1、长春市十一高中2021-2022学年度高三寒假验收考试数学试题（理科） 第卷（共 60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1已知集合，则AB=（ ）A B C或 D2已知，且，其中是虚数单位，则等于（ ）A5 B C D13. 已知命题：，：，则下列命题是真命题的是（ ）A B C D4已知为坐标原点，点，若点为平面区域上的动点，则的取值范围为（ ）A B C D5在平面直角坐标系中，若角的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，且终边经过点，则（ ）A B C D6阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为，且输出S的
2、值为125，则判断框内应该是（ ）A？B？C？D？7甲乙两位游客慕名来到北京旅游，准备分别从故宫、颐和园、圆明园和长城4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件：甲和乙至少一人选择故宫，事件：甲和乙选择的景点不同，则条件概率（ ）ABCD8.设P为直线3x4y110上的动点，过点P作圆C：x2y22x2y10的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为（ ）A 2BC6D29. 如图，在正四面体中，是棱的中点，在棱上，且，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）ABCD10如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形
3、成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它对应的方程为（其中记为不超过的最大整数），且过点，若葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到轴的距离为（ ）A B CD11已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，点A的坐标为，点P是双曲线在第二象限的部分上一点，且，点Q是线段的中点，且，Q关于直线PA对称，则双曲线的离心率为（ ）A3 B2 C D12.已知函数，若函数与的图象恰有5个不同公共点，则实数a的取值范围是（ ）A B CD第卷（共90分）二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，的面积为，则的周长是_14.已知两个单位向量，满足，当取最小值
4、时，_15.已知函数满足，若.则a+b的最大值为_.16.已知数列满足：，则下列说法正确的是_.数列为递减数列存在，便得存在，便得存在，便得三、 解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一） 必考题：每题12分，共60分17已知等差数列的前n项和，且，成等比数列.(1)求；(2)记，求数列的前n项和.18如图，已知四棱锥PABCD中，PA平面，四边形中，ABC=90，ABCD，BC=1，CD=2，点在平面PCD内的投影恰好是PCD的重心(1)求证：平面PAB平面；(2)求
5、直线与平面所成角的正弦值192022年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了1日上午9:2010:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:209:40记作20,40)，9:4010:00记作40,60)，10:0010:20记作60,80)，10:2010:40记作80,100)，例如：9:46，记作时刻46.(1)估计这600辆车在9:2010:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据
6、用该组区间的中点值代替）(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取辆，设抽到的辆车中，在9:2010:00之间通过的车辆数为，求的分布列；(3)根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布N,2，其中可用1日数据中的600辆车在9:2010:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，2用样本的方差近似代替（经计算样本方差为324）.假如2日上午9:2010:40这一时间段内共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:4610:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）附：182=324；若随机变量T服从正态分布N,2，则P(
7、T+)=0.6827，P(2T+2)=0.9545，P(30)作两条相互垂直的直线l1、l2，直线l1与抛物线相切于点(在第一象限内)，直线l2与抛物线相交于A、两点，记直线AN、BN的斜率分别为k1、k2，求k12+k22的最小值.21已知函数fx=xlnx2x+a(1)当a0时，求的零点个数(2)若2e3a12时，m,12M，求实数的取值范围长春市十一高中2021-2022学年度高三寒假验收考试数学试题（理科） 一、选择题CBBDCC DBCCCA二、填空题13. 14. 15.216. 【分析】由已知等式变形可得，构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可得出，可判断选项；利用数列的单
8、调性可判断A选项；计算出、的范围，可判断选项.【详解】因为，则，可得，由可得，则，则，设函数，其中，则.当时，此时函数单调递增，当时，此时函数单调递减，所以，因为，则，以此类推可知，对任意的，所以，故数列为递增数列，错，错，错；因为，则，因此，存在，便得，对.四、 解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（三） 必考题：每题12分，共60分17已知等差数列的前n项和，且，成等比数列.(1)求；(2)记，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【解析】(1)解：设等差数列的公差
9、为，由成等比数列，得，即，-2分即，解得， -4分所以； -6分 (2)解：由（1）知，-9分所以.-12分18如图，已知四棱锥PABCD中，PA平面，四边形中，ABC=90，ABCD，BC=1，CD=2，点在平面PCD内的投影恰好是PCD的重心(1)求证：平面PAB平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析；(2)223.(1)因为PA平面，BC平面，所以PABC，因为ABC=90，所以BCAB，因为PAAB=A，PA平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，-3分又因为BC平面，所以平面PBC平面PAB，所以平面PAB平面-5分(2)取中点，连接，因为ABC=90，ABC
