1、数 学 理 工 类 试 题 答 案第 页 共 页 数学理工类参考答案评 分 说 明 本 解 答 给 出 了 一 种 或 几 种 解 法 供 参 考 如 果 考 生 的 解 法 与 本 解 答 不 同 可 根 据 试 题 的 主 要考 查 内 容 比 照 评 分 参 考 制 定 相 应 的 评 分 细 则 对 计 算 题 当 考 生 的 解 答 在 某 一 步 出 现 错 误 时 如 果 后 继 部 分 的 解 答 未 改 变 该 题 的 内 容 和难 度 可 视 影 响 的 程 度 决 定 后 继 部 分 的 给 分 但 不 得 超 过 该 部 分 正 确 解 答 应 得 分 数 的 一 半
2、如 果后 继 部 分 的 解 答 有 较 严 重 的 错 误 就 不 再 给 分 解 答 右 端 所 注 分 数 表 示 考 生 正 确 做 到 这 一 步 应 得 的 累 加 分 数 只 给 整 数 分 选 择 题 和 填 空 题 不 给 中 间 分 一 选 择 题 分 命 题 意 图 本 小 题 考 查 集 合 运 算 不 等 式 解 法 指 数 式 的 值 等 基 础 知 识 考 查 运 算 求 解 能 力 解 析 选 择 因 为 所 以 命 题 意 图 本 小 题 考 查 复 数 的 运 算 共 轭 复 数 概 念 等 基 础 知 识 考 查 运 算 求 解 能 力 解 析 选 择 由
3、 所 以 其 共 轭 复 数 命 题 意 图 本 小 题 考 查 三 角 函 数 的 定 义 诱 导 公 式 等 基 础 知 识 考 查 运 算 求 解 能 力 应 用 意 识 解 析 选 择 角 的 终 边 经 过 点 槡所 以 槡所 以 槡命 题 意 图 本 小 题 考 查 椭 圆 的 定 义 基 本 量 的 关 系 离 心 率 等 基 础 知 识 考 查 运 算 求 解 能 力 数形 结 合 思 想 应 用 意 识 解 析 选 择 由 题 意 有 槡 所 以 槡 所 以 离 心 率 槡槡槡 命 题 意 图 本 小 题 考 查 函 数 图 象 和 性 质 等 知 识 考 查 数 形 结 合
4、 等 数 学 思 想 解 析 选 择 由 题 当 时 排 除 当 时 命 题 意 图 本 小 题 考 查 程 序 框 图 及 其 应 用 指 数 式 和 对 数 式 求 值 等 基 础 知 识 考 查 运 算 求 解 能力 应 用 意 识 解 析 选 择 依 程 序 框 图 运 行 当 输 入 时 输 出 当 输 入 时 输 出 则 命 题 意 图 本 小 题 考 查 平 面 向 量 的 基 本 运 算 三 角 形 法 则 等 基 础 知 识 考 查 数 形 结 合 思 想 运 算求 解 能 力 应 用 意 识 数 学 理 工 类 试 题 答 案第 页 共 页 解 析 选 择 因 为 所 以
5、故 命 题 意 图 本 小 题 考 查 直 线 和 圆 的 方 程 点 到 直 线 的 距 离 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 等 基 础 知 识 考查 运 算 求 解 能 力 分 类 讨 论 思 想 数 形 结 合 思 想 应 用 意 识 解 析 选 择 圆 的 标 准 方 程 为 圆 心 到 直 线 槡 的距 离 为 槡 槡圆 的 半 径 结 合 图 形 知 圆 上 有 三 点 到 直 线 的 距 离 为 命 题 意 图 本 小 题 考 查 概 率 等 基 本 知 识 渗 透 数 学 文 化 考 查 抽 象 概 括 能 力 和 应 用 意 识 解 析 选 择 设 图 三 角 形 的 面
6、 积 为 则 图 中 每 个 小 阴 影 三 角 形 的 面 积 为 图 三 角 形 面积 的 于 是 所 求 的 概 率 为 命 题 意 图 本 小 题 考 查 三 角 函 数 图 象 及 其 性 质 等 基 础 知 识 考 查 逻 辑 推 理 能 力 数 形 结 合 思想 应 用 意 识 解 析 选 择 由 知 是 图 象 的 两个 对 称 中 心 则 是 的 整 数 倍 是 函 数 的 最 小 正 周 期 结 论 错 误 因 为 所 以 结 论 正 确 由 解 得 当 时 在 上 单 调 递 增 则 在 上 单 调 递增 在 上 单 调 递 减 结 论 错 误 的 图 象 向 右 平 移
