构造隐零点代换来简化，但通过指对跨阶函数进行同构，即，我们发现将一个指数、直线、对数三阶的问题通过跨阶函数的同构，变成了两阶的问题。所以通过构造跨阶函数的同构式，大大简化了分析和计算。例1设实数0，若对任意的x（0，+），不等式ex0恒成立，则的取值范围是 .例2设k0，若存在正实数x，使得不等式log2xk2kx0成立，则k的最大值为（）Alog2eBln2Celog2eDln2例3已知函数f（x）mln（x+1）3x3，若不等式f（x）mx3ex在x（0，+）上恒成立，则实数m的取值范围是（）A0m3
3、Bm3Cm3Dm0导数大题10种主要题型（五）预习案答案例1 解：（1）函数的定义域为（0，+）因为f（x）lnx+1，令f（x）0，即x，当0x时，f（x）0；当x时，f（x）0，所以f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+）（2）证明：由（1）得：f（x）xlnx在最小值是，当且仅当x时取得，令g（x），（x0），则g（x），x0，当x1时，g（x）0，当0x1时，g（x）0，故g（x）在最大值是g（1），当且仅当x1时取得，故原不等式成立例2 （）解：由f（x）a（xlnx）+，得f（x）a（1）+（x0）若a0，则ax220恒成立，当x（0，1）时，f（x）0，f（x）为
4、增函数，当x（1，+）时，f（x）0，f（x）为减函数；当a0，若0a2，当x（0，1）和（，+）时，f（x）0，f（x）为增函数，当x（1，）时，f（x）0，f（x）为减函数；若a2，f（x）0恒成立，f（x）在（0，+）上为增函数；若a2，当x（0，）和（1，+）时，f（x）0，f（x）为增函数，当x（，1）时，f（x）0，f（x）为减函数；（）解：a1，令F（x）f（x）f（x）xlnx1xlnx+令g（x）xlnx，h（x）则F（x）f（x）f（x）g（x）+h（x），由，可得g（x）g（1）1，当且仅当x1时取等号；又，设（x）3x22x+6，则（x）在1，2上单调递减，且（1）1，
5、（2）10，在1，2上存在x0，使得（x0）=0,且当x（1，x0） 时（x）0，x（x0，2）时，（x）0，函数h（x）在（1，x0）上单调递增；在（x0，2）上单调递减，由于h（1）1，h（2），因此h（x）h（2），当且仅当x2取等号，（取得最值时的的值不同）F（x）恒成立即f（x）f（x）+对于任意的x1，2成立题型十：导数中的同构统一思想同构式源于指数对数跨阶的问题，与属于跨阶函数，而属于跳阶函数，所以指对跳阶的函数问题，在中学阶段没有解决它的巧妙的方法，只能构造隐零点代换来简化，但通过指对跨阶函数进行同构，即，我们发现将一个指数、直线、对数三阶的问题通过跨阶函数的同构，变成了两阶的
6、问题。所以通过构造跨阶函数的同构式，大大简化了分析和计算。例1解：实数0，若对任意的x（0，+），不等式ex0恒成立，即为（ex ）min0，设f（x）ex，x0，f（x）ex，令f（x）0，可得ex，由指数函数和反比例函数在第一象限的图象，可得yex和y有且只有一个交点，设为（m，n），当xm时，f（x）0，f（x）递增；当0xm时，f（x）0，f（x）递减即有f（x）在xm处取得极小值，且为最小值即有em，令em0，可得me，则当时，不等式ex0恒成立则的最小值为另解：由于yex与y互为反函数，故图象关于yx对称，考虑极限情况，yx恰为这两个函数的公切线，此时斜率k1，再用导数求得切线斜率
7、的表达式为k，即可得的最小值为故答案为：，+）同构法：故不等式变为.例2解：不等式log2xk2kx0，即为log2x2kx，即有（x）（2k）x，可令2ka，则logaxax成立，由yax和ylogax互为反函数，可得图象关于直线yx对称，可得xaxlogax有解，则lnxxlna，即lna，可得y，导数为y，可得xe时，函数y递减，0xe时，函数y递增，则xe时，y取得最大值，可得即有lna，可得k，即k的最大值为故选：A同构法：，所以.例3解：令g（x）mlnx3x，问题等价于g（x+1）g（ex）在（0，+）上恒成立因为x（0，+）时，1x+1ex，所以只需g（x）在（1，+）上递减，即x1，g（x）0恒成立，即，m3xm3故选：C同构法：，.