10、D，AB=BC=1，CD=2，所以四边形ABCE是矩形，所以ABAE，因为PA平面，所以PAAB，PAAE，所以、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系：-6分A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，E(0,1,0)，D(1,1,0)，设P(0,0,t)(t0)，则G(0,23,t3)，AG=(0,23,t3)，CG=(1,13,t3)，DG=(1,13,t3)，因为点在平面PCD内的投影恰好是PCD的重心，所以AGCG，所以CGAG=0，所以029+t29=0，t=2，-8分又BC=(0,1,0)，PB=(1,0,2)，令m=(x，y,z)，因为BCm=0，PBm=0，所以
11、m是平面的法向量，m=(2,0,1) -10分的方向向量是DG=(1,13,23)，所以直线CG与平面所成角的正弦值为sin=|cosm,DG|=|mDG|m|DG|=4323129=223.故直线与平面所成角的正弦值为223. -12分本题还可以B为原点建系，请阅卷老师谨慎给分192022年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了1日上午9:2010:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:209:4
12、0记作20,40)，9:4010:00记作40,60)，10:0010:20记作60,80)，10:2010:40记作80,100)，例如：9:46，记作时刻46.(1)估计这600辆车在9:2010:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取辆，设抽到的辆车中，在9:2010:00之间通过的车辆数为，求的分布列；(3)根据大数据分析，车辆在每天上午通过该收费站点的时刻T服从正态分布N,2，其中可用1日数据中的600辆车在9:2010:40之间通过该收费站点的时
13、刻的平均值近似代替，2用样本的方差近似代替（经计算样本方差为324）.假如2日上午共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:4610:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）附：182=324；若随机变量T服从正态分布N,2，则P(T+)=0.6827，P(2T+2)=0.9545，P(3T+3)=0.9973.【答案】(1)64(2)答案见解析(3)819(1)这600辆车在9:2010:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：(300.005+500.015+700.020+900.010)20=64-2分(2)由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10:00前通过的车
14、辆数就是位于时间分组20，60这一区间内的车辆数，即(0.005+0.015)2010=4， -3分所以的可能的取值为0，1，2，3，4所以P(X=0)=C64C104=114，P(X=1)=C63C41C104=821，P(X=2)=C62C42C104=37，P(X=3)=C61C43C104=435，P(X=4)=C44C104=1210（概率每求对一个给一分）所以的分布列为：012341148214351210- -9分(3)由（1）得=64，- -10分由已知2=324，所以=18， 估计在9:4610:40之间通过的车辆数也就是在46，100)通过的车辆数，由TN(64，182)得
15、：P(6418T64+218)=P(T+)2+P(20)作两条相互垂直的直线l1、l2，直线l1与抛物线相切于点(在第一象限内)，直线l2与抛物线相交于A、两点，记直线AN、BN的斜率分别为k1、k2，求k12+k22的最小值.【答案】(1)x2=4y(2)212(1)由题可知p2，C:x2=4y；-3分(2)由题意直线l1斜率存在，设l1的方程为y=k(xt)，由x24yyk(xt)得，x24kx+4kt=0，由于直线l1与抛物线相切，=16k216kt=0， t=k，-5分设N(2t,t2),则l2方程为：y=1t(xt)，设A(x1,y1),B(x2,y2)，由x24yy1t(xt)得，
16、x2+4tx4=0，则x1+x2=4t,x1x2=4，-7分k1=t2x1242tx1=14(2t+x1),同理：k2=14(2t+x2)， -9分k12+k22=11616t216+8+8t2=122t2+t21212，当且仅当t=42时取等号，k12+k22的最小值为212. -12分21已知函数fx=xlnx2x+a(1)当a0时，求的零点个数(2)若2e3a0，证明：x2lnx52x2+ax+32e60【答案】(1)有且仅有一个零点(2)证明见解析(1)由题意可知的定义域为，且fx=lnx1-1分则当x0,e时，；当xe,+时，故在区间0,e上单调递减，在e,+上单调递增-3分因为a0
17、，所以fxmin=fe=e+a0当x0,e2时，xlnx2x0，a0，故fxe2时，fe2a=2ae2a2e2a+a=ae2a10因为在e2,+上单调递增，所以当a0时，有且仅有一个零点-4分(2)证明：设gx=x2lnx52x2+ax+32e6，则gx=2xlnx4x+a=2xlnx2x+a由（1）知当a2e3,0时，gx有且仅有一个零点因为ge2=a0，ge3=2e3+a0，故存在唯一xae2,e3，使得gxa=0-6分且当x0,xa时，gx0则gx在区间0,xa上单调递减，在xa,+上单调递增故gxmin=gxa=xa2lnxa52xa2+axa+32e6-7分因为gxa=0，即2xal
18、nxa4xa+a=0，所以a=4xa2xalnxa，所以gxa=xa2lnxa52xa2+4xa2xalnxaxa+32e6=32xa2xa2lnxa+32e6，xae2,e3设函数Fx=32x2x2lnx，则Fx=2x1lnx，显然Fx12时，m,12M，求实数的取值范围【答案】(1)(,15,+)；(2)12m14.(1)当m=2时，fx=2x1x+22，依题意，2x1x+220，当x2时，不等式化为：12x+x+220，解得，则有x2，-1分-当2x12时，不等式化为：12xx220，解得x1，则有212时，不等式化为：2x1x220，解得x5，则有x5，-3分-综上得：x1或x5，- 所以函数的定义域为(,15,+). -5分(2)因当m12时，m,12M，则对xm,12，2x1x+mm0成立，-6分此时，2x10，x+m0，则2x1x+mm012xxmm02m3x+1，-7分于是得xm,12，2m3x+1成立，而函数y=3x+1在m,12上单调递减，当x=12时，ymin=12，从而得2m12，解得m14，又m12，则12m14，所以实数的取值范围是12m14. -10分
