1、第1页专项检测十九 导数的简单应用第2页一、选择题1曲线 yex2x 在点(0,1)处的切线方程为()Ayx1 Byx1Cy3x1 Dyx1C解析：求导函数 yex2，当 x0 时，ye023，所以曲线 yex2x 在点(0,1)处的切线方程为 y3x1.第3页2设函数 f(x)x312xb，则下列结论正确的是()A函数 f(x)在(，1)上单调递增B函数 f(x)在(，1)上单调递减C若 b6，则函数 f(x)的图象在点(2，f(2)处的切线方程为 y10D若 b0，则函数 f(x)的图象与直线 y10 只有一个公共点C第4页解析：对于选项 A，B，根据函数 f(x)x312xb，可得f(x
2、)3x212，令 3x2120，得 x2 或 x2，故函数f(x)在(，2)，(2，)上单调递增，在(2,2)上单调递减，所以选项 A，B 都不正确；对于选项 C，当 b6 时，f(2)0，f(2)10，故函数 f(x)的图象在点(2，f(2)处的切线方程为 y10，选项 C 正确；对于选项 D，当 b0 时，f(x)的极大值为 f(2)16，极小值为 f(2)16，故直线 y10与函数 f(x)的图象有三个公共点，选项 D 错误故选 C.第5页3设函数 f(x)xex1，则()Ax1 为 f(x)的极大值点Bx1 为 f(x)的极小值点Cx1 为 f(x)的极大值点Dx1 为 f(x)的极小
3、值点D解析：由题意得，f(x)(x1)ex，令 f(x)0，得 x1，当 x(，1)时，f(x)0，则 f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以 x1 为 f(x)的极小值点，故选 D.第6页4函数 f(x)12x2lnx 的最小值为()A12B1C0 D不存在A解析：f(x)x1xx21x，且 x0.令 f(x)0，得 x1；令 f(x)0，得 0 x1.f(x)在 x1 处取得最小值，且 f(1)12ln112.第7页5已知函数 f(x)xsinxcosxx2，则不等式 f(lnx)f(ln1x)2f(1)的解集为()A(e，)B(0，e)C(0，1e)(1，e)D(1e，
4、e)D第8页解析：f(x)xsinxcosxx2，因为 f(x)f(x)，所以 f(x)是偶函数，所以 f(ln1x)f(lnx)f(lnx)，所以 f(lnx)f(ln1x)2f(1)可变形为 f(lnx)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减，所以 f(lnx)f(1)等价于1lnx1，所以1ex0)在 x1 和 x2 处取得极值，且极大值为52，则函数 f(x)在区间(0,4上的最大值为()A0B52C2ln24D4ln24D第10页解析：f(x)2axbcx2ax2bxcx(x0，a0)因为函数 f(x)在 x1 和 x2 处取得极值，所以 f(1)2abc0，f
5、(2)4abc20.又 a0，所以当 0 x2 时，f(x)0，f(x)是增函数；当 1x2 时，f(x)0，hxx0 时，f(x)exx1，f(x)exx1x2，当 x(0,1)时，f(x)1 时，f(x)0，函数 f(x)单调递增x1 时，f(x)取到极小值 e1，即 f(x)的最小值 e1.又 f(x)为奇函数，且 x0 时，f(x)h(x)，h(x)的最大值为(e1)1e.第16页10设函数 f(x)lnx12ax2bx，若 x1 是 f(x)的极大值点，则 a 的取值范围是(1，)解析：f(x)的定义域为(0，)，f(x)1xaxb，由 f(1)0，得 b1a.f(x)1xaxa1a
6、x21axxxax1x1x.第17页若 a0，当 0 x0，f(x)单调递增；当 x1 时，f(x)0，f(x)单调递减；所以 x1 是 f(x)的极大值点若 a1，解得1a1，且 f(x)ex 1x1.令 h(x)ex 1x1，则 h(x)ex1x120，函数 h(x)ex 1x1在(1，)上单调递增，且 h(0)f(0)0.可知，当 x(1,0)时，h(x)f(x)0，f(x)exln(x1)单调递增函数 f(x)的单调递减区间是(1,0)，单调递增区间是(0，)第23页(2)g(x)f(x)axexln(x1)ax，g(x)f(x)a.由(1)知，g(x)在(1，)上单调递增，当 x1
7、时，g(x)；当 x时，g(x)，则 g(x)0 有唯一解，记为 x0.可知，当 x(1，x0)时，g(x)0，g(x)exln(x1)ax 单调递增第24页函数 g(x)在 xx0 处取得极小值，即 g(x0)e x0ln(x01)ax0，且 x0 满足 e x01x01a.g(x0)(1x0)e x0ln(x01)11x01.令(x)(1x)exln(x1)1 1x1，则(x)xex1x12可知，当 x(1,0)时，(x)0，(x)单调递增；当 x(0，)时，(x)0，所以 f(x)在(0,1)，(1，)单调递增因为 f(e)1e1e10，所以 f(x)在(1，)有唯一零点 x1，即 f(x1)0.又 01x11，f(1x1)lnx1x11x11f(x1)0，故 f(x)在(0,1)有唯一零点1x1.综上，f(x)有且仅有两个零点第31页(2)因为1x0elnx0，故点 B(lnx0，1x0)在曲线 yex 上由题设知 f(x0)0，即 lnx0 x01x01，连接 AB，则直线 AB的斜率 k1x0lnx0lnx0 x01x0 x01x01x01x01x01x0.曲线 yex 在点 B(lnx0，1x0)处切线的斜率是1x0，曲线 ylnx 在点 A(x0，lnx0)处切线的斜率也是1x0，所以曲线 ylnx在点 A(x0，lnx0)处的切线也是曲线 yex 的切线