1、线段最值问题 题型解读：线段最值问题在中考中常常以选择题和填空题的形式出现，分值较小但难度较高.此类题型多综合考查垂线段最短、将军饮马及旋转最值问题，一般要用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、勾股定理和二次函数等相关知识，以及数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想. 此类题型常涉及以下问题：线段和差最值问题；尺规作图问题；旋转“费马点”问题；点到直线的距离最值问题等.右图为线段最值问题中各题型的考查热度.题型1：垂线段最短问题解题模板： 垂线段最短模型：1.如图，在RtABC中，BAC90且AB3，AC4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DMAB于点M，DNAC于点N，连接MN，
2、则线段MN的最小值为（）ABC3D4【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MNAD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题【解答】解：BAC90，且BA3，AC4，BC5，DMAB，DNAC，DMADNABAC90，四边形DMAN是矩形，MNAD，当ADBC时，AD的值最小，此时，ABC的面积ABACBCAD，AD，MN的最小值为；故选：A【点评】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型【变式1-1】如图，在RtABC中，C90，AD是BAC的平分线，点E是AB上任意一点若CD5，则DE的最小值
3、等于（）A2.5B4C5D10【分析】根据角平分线的性质即可得到即可，【解答】解：当DEAB时，DE的值最小，AD是BAC的平分线，C90，CD5，DE的最小值CD5，故选：C【点评】本题考查的是角平分线性质，关键是知道垂线段最短，本题比较典型，难度适中【变式1-2】（2021临淄区一模）如图，在正方形ABCD中，AB8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM6P为对角线BD上一点，则PMPN的最大值为（）A2B3CD【分析】以BD为对称轴作N的对称点N，连接MN并延长交BD于P，连NP，依据PMPNPMPNMN，可得当P，M，N三点共线时，取“”，再求得，即可得出PMAB
4、CD，CMN90，再根据NCM为等腰直角三角形，即可得到CMMN2【解答】解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N，连接MN并延长交BD于P，连NP，根据轴对称性质可知，PNPN，PMPNPMPNMN，当P，M，N三点共线时，取“”，正方形边长为8，ACAB8，O为AC中点，AOOC4，N为OA中点，ON2，ONCN2，AN6，BM6，CMABBM862，PMABCD，CMN90，NCM45，NCM为等腰直角三角形，CMMN2，即PMPN的最大值为2，故选：A【点评】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要
5、作点关于某直线的对称点题型2：将军饮马问题解题模板： 技巧精讲：1、“将军饮马”模型2、线段差最大值问题模型：2.（2021娄底模拟）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则AP+EP的最小值是（）A2B4CD2【分析】连接CP，当点E，P，C在同一条直线上时，AP+PE的最小值为CE的长，根据勾股定理计算即可【解答】解：如图，连接CP，在ADP与CDP中，ADPCDP（SAS），APCP，AP+PECP+PE，当点E，P，C在同一条直线上时，AP+PE的最小值为CE的长，连接CE交BD于P，四边形ABCD是正方形，ADCDAB4，ADC
6、90，E是AD的中点，ED2，在RtCDE中，由勾股定理得：CE2，故选：D【点评】本题考查了轴对称，中点路线问题，根据题意作出A关于BD的对称点C是解此题的关键【变式2-1】（2022德州）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE2点M是对角线BD上的一个动点，则EM+CM的最小值是（）ABCD【分析】要求ME+MC的最小值，ME、MC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化ME，MC的值，从而找出其最小值求解【解答】解：如图，连接AE交BD于M点，A、C关于BD对称，AE就是ME+MC的最小值，正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BEBCCE624，AB，AE2，ME+MC的最小
