1、2.1.1平面21.2空间中直线与直线之间的位置关系知识导图学法指导1.研究几何问题，不仅要掌握自然语言、符号语言、图形语言的相互转换，也要学会用符号语言表示点、直线、平面之间的位置关系用图形语言表示点、直线、平面之间的位置关系时，一定要注意实线与虚线的区别2学会用自然语言、符号语言描述四个公理的条件及结论，明确四个公理各自的作用3要理解异面直线的概念中“不同在任何一个平面内”的含义，即两条异面直线永不具备确定平面的条件4判断异面直线时，要更多地使用排除法和反证法5作异面直线所成的角时，注意先选好特殊点，再作平行线高考导航1.平面及其基本性质是后面将要学习的内容的基础和证明的依据，需要牢固掌握
2、，但高考中很少单独考查2高考经常考查两条直线位置关系的判定和公理4的应用，常以选择题、填空题的形式出现，有时也以解答题某一问的形式出现，分值57分3求异面直线所成的角，常与正、余弦定理(必修5中学习)综合考查，对于理科考生还需要掌握用空间向量法(选修21中学习)求角的大小独立考查该知识的试题不多，有时以选择题、填空题的形式出现，有时以解答题的形式出现(一般作为第一问)，分值57分第1课时平面知识点一平面概念几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的画法常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45，且横边长等于邻边长的2倍，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来
3、表示方法(1)一个希腊字母：如，等；(2)两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点；(3)四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点1平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量；2平面无厚薄、无大小，是无限延展的1.直线在平面内的概念如果直线l上的所有点都在平面内，就说直线l在平面内，或者说平面经过直线l.2.一些文字语言、数学符号与图形的对应关系数学符号表示文字语言表达图形语言表达Al点A在直线l上Al点A在直线l外A点A在平面内A点A在平面外l直线l在平面内l直线l在平面外lmA直线l，m相交于点Al平面，相交于直线l知识点二平面的基本性质公理内容图
4、形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内Al，Bl且A，Bl公理2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线存在唯一的平面使A，B，C公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P且Pl且Pl1.公理1的作用：用直线检验平面(常被应用于实践，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆)；判断直线是否在平面内(经常被用于立体几何的说理中)2公理2的作用：确定平面；证明点、线共面公理2中要注意条件“不在同一条直线上的三点”，事实上，共线的三点是不能确定一个平面的同时要注意经过一点、两点或在同一条直线上的三点可能有无数个平面；
5、过不在同一条直线上的四点，不一定有平面因此，要充分重视“不在同一条直线上的三点”这一条件的重要性3公理3的主要作用：判定两个平面是否相交；证明共线问题；证明线共点问题. 公理3强调的是两个不重合的平面，只要它们有公共点，其交集就是一条直线以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面小试身手1判断下列命题是否正确. (正确的打“”，错误的打“”)(1)空间不同三点确定一个平面()(2)空间两两相交的三条直线确定一个平面()(3)和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内()答案：(1)(2)(3)2经过空间任意三点作的平面()A只有一个 B只有两个C有无数个 D只有一个或有无数个解析：当三点
6、共线时，可作无数个平面；当三点不共线时，只能作一个平面答案：D3如果a，b，laA，lbB，那么下列关系成立的是()Al BlClA DlB解析：laA又a，Al且A.同理Bl且B.l.答案：A4如果空间四点A、B、C、D不共面，那么下列判断正确的是()AA、B、C、D四点中必有三点共线BA、B、C、D四点中不存在三点共线C直线AB与CD相交D直线AB与CD平行解析：A、B、C、D四点中若有三点共线，则必与另一点共面；直线AB与CD既不平行也不相交，否则A、B、C、D共面答案：B类型一平面,例1下面四种说法：平面的形状是平行四边形；任何一个平面图形都可以表示平面；平面ABCD的面积为10 cm