7、 个 单 位 长 度 后 所 得 图 象对 应 的 函 数 为 是 偶 函 数 所 以 图 象 关 于 轴 对称 结 论 正 确 命 题 意 图 本 小 题 考 查 空 间 直 角 坐 标 系 空 间 几 何 体 的 外 接 球 球 的 体 积 等 基 础 知 识 考 查 空间 想 象 能 力 推 理 论 证 能 力 运 算 求 解 能 力 应 用 意 识 解 析 选 择 由 题 意 知 该 四 面 体 侧 棱 底 面 且 底 面 是 边 长 为槡 的 正 三 角 形 侧棱 所 以 底 面 正 三 角 形 的 外 接 圆 半 径 为 球 心 必 在 过 中 点 且 平 行 于 底 面 的 平
8、面上 所 以 球 半 径 槡槡 所 以 球 的 体 积 为 槡槡 命 题 意 图 本 小 题 考 查 导 数 的 几 何 意 义 函 数 与 导 数 综 合 运 用 等 知 识 考 查 抽 象 概 括 等 数 学 能力 以 及 数 学 抽 象 能 力 考 查 函 数 与 方 程 化 归 与 转 化 等 数 学 思 想 解 析 选 择 设 切 点 则 由 得 又由 得 则 有 数 学 理 工 类 试 题 答 案第 页 共 页 令 则 故 当 槡时 当 槡时 故 当 槡时 取 得 极 大 值 也 即 最 大 值 槡二 填 空 题 分 命 题 意 图 本 小 题 考 查 圆 柱 的 体 积 公 式
9、扇 形 的 面 积 等 基 础 知 识 考 查 空 间 想 象 能 力 运 算 求解 能 力 应 用 意 识 解 析 填 槡 由 题 意 知 圆 柱 截 掉 后 剩 余 部 分 的 底 面 面 积 为 槡 所 以 剩 余 部 分 的体 积 为 槡 命 题 意 图 本 小 题 考 查 概 率 独 立 重 复 试 验 等 基 础 知 识 考 查 抽 象 概 括 能 力 和 应 用 意 识 解 析 填 甲 获 胜 的 方 式 有 和 两 种 则 甲 获 得 冠 军 的 概 率 命 题 意 图 本 小 题 考 查 函 数 奇 偶 性 单 调 性 等 基 础 知 识 考 查 化 归 与 转 化 等 数
10、学 思 想 以 及 运 算求 解 等 能 力 解 析 填 由 题 知 为 上 的 偶 函 数 当 时 则 可 知 在 上 单 调 递 增 不 等 式 化 为 则 有解 得 命 题 意 图 本 小 题 考 查 线 性 规 划 的 实 际 应 用 考 查 阅 读 理 解 能 力 应 用 意 识 解 析 填设 安 排 甲 型 车 辆 乙 型 车 辆 由 题 意 有即目 标 函 数 作 出 不 等 式 组所 表 示 的 平 面 区 域 为四 点 围 成 的 梯 形 及 其 内 部 包 含 的 整 点 有 作 直 线 并 平 移 分 析 可 得 当 直 线 过 点 时 最 小 即元 三 解 答 题 共
11、分 命 题 意 图 本 小 题 考 查 等 差 数 列 等 比 数 列 的 通 项 公 式 前 项 和 公 式 及 其 应 用 等 基 础 知 识 考 查 运 算 求 解 能 力 应 用 意 识 解 析 由 题 意 有 当 时 所 以 分 当 时 数 学 理 工 类 试 题 答 案第 页 共 页 两 式 相 减 得 整 理 得 所 以 数 列 是 以 为 首 项 为 公 比 的 等 比 数 列 分 所 以 数 列 的 通 项 公 式 分 由 所 以 所 以 数 列 是 以 为 首 项 为 公 差 的 等 差 数 列 分 所 以 分 命 题 意 图 本 小 题 考 查 正 弦 定 理 两 角 和
12、 的 正 弦 公 式 三 角 函 数 求 最 值 等 基 础 知 识 考 查 运 算求 解 能 力 逻 辑 推 理 能 力 应 用 意 识 解 析 由 根 据 正 弦 定 理 有 分 所 以 所 以 分 因 为 为 三 角 形 内 角 所 以 所 以 因 为 为 三 角 形 内 角 所 以 分 由 槡 根 据 正 弦 定 理 有 所 以 分 所 以 槡 槡 槡 分 当 时 等 号 成 立 所 以 的 最 大 值 为槡 分 另 解 由 槡 根 据 余 弦 定 理 有 槡数 学 理 工 类 试 题 答 案第 页 共 页 即 分 因 为 所 以 分 即 槡 当 且 仅 当 槡 时 等 号 成 立 所
13、 以 的 最 大 值 为槡 分 命 题 意 图 本 小 题 考 查 回 归 方 程 统 计 案 例 等 基 本 知 识 考 查 回 归 分 析 的 基 本 思 想 考 查 抽 象概 括 等 能 力 和 应 用 意 识 以 及 数 据 分 析 能 力 解 析 由 题 与 温 度 又 可 以 用 线 性 回 归 方 程 来 拟 合 设 分 所 以 故 关 于 的 线 性 回 归 方 程 为 分 由 可 得 于 是 产 卵 数 关 于 温 度 的 回 归 方 程 为 当 时 当 时 因 为 函 数 单 调 递 增 所 以 在 气 温 在 之 间 时 一 只 该 品 种 昆 虫 的 产 卵 数 的 估