7、值是2故选：C【点评】本题主要考查的是轴对称路径最短问题、勾股定理的应用、正方形的性质，明确当点A、M、E在一条直线上时，ME+MA有最小值是解题的关键【变式2-2】（2022菏泽）如图，在菱形ABCD中，AB2，ABC60，M是对角线BD上的一个动点，CFBF，则MA+MF的最小值为（）A1BCD2【分析】当MA+MF的值最小时，A、M、F三点共线，即求AF的长度，根据题意判断ABC为等边三角形，且F点为BC的中点，根据直角三角形的性质，求出AF的长度即可【解答】解：当A、M、F三点共线时，即当M点位于M时，MA+MF的值最小，由菱形的性质可知，ABBC，又ABC60，ABC为等边三角形，F
8、点为BC的中点，AB2，AFBC，CFFB1，在RtABF中，AF故选：C【点评】本题考查最短路线问题、等边三角形的性质和菱形的性质，确定MA+MF的最小值为AF的长度是关键【变式2-3】（2022广安）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE+PF的最小值是（）A2BC1.5D【分析】如图，取AB的中点T，连接PT，FT首先证明四边形ADFT是平行四边形，推出ADFT2，再证明PE+PFPT+PF，由PF+PTFT2，可得结论【解答】解：如图，取AB的中点T，连接PT，FT四边形ABCD是菱形，CDAB，CDAB，DFCF，ATTB
9、，DFAT，DFAT，四边形ADFT是平行四边形，ADFT2，四边形ABCD是菱形，AEDE，ATTB，E，T关于AC对称，PEPT，PE+PFPT+PF，PF+PTFT2，PE+PF2，PE+PF的最小值为2故选：A【点评】本题考查轴对称最短问题，菱形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题【变式2-4】（2022泰山区校级二模）如图，在扇形BOC中，BOC60，OD平分BOC交于点D，点E为半径OB的中点若OB4，则阴影部分的面积为 【分析】连接BC，过D作DFOB于F，先证明BOC是等边三角形即可求出OE，CEBO，然后根据勾股定理求出CE，根据含30
10、度的直角三角形的性质求出DF，最后根据S阴影S扇形BOCSCOE（S扇形BODSODE）求解即可【解答】解：连接BC，过D作DFOB于F，BOC60，OCOB，BOC是等边三角形，点E为半径OB的中点，CEBO，BOC60，OD平分BOC，S阴影S扇形BOCSCOE（S扇形BODSODE）故答案为：【点评】本题考查了求不规则图形的面积，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据S阴影S扇形BOCSCOE（S扇形BODSODE）求解是解题的关键题型3：旋转最值问题解题模板： 技巧精讲：旋转求最值模型：3.问题背景：如图1，将ABC绕点A逆时针旋转60得到ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+P
11、CPE问题解决：如图2，在MNG中，MN6，M75，MG点O是MNG内一点，则点O到MNG三个顶点的距离和的最小值是 【分析】（1）在BC上截取BGPD，通过三角形全等证得AGAP，BGDP，得出AGP是等边三角形，得出APGP，则PA+PCGP+PCGCPE，即可证得结论；（2）以MG为边作等边三角形MGD，以OM为边作等边OME连接ND，可证GMODME，可得GODE，则MO+NO+GONO+OE+DE，即当D、E、O、N四点共线时，MO+NO+GO值最小，最小值为ND的长度，根据勾股定理先求得MF、DF，然后求ND的长度，即可求MO+NO+GO的最小值【解答】（1）证明：如图1，在BC上
12、截取BGPD，在ABG和ADP中，ABGADP（SAS），AGAP，BGDP，GCPE，GAPBAD60，AGP是等边三角形，APGP，PA+PCGP+PCGCPEPA+PCPE；（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形MGD，以OM为边作等边OME连接ND，作DFNM，交NM的延长线于FMGD和OME是等边三角形OEOMME，DMGOME60，MGMD，GMODME在GMO和DME中GMODME（SAS），OGDENO+GO+MODE+OE+NO当D、E、O、N四点共线时，NO+GO+MO值最小，NMG75，GMD60，NMD135，DMF45，MGMFDF4，NFMN+MF6+410，ND