7、2；空间图形中，后引的辅助线都是虚线其中正确的说法的序号为_【解析】本题考查的是平面的概念及平面的画法与表示方法平面是无限延展的，不计大小，不计面积，而平行四边形是平面的一部分，它是不能无限延展的另外，在空间图形中，我们一般把能看得见的线画成实线，把被面遮住看不见的线画成虚线，目的是增强立体感，同几何体的三视图的画法类似，后引的辅助线也是如此，这与平面几何是有区别的有时，根据具体的情况，可以用其他的平面图形，如矩形、圆、正多边形等表示平面，但不能说它是平面综上，错误，正确故填.【答案】平面是从现实中抽象出来的，它具有无限延展性，无比平整性、无大小、无轻重、无厚薄，平面和平面图形是完全不同的两个
8、概念方法归纳平面画法的四个关注点通常画的平行四边形表示的是整个平面需要时，可以把它延展开来，如同在平面几何中画直线一样，直线是可以无限延伸的，但在画直线时却只画一条线段(无端点)来表示加“通常”二字的意思是因为有时根据需要也可用其他平面图形表示，如用三角形、矩形、圆等平面图形来表示平面画表示平面的平行四边形时，通常把它的锐角画成45，横边画成邻边的两倍画表示竖直平面的平行四边形时，通常把它的一组对边画成铅垂线跟踪训练1如图所示的两个相交平面，其中画法正确的是()解析：对于，图中没有画出平面与平面的交线，另外图中的实线、虚线也没有按照画法原则去画，因此的画法不正确同样的道理，可知的画法不正确，中
9、画法正确答案：利用平面的概念及平面的画法进行判断类型二文字语言、图形语言、符号语言的转化例2(1)根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：A，B；A，mA，Al，l；Pl，P，Ql，Q；(2)用符号语言表示下列语句，并画出图形：三个平面，相交于一点P，且平面与平面相交于PA，平面与平面相交于PB，平面与平面相交于PC；平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.【解析】(1)点A在平面内，点B不在平面内；直线l在平面内，直线m与平面相交于点A，且点A不在直线l上；直线l经过平面外一点P和平面内一点Q.图形分别如图所示(2)符号语言表示：P
10、，PA，PB，PC.图形表示如图所示符号语言表示：平面ABD平面BDCBD，平面ABC平面ADCAC.图形表示如图所示.本题考查数学抽象在“A，l”中A视为平面(集合)内的点(元素)，l(集合)视为平面(集合)内的直线(子集)方法归纳(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言表示，再用符号语言表示(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“”或“”表示；直线与平面的位置关系只能用“”或“”表示(3)根据已知符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别跟踪训练2根据如图所示，在横线上填入相应的符
11、号或字母：A_平面ABC，A_平面BCD，BD_平面ABC，平面ABC平面ACD_.答案：AC根据符号的含义进行判断或转化 .类型三平面性质的应用例3如图，ABC在平面外，ABP，ACQ，BCR.求证：P，Q，R三点共线【证明】方法一ABP，PAB，P.又AB平面ABC，P平面ABC.由公理3可知点P在平面ABC与平面的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面的交线上，P，Q，R三点共线方法二APAQA，直线AP与直线AQ确定平面APQ.又ABP，ACQ，平面APQPQ.B平面APQ，C平面APQ，BC平面APQ.RBC，R平面APQ，又R，RPQ，P，Q，R三点共线.证明三点共线，可以证明
12、三点都在两平面的交线上或第三点在两点所确定的直线上方法归纳 (1)证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在以另一条直线为交线的两个平面内，即该点在另一条直线上，则可得三线共点(2)证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有：先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入平面法”；先由其中一部分点、线确定一个平面，其余点、线确定另一个平面，再证平面与重合，即用“辅助平面法”；假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”跟踪训练3如图，三个平面、两两相交，c，a，b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必过同一点证明：b，a
13、，a，b，a与b不平行，a与b必相交，设abP，则Pa，Pb，a，b，P，P.又c，Pc，即交线c经过点P.a、b、c三条直线相交于同一点,证明三线共点的基本方法是先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点. 常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点.基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1若点M在直线a上，a在平面内，则M，a，间的关系可记为()AMa，a BMa，aCMa，a DMa，a解析：根据点与直线、直线与平面之间位置关系的符号表示，可知B正确答案：B2给出下面四个命题：三个不同的点
