1、中学生标准学术能力诊断性测试 数学（理科）科目参考答案 一选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D D A C B A C B C D A 二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.2 14.3,2969 15.3116.23三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题 12 分）解：()1f xm n ur r4分R，由3222262kxk得263kxk 6分函数的单调减区间2,63kkkZ.6分（2），即，角为锐角，得，8分又，10分62AB，由正弦定理得sin(62)(62)2sin2AB
2、ABCC 12分18.（本小题 12 分）解：（1）因为 ABAC，D 是 BC 的中点，所以 BCAD，因为 MNBC，所以 MNAD，2 分因为1AAABC 平面，MNABC 平面，1cossin32cos22xxxxx2sin32cos)62sin(2xx f x2)(Af2)62sin(2 AA6A4B127C426)34sin(127sinsinC所以1AAMN，因为111,AD AAADD A 平面，且1ADAAAI，4 分所以11MNADD A 平面5 分（2）方法一：设11AA，如图：过1A 作1BCAE，建立以1A 为坐标原点,1111,A E A D A A分别为,x y
3、z 轴的空间直角坐标系则1 0 0 0A（，）,(0,0,1)A,(3,1,1)B,(3,1,1)C 6 分因为 F 是 AD 的中点，MNBC，所以,M N 分别为 AB，AC 的中点，则3 122M（，1），3 122N（-，1），则13 122A Muuuur=（，1），1(0,0,1)A A uuur，3NMuuuur=（，0，0），7 分设平面1AA M 的法向量为(,)mx y zur，则得令1x，则3y ，则(1,3,0)m ur，9 分同理设平面1A MN 的法向量为(,)na b cr，则得令2b，则c1 ，则(0,2,1)n r，则15cos,5m nm nmn ur ru
4、r rurr，11 分因为二面角1AAMN是锐二面角，所以二面角1AAMN的余弦值是 15512 分方法二：连接1A F,过点 A 作1AEA F于点 E，过 E 作1EHAM由（1）知，NMAE,又1AEA FQ,1A FNMF,1AEA NM 面，1AEAM11,AMEH AMAE EHAEEQ,1AMAHE 面,1AHAM8 分故AHE是二面角1AAMN的平面角 9 分设11AA ，则1AMAN,112AMA N,故22AH，152A F，55AE,故5105sin522AEAHEAH,则215cos1 sin5AHEAHE10 分因为二面角1AAMN是锐二面角，所以二面角1AAMN的余
5、弦值是 15512 分19.（本小题 12 分）解:(1)要使选择方案二比选择方案一更优惠,则需要至少摸出 1 个幸运球,设顾客不打折即三次没摸出幸运球为事件 A,则P(A),2 分故所求概率 P1P(A)P(A)1 .5 分(2)若选择方案一,则需付款 100.69.4(万元).6 分若选择方案二,设付款金额为 X 万元,则 X 可能的取值为 6,7,8,10,7 分P(X6),P(X7),P(X8),P(X10).10 分故 X 的分布列为 X 6 7 8 10 P 11 分所以 E(X)6 +7 +8 +10 7.937 5(万元)0(1,+)gxx，g x 单调递增 0(0,1)gxx
6、，g x 单调递减 min(1)1g xg 当10a e时，11-=axgxaxx，令 10gxxa，当 1(,)0 xgxa，此时 gx为减函数，当 1(0)0 xgxa，此时 gx为增函数 gx的最大值为111=ln()ln10gaaaaa +0 x 时，0gx，+x 时，0gx，由零点存在定理可知=0gx的两个解1211(0,),(,)xxaa 当 1(0,),0,()xxgxg x为减函数 当 12(,),0,()xx xgxg x为增函数 当 2(,),0,()xxgxg x为减函数，且当+g()xx ，g()x 无最小值 当-ea0时，0,gx gx为增函数，又因为 10,10eg
7、ga ，所以存在31(,1)xe，有 0gx，且有33ln xax，当 3(0,),0,()xxgxg x为减函数 当 3(+),0,()xxgxg x，为增函数 设g()x 的最小值为0g()x，20000000000ln1g()=lnln22xxxxxxxxxx 令11()ln(,1)2k xxxxxe，1()(ln1)02k xx 所以()k x 在 1(,1)e上为减函数，所以3()(1,)2k xe 综上所述，由可知，3b(1,)2e 22.（本小题 10 分）（1）由曲线1C 的参数方程，消去参数t，可得1C 的普通方程为：0 xym2 分 由曲线2C 的极坐标方程得22232co
8、s3，0,，曲线2C 的直角坐标方程为221 013xyy4 分（2）设曲线2C 上任意一点 P 为(3cos,sin),0,，5 分 则点 P 到曲线1C 的距离为|3cossin|2md|2cos()|62m 7 分 0,3cos()1,62 ，2cos()2,36 ，8 分 当30m时，34m ，即43m ；当20m时，24m，即6m 43m 或6m 10 分 23.（本小题 10 分）（1）当2a 时，原不等式可化为|31|2|3xx1 分 当13x 时，原不等式可化为 31 23xx ，解得0 x，所以0 x；2 分 当 123x时，原不等式可化为31 23xx ，解得1x ，所以12x；3 分 当2x 时，原不等式可化为31 23xx ，解得32x，所以2x 4 分 综上所述，当2a 时，不等式的解集为|01x xx或5 分（2）不等式 1|3xf xx可化为|31|3xxax，6 分 依题意不等式|31|3xxax在 1 1,3 2恒成立，所以31|3xxax，即|1xa，8 分 即11axa ，所以113112aa 解得1423a，故所求实数a 的取值范围是1 4,2 310 分