13、2，MO+NO+GO最小值为2，故答案为2，【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，最短路径问题，构造等边三角形是解答本题的关键【变式3-1】（2022连云港）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DEAD，且BEDC（1）求证：四边形DBCE为菱形；（2）若DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM+PN的最小值【分析】（1）先证明四边形DBCE是平行四边形，再由BEDC，得四边形DBCE是菱形；（2）作N关于BE的对称点N，过D作DHBC于H，由菱形的对称性知，点N关于BE的对称点N在DE上，可得PM+PNPM+PN，
14、即知MN的最小值为平行线间的距离DH的长，即PM+PN的最小值为DH的长，在RtDBH中，可得DHDBsinDBC，即可得答案【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，DEAD，DEBC，E在AD的延长线上，DEBC，四边形DBCE是平行四边形，BEDC，四边形DBCE是菱形；（2）解：作N关于BE的对称点N，过D作DHBC于H，如图：由菱形的对称性知，点N关于BE的对称点N在DE上，PM+PNPM+PN，当P、M、N共线时，PM+PNMNPM+PN，DEBC，MN的最小值为平行线间的距离DH的长，即PM+PN的最小值为DH的长，在RtDBH中，DBC60，DB2，D
15、HDBsinDBC2，PM+PN的最小值为【点评】本题考查平行四边形性质及应用，涉及菱形的判定，等边三角形性质及应用，对称变换等，解题的关键是掌握解决“将军饮马”模型的方法【变式3-2】（2022春周村区期末）如图，P为ABC所在平面上一点，且APBBPCCPA120，则点P叫做ABC的费马点（1）如果点P为锐角三角形ABC的费马点，且ABC60求证：ABPBCP；若PA3，PC4，求PB的长（2）已知锐角三角形ABC，分别以AB、AC为边向外作正三角形ABE和正三角形ACD，CE和BD相交于P点，连结AP，如图求CPD的度数；求证：P点为ABC的费马点【分析】（1）由三角形内角和定理可求PB
16、A+PAB60，可证PBCBAP，可得结论；由相似三角形的性质可得，即可求解；（2）由“SAS”可证ACEADB，可得12，即可求解；通过证明ADFCFP，可得，可证AFPCDF，可得APFACD60，可得结论【解答】（1）证明：点P为锐角三角形ABC的费马点，APBBPCCPA120，PBA+PAB60，ABC60，ABP+PBC60，PBCBAP，又APBBPC，ABPBCP，解：ABPBCP，又PA3，PC4，PB2；（2）解：设AC与BD的交点于F，如图，ABE与ACD都为等边三角形，BAECAD60，AEAB，ACAD，BAE+BACCAD+BAC，即EACBAD，在ACE和ADB中
17、，ACEADB（SAS），12，34，CPD6560；证明：12，56，ADFCFP，AFPFDFCP，AFPCFD，AFPCDF，APFACD60，APCCPD+APF120，BPC120，APB360BPCAPC120，P点为ABC的费马点【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，费马点的定义，以及等边三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键一、填空题1（罗平期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的点，BE=1，F为AB的中点，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为 .【答案】17【解析】【解答】解：正方形ABCD是轴对称图形，A
18、C是一条对称轴，点F关于AC的对称点在线段AD上，设为点G，连结EG与AC交于点P，则PF+PE的最小值为EG的长，AB=4，AF=2，AG=AF=2，EG= 12+42=17 。故答案为： 17 。【分析】根据正方形的性质可知：点F关于AC的对称点在线段AD上，设为点G，连结EG与AC交于点P，则PF+PE的最小值为EG的长，过点E作EH垂直于AD于点H，根据矩形的性质及勾股定理即可算出EG的长，从而得出答案。2（2022安顺）已知正方形ABCD的边长为4，E为CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，过点D作DGAF，交AF于点H，交BF于点G，N为EF的中点，M为BD上一动点，分别
19、连接MC，MN若SDCGSFCE=19，则MC+MN的最小值为 【答案】5172【解析】【解答】解：如图，连接AM，四边形ABCD是正方形，A点与C点关于BD对称，CM=AM，MN+CM=MN+AMAN， .当A、M、N三点共线时，MN + CM的值最小，ADCF ，DAE=F，DAE+DEH=90，DGAF，CDG+DEH=90，DAE=CDG，CDG=F，DCGFCE，SDCGSFCE=19，CDCF=13，CD=4，CF=12，ADCF，AEEF=ADCF=DECE=13，DE=1，CE=3， 在RtCEF中，EF=CE2+CF2=32+122=317，AE=17，N是EF的中点，EN=