14、确定一个平面；一条直线和一个点确定一个平面；空间两两相交的三条直线确定一个平面；两条平行直线确定一个平面其中正确的命题是()A BC D解析：对于，三个不共线的点确定一个平面，故错；对于，一条直线和直线外一个点确定一个平面，故错；对于，空间两两相交的三条直线，且不能交于同一点，确定一个平面，故错；对于，两条平行直线确定一个平面，正确答案：D3下面空间图形画法错误的是()解析：画立体图时，被平面遮住的部分画成虚线或不画答案：D4给出以下四个命题：不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b
15、，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面其中正确命题的个数是()A0 B1C2 D3解析：假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以正确；如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；显然不正确；不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形答案：B5在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF交于一点P，则()AP一定在直线BD上BP一定在直线AC上CP在直线AC或BD上DP既不在直线BD上，也不在AC上解析：由题意知GH平面ADC.因为GH
16、，EF交于一点P，所以P平面ADC.同理，P平面ABC.因为平面ABC平面ADCAC，由公理3可知点P一定在直线AC上答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6设平面与平面相交于直线l，直线a，直线b，abM，则点M与l的位置关系为_解析：因为abM，a，b，所以M，M.又平面与平面相交于直线l，所以点M在直线l上，即Ml.答案：Ml7给出以下命题：和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；三条两两相交的直线在同一平面内；有三个不同公共点的两个平面重合；两两平行的三条直线确定三个平面其中正确命题的个数是_解析：空间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内，故错；若三条直线相交于一点时，不
17、一定在同一平面内，如长方体一角的三条线，故错；若两平面相交时，也可有三个不同的公共点，故错；若三条直线两两平行且在同一平面内，则只有一个平面，故错答案：08把下列符号叙述所对应的图形的序号填在题后的横线上：(1)A，a：_.(2)a，P，且P：_.(3)a，aA：_.(4)a，c，b，abcO：_.答案：(1)(2)(3)(4)三、解答题(每小题10分，共20分)9完成下列各题：(1)将下列文字语言转换为符号语言点A在平面内，但不在平面内；直线a经过平面外一点M；直线l在平面内，又在平面内(即平面和平面相交于直线l)(2)将下列符号语言转换为图形语言a，bA，Aa；c，a，b，ac，bcP.解
18、析：(1)A，A.Ma，M.l.(2)10在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线证明：MNEFQ，Q直线MN，Q直线EF，M直线CD，N直线AB，CD平面ABCD，AB平面ABCD，M、N平面ABCD，MN平面ABCD，Q平面ABCD.同理，EF平面ADD1A1，Q平面ADD1A1，又平面ABCD平面ADD1A1AD，Q直线AD，即D，A，Q三点共线能力提升(20分钟，40分)11用一个平面截正方体所得的截面图形不可能是()A六边形 B五边形C菱形 D直角三角形解析：可用排除法，正方体的截面图
19、形可能是六边形、五边形、菱形，故选D.答案：D12平面，相交，在，内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_个平面解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个答案：1或413如图所示，已知直线abc，laA，lbB，lcC.求证：直线a，b，c和l共面证明：ab，a，b确定一个平面.Aa，Bb，A，B.则a，b，l都在平面内，即b在a，l确定的平面内同理可证c在a，l确定的平面内过a与l只能确定一个平面，a，b，c，l共面于a，l确定的平面14如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点求证：CE，D1F，DA三线交于一点证明：连接EF，D1C，A1B，因为E为AB的中点，F为AA1的中点，所以EF綊A1B.又因为A1B綊D1C，所以EF綊D1C，所以E，F，D1，C四点共面，可设D1FCEP.又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD，所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点又因为平面A1D1DA平面ABCDDA，所以据公理3可得PDA，即CE，D1F，DA三线交于一点
