1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第2课时空间向量的数量积必备知识自主学习导思1.什么是空间向量的夹角？什么是空间向量的数量积？2空间向量的数量积运算有哪些性质？遵循哪些运算律？1.空间向量的夹角(1)夹角的定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫作向量a，b的夹角，记作a，b(2)夹角的范围：空间任意两个向量的夹角的取值范围是0，.特别地，当0时，两向量同向共线；当时，两向量反向共线，所以若ab，则a，b0或；当a，b时，两向量垂直，记作ab零向量与其他向量之间有夹角吗？提示
2、：零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0与任何向量a都共线，即0a.2空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫作a，b的数量积，记作ab.即ab|a|b|cosa，b(2)数量积的运算律：数乘向量与数量积的结合律(a)b(ab)a(b)(R)交换律abba分配律(ab)cacbc(3)空间两向量的数量积的性质：数量积运算满足结合律、消去律吗？提示：数量积运算不满足结合律，也不满足消去律，即(ab)ca(bc)，abacD/bc.3投影向量与投影数量(1)投影向量：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，过点A作直线OB的垂线，垂足为A1，则向
3、量OA1叫作向量a在向量b方向上的投影向量(2)投影数量：用b0表示与向量b(b0)同方向的单位向量，(1)图中向量的长度为，把称作向量a在向量b方向上的投影数量投影数量的符号由什么确定？提示：由向量a在向量b方向上的投影数量的定义知，投影数量的符号由向量a与向量b的夹角确定，若a，b为锐角或零角，则投影数量为正值；若a，b为钝角或平角，则投影数量为负值；若a，b为直角，则投影数量为0.1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)向量与的夹角等于向量与的夹角()(2)若ab0，则a0或b0.()(3)对于非零向量a，b，a，b与a，b相等()(4)若abbc，且b0，则ac.()(5)若a，b均
4、为非零向量，则ab|a|b|是a与b共线的充要条件()提示：(1).与互为相反向量，所以向量与的夹角和向量与的夹角互补(2).ab0，a与b都可能是零向量，也可能是a与b都不是零向量，但a与b垂直(3).a与a，b与b分别互为相反向量，所以a，b与a，b相等(4).由abbc，可得(ac)b0，所以ac可能为零向量，但也可能ac不是零向量，而是ac与b垂直(5).a与b共线包括a与b同向和反向两种情况，当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.2已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|b|1，ab，则两直线的夹角为()A30 B60 C120 D150【解析】选B.
5、设向量a，b的夹角为，则cos ，所以120，则两个方向向量对应的直线的夹角为18012060.3已知|a|3，向量a与b的夹角为，则a在b方向上的投影数量为()ABCD【解析】选D.向量a在b方向上的投影数量为|a|cos 3cos .4已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为()Aa2 Ba2Ca2 Da2【解析】选C.()()a2.关键能力合作学习类型一空间向量的数量积运算(数学运算)1已知向量a和b的夹角为120，且|a|2，|b|5，则(2ab)a等于()A12 B8C4 D13【解析】选D.(2ab)a2a2ba2|a|2|a|b
6、|cos 120242513.2已知a3p2q，bpq，p和q是相互垂直的单位向量，则ab()A1 B2 C3 D4【解析】选A.由题意知，pq0，p2q21，所以ab(3p2q)(pq)3p22q2pq1.3已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点试计算：(1)；(2)；(3)【解析】如图，设a，b，c，则|a|c|2，|b|4，abbcca0.(1)b|b|24216.(2)(ac)|c|2|a|222220.(3)(abc)|a|2|b|22. 1空间向量的数量积运算方法(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计
7、算(2)如果求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用aa|a|2及数量积公式进行计算2在几何体中求空间向量的数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模(4)代入公式ab|a|b|cos a，b求解【补偿训练】1.下列命题中正确的有()p2q2(pq)2；|pq|pq|p2q2|；若a与(ab)c(ac)b均不为0，则它们垂直ABCD【解析】选D.此命题不正确，因为p2q2|p|2|q|2，而(pq)2(|p|q|c
