1、吉林省东北师范大学附属中学净月校区2022届高三数学上学期第二次模拟考试试题 理一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合A，B，则AB（ ） A B C D 2.已知数列满足，则数列的前6项和为（ ） A63 B127 CD3.若，是第三象限的角，则( )A B. C D. 4.已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题不正确的是（ ） A若，则 B若，则C若，则 D若，则5.已知正项数列中，则 等于（ ）A B4 C8 D166.已知两定点，点P在椭圆上，且满足2，则 为（ ） A12B.12 C一9D97.一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个
2、四棱锥的侧面积 是（ ）A B C. D. 8.点为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在点使为正三角形，那么椭圆的离心率为（ ）A B C D9.已知抛物线的焦点F到双曲线C：渐近线的距离为，点是抛物线上的一动点，P到双曲线C的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）ABCD10.已知是内的一点，且若和的面积分别为，则的最小值是（）A20 B18 C16 D9 11.已知圆：，平面区域：.若圆心，且圆与轴相切，则的最大值为（ ）A. B. C. D.12.已知函数，设方程的四个实根从小到大依次为，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中正确的个数为（ ）（1）或；（2）且；（3
3、）或； （4）且.A3 B2 C1 D0二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分）13.在边长为1的正三角形ABC中，设，则_14.若等比数列的各项均为正数，且，则_15.利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥,其中底面四边形是边长为的正方形，且平面,则球体毛坯体积的最小值应为 16.若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，有下列命题：在内单调递增；和之间存在“隔离直线”，且的最小值为；和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；和之间存在唯一的“隔离直线”.其中真命题的个数为 （请填所有正确命题的序号）三、解答题（本大
4、题包括6小题，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤）17.（本小题12分）在锐角中,分别为角所对的边，且. （）确定角的大小； （）若，且的面积为，求的值18.（本小题12分）已知数列的前项和为,若(),且.（）求证：数列为等差数列；（）设,数列的前项和为,证明:().19.（本小题12分）如图, 已知四边形和均为直角梯形，且，平面平面,（）证明：平面；（）求平面和平面所成锐二面角的余弦值.20(本小题12分)已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为，. 经过点的直线与椭圆交于，两点.（）求椭圆方程；（）当直线的倾斜角为时，求线段的长；（）记与的面积分别为和，求的最大值.21（本小题12分）设
5、函数（）若函数在上为减函数，求实数的最小值；（）若存在，使成立，求实数的取值范围ABCDEO请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22.（本小题10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，为的直径，为的中点，为的中点（）求证：； （）求证： 23（本小题10分）选修44：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为（）求直线的极坐标方程；（）若直线与曲线相交于、两点，求24(本小题10分)选修45：不等式选讲设函数（）解
6、不等式；（）若对一切实数均成立，求实数的取值范围ACCDB DDDCB BA ；50； 17.（本小题10分）在锐角ABC中,a,b,c分别为角A，B，C，所对的边，且 (1)确定角C的大小； （2）若，且ABC的面积为，求十b的值17.（本题10分） 解（1）由及正弦定理得，是锐角三角形， 5分（2）解法1：由面积公式得由余弦定理得由变形得解法2：前同解法1，联立、得消去b并整理得解得所以故10分18.已知数列的前项和为,若(),且.(1) 求证：数列为等差数列；（2) 设,数列的前项和为,证明:().18.解() 由题设,则，.当时，,两式相减得, 2分方法一：由，得，且.则数列是常数列，
7、即，也即 6分所以数列是首项为,公差为的等差数列 7分方法二：由，得，两式相减得,且 6分所以数列等差数列. 7分() 由()得, 9分当时,成立；10分当时, 12分所以 综上所述,命题得证. （理）19.如图, 已知四边形和均为直角梯形，且，平面平面,（）证明：AG平面BDE;（）求平面和平面所成锐二面角的余弦值.19.如图, 已知四边形和均为直角梯形，且，平面平面,（）证明：AG平面BDE;（）求平面和平面所成锐二面角的余弦值.【解析】由平面，平面, 平面BCEG, .2分 根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，可得.3分（）设平面BDE的法向量为，则 即 ， ，平面BDE的一个法向量为
8、.5分 ， ，AG平面BDE. .7分（）设平面的法向量为，平面和平面所成锐二面角为.8分因为,由得，.10分平面的一个法向量为，.故平面和平面所成锐二面角的余弦值为.12分20(本小题满分12分)已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为，. 经过点的直线与椭圆交于，两点.（）求椭圆方程；（）当直线的倾斜角为时，求线段的长；（）记与的面积分别为和，求的最大值.20(本小题满分12分)解：（I）因为为椭圆的焦点,所以又 所以所以椭圆方程为3分（）因为直线的倾斜角为,所以直线的斜率为1,所以直线方程为,和椭圆方程联立得到,消掉,得到5分所以 所以 6分（）当直线无斜率时,直线方程为,此时, 面积相等
9、， 7分 当直线斜率存在（显然）时,设直线方程为,设和椭圆方程联立得到,消掉得显然，方程有根，且 8分此时 10分因为,上式，（时等号成立） 所以的最大值为 12分另解：（）设直线的方程为：，则由 得，设，则， 8分所以， 10分当时，由，得 当时，从而，当时，取得最大值12分21（本小题满分12分）设函数（1）若函数在上为减函数，求实数的最小值；（2）若存在，使成立，求实数的取值范围21.解：（1）由已知得x0，x1在上恒成立1分所以当时，又，2分故当，即时，所以于是，故a的最小值为 5分（2）命题“若存在，使成立”等价于“当时，有”由（1），当时， 问题等价于：“当时，有”当时，由（1），在上为减函数，则=，故 7分当0；（II）若f(x)+m对一切实数均成立，求实数m的取值范围24.解：（I）当x时， f(x)=2x+1-(x-4)=x+50，得x-5，所以x成立. 当时，f(x)=2x+1+x-4=3x-30，得x1，所以1x0，得x-5，所以x1或x-5 . 5分 (II)f(x)+=|2x+1|+2|x-4|.当，所以m9. 10分
