1、树德中学高 2021 级高二下期 5 月阶段性测试数学（理科）试题命题人：肖兴佳 审题人：李小蛟、唐颖君、王钊一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题只有一项是符合题目要求的1.已知 A=-3，0，1，B=-4，-3，1，则 A B 的真子集的个数为()A 3B 7C 15D 312.若条件 p：-1 b 1，条件 q:-2 b 2，则 p 是 q 的()A必要而不充分条件B充分而不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件3.已知 a 为实数，复数 z=(a2-1)+(a+1)i 为纯虚数，则 a+i31+i=()A 1B iC-iD 1-i4.对具有线性相关关
2、系的变量 x、y，有一组观测数据 xi,yii=1,2,3,8，其回归方程为 y=16 x+a，且 x1+x2+x3+x8=6，y1+y2+y3+y8=9，则实数 a 的值是()A-2B 2C-1D 15.执行如图所示的程序框图后，输出的值为 4，则 p 的取值范围是()A 78 p 1516C 78 p 1516D 34 1 n 2的过程中，由 n=k 递推到 n=k+1 时不等式左边()A增加了项 13 k+1+1B增加了项 13k+2+13k+3+13k+4C增加了项 13k+2+13k+4-23k+3D以上均不对7.下列各图中，A、B 为正方体的两个顶点，M、N、P 分别为其所在棱的中
3、点，能得出 AB 平面 MNP 的图形的序号是()ABCD8.若函数 f x=-12 x2+4x-2alnx 有两个不同的极值点，则实数 a 的取值范围是()A-,2B 0,2C 0,2D 2,+9.已知双曲线 C:x2-y2b2=1(b 0)的左右焦点分别为 F1,F2，圆(x-1)2+y2=34 与 C 的渐近线相切.P 为 C 右支上的动点，过 P 作两渐近线的垂线，垂足分别为 A,B.给出以下结论：C 的离心率 e=2；两渐近线夹角为 30；PA PB为定值 34；AB的最小值为32.则所有正确结论为()ABCD10.若对于任意的 a R 及任意的 x (1,+)，不等式 a2+x 2
4、a+kln(x-1)恒成立，则实数 k 的取值范围是()A 0,eB 0,1C1e,+D-,1e11.已知实数 a 0，b 0，a 1，且满足 a lnb=a2-1，则下列判断正确的是()A a2 bB a2 2D logab 0，当 x 0 时，不等式 2x-6asinx n+16n-76.22.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系.已知直线 l 的极坐标方程为 cos +3=3，曲线 C 的极坐标方程为 =4acos(a 0).(1)设 t 为参数，若 y=2 3+12 t，求直线 l 的参数方程；(2)已知直线 l 与曲线 C 交于 P,Q，设
5、 M(0,-2 3)，且|PQ|2=|MP|MQ|，求实数 a 的值.高二数学（理科）2023-05 阶考 第 1 页共 2 页树德中学高 2021 级高二下期 5 月阶段性测试数学（理科）试题参考答案一、选择题CBCDDCACDACB二、填空题13、5214、815、14+12 ln216、72,0或32,017、(1)因为 f(x)=x3-x2-x+c从而 f(x)=3x2-2x-1=3 x+13(x-1)，令 f(x)0,得 x 1,令 f(x)0,得-13 x 1,所以 f(x)的单调递增区间是-,-13和(1,+)；f(x)的单调递减区间是-13,1；6 分(2)函数 g(x)=(f
6、(x)-x3)ex=(-x2-x+c)ex，有 g(x)=(-2x-1)ex+(-x2-x+c)ex=(-x2-3x+c-1)ex，因为函数在区间 x -3,2上单调递增，等价于 h(x)=-x2-3x+c-1 0 在 x -3,2上恒成立，函数 h(x)=-x2-3x+c-1 的对称轴为：x=-32，所以当 x -3,2时，h(x)min=h(2)，只要 h(2)0，解得 c 11，所以 c 的取值范围是 11,+)12 分18、(1)因为抽取总问卷为 100 份，所以 n=100-(40+10+20)=30.年龄在 40,50中，抽取份数为 10 份，答对全卷人数为 4 人，所以 b=41
7、0=0.4.年龄在 50,60中，抽取份数为 20 份，答对的概率为 0.1，所以 a20=0.1，得 a=2.根据频率直方分布图，得(0.04+0.03+c+0.01)10=1，解得 c=0.02.6 分(2)因为年龄在 40,50与 50,60中答对全卷的人数分别为 4 人与 2 人年龄在 40,50中答对全卷的 4 人记为 a1，a2，a3，a4，年龄在 50,60中答对全卷的 2 人记为 b1，b2，则从这 6 人中随机抽取 2 人授予“环保之星”奖的所有可能的情况是：a1,a2，a1,a3，a1,a4，a1,b1，a1,b2，a2,a3，a2,a4，a2,b1，a2,b2，a3,a4
8、，a3,b1，a3,b2，a4,b1，a4,b2，b1,b2,共 15 种 其中所抽取年龄在 50,60的人中至少有 1 人被授予“环保之星”的情况是：a1,b1，a1,b2，a2,b1，a2,b2，a3,b1，a3,b2，a4,b1，a4,b2，b1,b2共 9 种故所求的概率为 915=35.12 分19.(1)取 AD 的中点 O，连接 OP,OB，因为在四边形 ABCD 中，AD BC,AD=2BC，所以 OD BC,OD=BC，所以四边形 OBCD 是平行四边形，所以 OB CD，因为 CD 平面 PAD，所以 OB 平面 PAD，又 OA,OP 平面 PAD，所以 OB OA,OB