14、 计 范 围 是 的 正 整数 分 命 题 意 图 本 小 题 考 查 四 棱 锥 平 面 与 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 二 面 角 的 余 弦 值 等 基 础 知 识 考查 空 间 想 象 能 力 推 理 论 证 能 力 运 算 求 解 能 力 创 新 意 识 解 析 因 为 为 线 段 的 中 点 所 以 分 因 为 底 面 平 面 所 以 又 因 为 底 面 为 正 方 形 所 以 所 以 平 面 因 为 平 面 所 以 分 因 为 所 以 平 面 因 为 平 面 所 以 平 面 平 面 分 数 学 理 工 类 试 题 答 案第 页 共 页 由 题 意 以 所 在 直 线 分
15、别 为 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 如 图 所 示 令 则 其 中 易 知 平 面 的 一 个 法 向 量 分 设 平 面 的 法 向 量 由 即令 则 是 平 面 的 一 个 法 向 量 分 槡槡由 所 以槡 槡所 以槡 槡故 若 为 线 段 上 的 动 点 不 含 二 面 角 的 余 弦 值 的 取 值 范 围 是槡分 命 题 意 图 本 小 题 考 查 函 数 图 象 和 性 质 函 数 零 点 导 数 在 研 究 函 数 中 的 应 用 等 基 本 知 识 考查 了 学 生 化 归 与 转 化 推 理 论 证 等 数 学 思 想 以 及 数 学 抽 象 数 学 运 算 等
16、能 力 解 析 由 得因 为 为 单 调 函 数 所 以 当 时 或 恒 成 立 由 于 于 是 只 需 或 对 于 恒 成 立 分 令 则 当 时 所 以 为 增 函 数 则 又 当 时 则 不 可 能 恒 成 立 即 不 可 能 为 单 调 减 函 数 当 即 时 恒 成 立 此 时 函 数 为 单 调 递 增 函 数 分 因 为 所 以 是 的 一 个 零 点 由 知 当 时 为 的 增 函 数 此 时 关 于 的 方 程 仅 一 解 即 函 数 仅 一 个 零 点 满 足 条 件 分 当 时 由 得 当 时 数 学 理 工 类 试 题 答 案第 页 共 页 则 令 易 知 为 的 增
17、函 数 且 所 以 当 时 即 为 减 函 数 当 时 即 为 增 函 数 所 以 在 上 恒 成 立 且 仅 当 于 是 函 数 仅 一 个 零 点 所 以 满 足 条 件 分 当 时 由 于 在 为 增 函 数 则 当 时 则 存 在 使 得 即 使 得 当 时 当 时 所 以 且 当 时 于 是 当 时 存 在 的 另 一 解 不 符 合 题 意 舍 去 分 当 时 则 在 为 增 函 数 又 所 以 存 在 使 得 也 就 使 得 当 时 当 时 所 以 且 当 时 于 是 在 时 存 在 的 另 一 解 不 符 合 题 意 舍 去 综 上 的 取 值 范 围 为 或 分 选 考 题
18、分 命 题 意 图 本 小 题 考 查 参 数 方 程 与 极 坐 标 方 程 三 角 恒 等 变 换 等 基 础 知 识 考 查 核 心 素 养 的 数学 运 算 逻 辑 推 理 应 用 意 识 解 析 由为 参 数 得 曲 线 的 普 通 方 程 为 分 将 代 入 得 即 也 可 得 分分 由 知 设 点 的 极 坐 标 为 因 为 则 点 的 极 坐 标 为 分 所 以 数 学 理 工 类 试 题 答 案第 页 共 页 分 命 题 意 图 本 小 题 考 查 基 本 不 等 式 不 等 式 的 证 明 方 法 含 绝 对 值 的 不 等 式 等 基 本 知 识 考 查学 生 化 归 与 转 化 等 数 学 思 想 和 推 理 论 证 等 数 学 能 力 以 及 逻 辑 推 理 数 学 运 算 等 能 力 解 析 由 题 槡槡 槡槡当 且 仅 当 时 取 等 号 所 以槡槡最 大 值 为 分 由 题 槡当 且 仅 当 即 取 等 号 所 以 的 最 小 值 为 又 不 等 式 对 任 意 恒 成 立 只 需 即 可 解 得 即 的 取 值 范 围 是 分
