1、课时作业8“杨辉三角”与二项式系数的性质时间:45分钟分值:100分一、选择题(每小题5分,共计40分)1在(ab)20的二项展开式中,与第6项二项式系数相同的项是(B)A第15项 B第16项C第17项 D第18项解析:第6项的二项式系数为C,与它相等的为倒数第6项,即第16项2已知(2x)10a0a1xa2x2a10x10,则a8等于(A)A180 B180C45 D45解析:(2x)10C210(x)0C29(x)1C22(x)8C2(x)9C(x)10,a8C224C4445180.3(1x)(1x)2(1x)n的展开式的各项系数和是(D)A2n1 B2n11C2n11 D2n12解析:
2、令x1,可知其各项系数和为2222n2n12.4在n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是(B)A7 B7C28 D28解析:由已知n为偶数,则15,n8.()n()8的展开式的通项为Tr1C()8r()r(1)r()8rCx,令80,得r6,常数项为T7(1)6()2C287.5满足关系式104CCCCC104的正数n是(C)A11 B12 C13 D14解析:CCCCC2n,而2138 192,所以n13.6在(1x)n(n为正整数)的二项展开式中奇数项的和为A,偶数项的和为B,则(1x2)n的值为(C)A0 BABCA2B2 DA2B2解析:由题意知,(1x)nAB
3、,(1x)nAB,又因为(1x2)n(1x)n(1x)n(AB)(AB)A2B2.7(x1)11的展开式中x的偶次项系数之和是(D)A2 048 B1 023C1 024 D1 024解析:(x1)11Cx11Cx10(1)Cx9(1)2C(1)11,x的偶次项系数为负数,其和为2101 024.8若(12x)2 011a0a1xa2 011x2 011(xR),则的值为(C)A2 B0C1 D2解析:ar(1)rC12 011r2r,则(1)rC,CCCCC1.二、填空题(每小题6分,共计18分)9设(21)n的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,若M,8,N三数成等比数列,则展开
4、式中的第四项为160x.解析:当x1时,可得M1,二项式系数之和N2n,由已知MN64,2n64,n6.第四项T4C(2)3(1)3160x.10如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒,a,b,c,d是相邻两行的前四个数(如图所示),那么当a8时,c9,d37.解析:观察发现:第n行的第一个数和行数相等,第二个数是1123n11.所以当a8时,c9,d137.11若x4(x3)8a0a1(x2)a2(x2)2a12(x2)12,则log2(a1a3a11)7.解析:令x1,则28a0a1a2a11a12.令x3,则0a0a1a2a11a12.282(a1a3a11)a1a3a1127.log2
5、(a1a3a11)log2277.三、解答题(共计22分)12(10分)若(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10,求:(1)各项系数之和;(2)奇数项系数的和与偶数项系数的和解:(1)各项系数之和即为a0a1a2a10,可用“赋值法”求解令xy1,得a0a1a2a10(23)10(1)101.(2)奇数项系数的和为a0a2a4a10,偶数项系数的和为a1a3a5a9.由(1)知a0a1a2a101,令x1,y1,得a0a1a2a3a10510,得,2(a0a2a10)1510,故奇数项系数的和为;得,2(a1a3a9)1510,故偶数项系数的和为.13(12分)已知(2x
6、1)n二项展开式中,奇次项系数的和比偶次项系数的和小38,求CCCC的值解:设(2x1)na0a1xa2x2anxn,且奇次项的系数和为A,偶次项的系数和为B.则Aa1a3a5,Ba0a2a4a6,由已知可得,BA38.令x1,得a0a1a2a3an(1)n(3)n,即(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)(3)n,即BA(3)n.(3)n38(3)8,n8.由二项式系数的性质可得CCCC2nC281255.素养提升14(5分)将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图所示的01三角数表从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数都为1的是第3行,第n次全行的数都为1的是第
7、2n1行;第62行中1的个数是32.解析:由题意可得第1行,第3行,第7行,第15行,全行都为1,故第n次全行的数都为1的是第2n1行;由n6,得26163,故第63行共有64个1,逆推知第62行共有32个1.15(15分)已知fn(x)(1x)n,(1)若f2 015(x)a0a1xa2 015x2 015,求a1a3a2 013a2 015的值(2)若g(x)f6(x)2f7(x)3f8(x),求g(x)中含x6项的系数解:(1)因为fn(x)(1x)n,所以f2 015(x)(1x)2 015,又f2 015(1)a0a1xa2 015x2 015,所以f2 015(1)a0a1a2 01522 015,f2 015(1)a0a1a2 014a2 0150,得:2(a1a3a2 013a2 015)22 015,所以:a1a3a2 013a2 01522 014.(2)因为g(x)f6(x)2f7(x)3f8(x),所以g(x)(1x)62(1x)73(1x)8,g(x)中含x6项的系数为12C3C99.