9、 OP，又在等边 PAD 中，O 是 AD 的中点，所以 OP OA，如图以 O 为原点，OA,OB 所在直线为 x 轴、y 轴建立空间直角坐标系，则 A 1,0,0,B 0,2,0,C-1,2,0,D-1,0,0,P 0,0,3，故 E-12,0,32,F 0,1,32，EA=32,0,-32,EF=12,1,0，设平面 AEF 的法向量 n=x,y,z，则 n EA=0,n EF=0.即32 x-32 z=012 x+y=0，可取 n=2,-1,2 3，因为 CD 平面 PAD，所以 m=DC=0,2,0即为平面 PAD 的一个法向量，设平面 AEF 与平面 PAD 所成的锐二面角为，则
10、cos=cos m,n=m nm n=1717，即平面 AEF 与平面 PAD 所成的锐二面角的余弦值为1717；8 分(2)设点 G 满足 PG=PC=-,2,-3,0,1，所以 G-,2,3-3，则 DG=-+1,2,3-3，因为 DG 平面 AEF，所以 DG n=2-+1-2+2 33-3=0，解得 =45，即棱 PC 上存在点 G，使得 DG 平面 AEF，且 PGPC=45.12 分20.设 OA,OB的夹角为 0 ,则 cos=OA OBOAOB,所以 sin=1-cos2=1-OA OB2OA2 OB2,则 SAOB=12 OAOBsin=12OA2 OB2-OA OB2=12
11、x21+y21x22+y22-x1x2+y1y22=12 x1y2-x2y1;6 分由 y=kxx2+4y2-4=0可知，1+4k2x2=4,所以 x2=41+4k2,设直线 OA,OB,OP 的方程分别为：y=k1x,y=k2x,y=kx,设 A x1,y1,B x2,y2,P x,y.则 x21=41+4k21,x22=41+4k22,x2=41+4k2,S2AOB=14 x1y2-x2y12=14 x21x22 k1-k22=4 k1-k221+4k211+4k22=4 k21+k22-2k1k21+4 k21+k22+16k21k22=4 k21+k22+122+4 k21+k22=1
12、.k1k2=-14,k2=-14k1,则 S2AOP+S2BOP=4 k-k121+4k21+4k21+4 k-k221+4k21+4k22高二数学（理科）2023-05 阶考 第 1 页共 2 页=4 k-k121+4k21+4k21+4 k+14k121+4k21+14k21=4 k-k121+4k21+4k21+4 2kk1+1221+4k21+4k21=4k2+4k21+16k2k21+11+4k21+4k21=1.所以 S2AOP+S2BOP=S2AOB=1.12 分21.设切点 P x0,y0,f x=3ax2+1,则y0=ax30+x0y0=2x0-13ax20+1=2,解得，x
13、0=32a=427,所以 a=427.4 分不等式 2x-6asinx 16a x-16 x3,设 t=16a,令 h x=sinx-tx+16 x3,则 h x=cosx+12 x2-t,令 m x=cosx+12 x2-t,则 m x=-sinx+x,再令 s x=-sinx+x,则 s x=-cosx+1 0，所以 s x在 0,+单调递增，又 s 0=0,则 s x 0,即 m x 0,所以 m x在 0,+单调递增，y=cosx+12 x2 x 0的值域为 1,+.当 t 1 时，即 a 16 时，m x=cosx+12 x2-t 0 h x 0,则 h x在 0,+单调递增，又 h
14、 0=0,所以 h x 0 恒成立，符合.当 t 1 时，即 0 a 16 时m 0=1-t 2 t+1 时，m x 0,所以存在 x0 0,使 m x0=0,则当 x 0,x0时，m x 0,函数 h x在 0,x0上单调递减，而 h 0=0,所以 h x 0 时，sinx x-16 x3,则 sinxx 1-16 x2.令 x=1n,则 nsin 1n 1-16 1n2 1-161n n-1=1+161n-1n-1.取 n=2,3,4,，则2sin 12+3sin 13+4sin 14+nsin 1n n-1+1612-1+13-12+1n-1n-1=n+16n-76.12 分22.(1)
15、直线 l 的极坐标方程为 cos +3=3，所以 12 cos-32 sin=3，即 12 x-32 y=3，因为 t 为参数，将 y=-2 3+12 t 代入上式得 x=32 t，所以直线 l 的参数方程为x=32 ty=-2 3+12 t(t 为参数)；5 分(2)由 =4acos(a 0)，得 2=4acos(a 0)，由 x=cos，y=sin 代入，得 x2+y2=4ax(a 0)将直线 l 的参数方程与 C 的直角坐标方程联立，得 t2-2 3(1+a)t+12=0，由 =2 3(1+a)2-4 12=(1+a)2-4 0，解得 a 1，设点 P 和点 Q 分别对应参数 t1、t2为上述方程的根，由韦达定理，t1+t2=2 3(1+a)，t1t2=12，由题意得，|PQ|2=t1-t22=t1+t22-4t1t2=12 1+a2-48，|MP|MQ|=t1 t2=t1t2=12，因为|PQ|2=|MP|MQ|，所以 12 1+a2-48=12，解得 a=5-1，或 a=-1-5，因为 a 0，所以 a=5-1.10 分高二数学（理科）2023-05 阶考 第 1 页共 2 页