8、os p，q)2|p|2|q|2cos 2p，q，所以当且仅当pq时，p2q2(pq)2.此命题不正确，因为|p2q2|(pq)(pq)|pq|pq|cos pq，pq|，所以当且仅当(pq)(pq)时，|p2q2|pq|pq|.此命题正确，因为a(ab)c(ac)ba(ab)ca(ac)b(ab)(ac)(ab)(ac)0，且a与(ab)c(ac)b均为非零向量，所以a与(ab)c(ac)b垂直2如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()A.2B.2C.2D.2【解析】选B.22a2cos 60a2，222a2
9、cos 60a2，2a2，2a2.类型二数量积的应用(数学运算)【典例】已知|a|3，|b|2，向量a，b的夹角为60，c3a5b，dma3b，求当m为何值时，c与d垂直？【思路导引】由条件计算ab，当cd时，cd0列方程求解m.【解析】由已知得ab32cos 603.由cd，知cd0，即cd(3a5b)(ma3b)3ma2(5m9)ab15b227m3(5m9)6042m870，所以m，即m时，c与d垂直 (1)已知非零向量a，b，若ab，则ab0，反之也成立(2)设a与b夹角为，利用公式cos 可求夹角，求解时注意向量夹角的取值范围0，.1若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与
10、b夹角的余弦值为_.【解析】设a与b夹角为，因为|a|3|b|，所以|a|29|b|2，又|a|a2b|，所以|a|2|a|24|b|24ab|a|24|b|24|a|b|cos 13|b|212|b|2cos ，即9|b|213|b|212|b|2cos ，故有cos .答案：2已知x1是方程x2|a|xab0的根，且a24，a与b的夹角为120，求向量b的模【解析】因为a24，所以|a|24，即|a|2，将x1代入原方程可得121ab0，所以ab3，所以ab|a|b|cos a，b2|b|cos 1203，所以|b|3.类型三投影数量的计算(数学运算)【典例】已知1，2，a，b60，则ab
11、在a上的投影数量是()A1 B C2 D【思路导引】根据平面向量数量积的定义及运算律求出ab，a，再根据ab在a上的投影数量等于计算【解析】选C.因为1，2，a，b60，所以abcos a，b12cos 601，所以aa2ba1212，所以ab在a上的投影数量为2. 求一个向量在另一个向量方向上的投影数量的方法(1)根据向量夹角公式求得夹角的余弦值(2)根据所求投影数量为cos a，b求得结果1已知，3，3，则向量a在向量b方向上的投影数量为()A1 B1 C3 D3【解析】选A.由题意，向量，3，3可得2a2b22ab392ab18，解得ab3，所以向量a在向量b方向上的投影数量为1.2在A
12、BC中，AB3，AC4，则在方向上的投影数量为()A4 B3 C4 D5【解析】选A.在ABC中，因为，所以222222，所以0，所以.又AB3，AC4，所以5，所以在方向上的投影数量为cos ACB4.【补偿训练】设e1，e2为单位向量且e1，e2的夹角为，若ae13e2，b2e1，则向量a在b方向上的投影数量为_.【解析】设a与b夹角为，向量a在b方向上的投影数量为cos 13cos .答案：备选类型用数量积求距离(数学运算)【典例】如图所示，在平行四边形ABCD中，ABAC1，ACD90，沿着它的对角线AC将ACD折起，使AB与CD成60角，求此时B，D间的距离【思路导引】得到|2的值，
13、注意对，的讨论【解析】因为ACD90，所以0，同理可得0.因为AB与CD成60角，所以，60或，120.又，所以|2|2|2|22223211cos ，所以当，60时，|24，此时B，D间的距离为2；当，120时，|22，此时B，D间的距离为. 利用向量的数量积求两点间的距离可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|求解即可1正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长为()A2 B C D【解析】选C.如图所示，设a，b，c，则
14、|a|b|c|2，且a，b60，a，c90，b，c90.又因为acb，所以|2a2c2b22444214115.所以|.即EF的长为.2如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA12，A1ABA1AD120.则线段AC1的长为_【解析】因为，所以|.答案：课堂检测素养达标1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各对向量的夹角为135的是()A， B，C， D，【解析】选B.，45，135，90，180.2下列结论中正确的是()A(ab)c(bc)aB若ab|a|b|，则abC若a，b，c为非零向量，且acbc，则abD若a2b2，则ab【解析】选
15、B.若a，b至少有一个为零向量时，ab成立，当a，b都不为零向量时，由ab|a|b|得cos a，b1.又因为0a，b180，所以a，b180，所以ab，B正确3(教材例题改编)如图，一个结晶体的形状是平行六面体ABCDA1B1C1D1，以顶点A为端点的三条棱长均是1，且它们彼此的夹角都是，则对角线AC1的长度是()A. B2 C D【解析】选D.| |.4已知平面向量a，b满足1，a5，则b在a方向上的投影数量为_.【解析】设a，b的夹角为，由题得a22ab5，所以12|b|cos 5，所以|b|cos 2，所以b在a方向上的投影数量为2.答案：25已知向量a，b满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为_.【解析】(a2b)(ab)6，则a2ab2b26，即12ab2226，ab1，所以cos a，b，所以a，b60.答案：60关闭Word文档返回原板块