20、3172，AN=AE+EN=17+3172=5172，MC+MN的最小值为5172. 故答案为：5172. 【分析】根据正方形的性质，得出A点与C点关于BD对称，根据轴对称的性质和三角形的三边关系得出MN+CM= MN+ AMAN，则知当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小为AN，再证明ADCGFCE，结合SDCGSFCE=19，得出CDCF=13，则可求出CF，再由平行线分线段成比例的性质求出DE和CE长，根据勾股定理求出EF和AE长，则可得出EN长，从而求出AN长，即可解答.3（2022南充）如图，正方形ABCD边长为1，点E在边AB上（不与A，B重给），将ADE沿直线DE折叠，点A落
21、在点A1处，连接A1B，将A1B绕点B顺时针旋转90得到A2B，连接A1A，A1C，A2C给出下列四个结论；ABA1CBA2；ADE+A1CB=45；点P是直线DE上动点，则CP+A1P的最小值为 2 ；当ADE = 30时，A1BE的面积为起 3-36 ，其中正确的结论是 （填写序号）【答案】【解析】【解答】解：四边形ABCD是正方形，AB=BC，ABC=90， 由旋转的性质得： A1B= A2B，A1BA2=90，ABA1+A1BC=A2BC+A1BC=90，ABA1=A2BC，ABA1CBA2（SAS），说法正确；如图，过点D作DFA1C于点F，DC=DA1，CDF=A1DF，ADE=A
22、1DE，ADC=90，ADE+CDF=45， 又DCF+CDF=90，DCF+A1CB=90，CDF=A1CB，ADE+A1CB=45，说法正确；如图，连接PA、PC，A1和A关于DE对称，PA1=PA，PA1+PC=PA+PC， 当A、P、C三点共线时，PA+PC=AC=2，即PA1+PC最短，PA1+PC最短为2，说法正确；如图，过点A1作A1GAB于点G，ADE=30，AD=3AE，AE=33，EB=1-33=3-33， 又A1ADE，DAA1=60，A1AG=30，AA1=AD=1，A1G=12AA1=12，A1BE面积=12EBA1G=123-3312=3-312，说法错误. 故正确
23、答案为：. 【分析】由正方形性质得AB=BC，ABC=90，由旋转的性质得 A1B= A2B，A1BA2=90，从而推出ABA1=A2BC，即可证出ABA1CBA2；如图，过点D作DFA1C于点F，由旋转性质及正方形性质推出ADE+CDF=45，再由DCF+CDF=90，DCF+A1CB=90，推出CDF=A1CB，从而得到ADE+A1CB=45；如图，连接PA、PC，由折叠性质可知A1和A关于DE对称，从而得到PA1=PA，即得PA1+PC=PA+PC，当A、P、C三点共线时，PA+PC=AC=2，即PA1+PC最短，即可求出PA1+PC最短为2；如图，过点A1作A1GAB于点G，利用正方形
24、性质及含30 角直角三角形的性质可求得AE=33，即得EB=1-33=3-33，再由A1ADE，从而得DAA1=60，进而得到A1AG=30，AA1=AD=1，再含30 角直角三角形的性质可求得A1G=12AA1=12，最后由三角形的面积公式得A1BE面积=12EBA1G，代入数据计算即可求得A1BE面积，据此逐项分析，即可得出符合题意的答案.二、综合题4（大埔期末）已知四边形ABCD是菱形（四条边都相等的平行四边形）AB4，ABC60，EAF的两边分别与边BC，DC相交于点E，F，且EAF60（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系为： （2）如图2
25、，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B，C重合），求证：BECF； （3）求AEF周长的最小值 【答案】（1）AEEFAF（2）证明：如图2， BACEAF60，BAECAF，在BAE和CAF中，BAE=CAFBA=ACB=ACFBAECAF（ASA）BECF（3）解：由（1）可知AEF是等边三角形， 当AEBC时，AE的长最小，即AEF的周长最小，AEEFAF2 3 ，AEF的周长为6 3 【解析】【解答】解：（1）AEEFAF理由：如图1中，连接AC，四边形ABCD是菱形，B60，ABBCCDAD，BD60，ABC，ADC是等边三角形，BACDAC60BEEC，BAECAE30，AEB
26、C，EAF60，CAFDAF30，AFCD，AEAF（菱形的高相等）AEF是等边三角形，AEEFAF故答案为AEEFAF；【分析】（1）结论AEEFAF只要证明AEAF即可证明AEF是等边三角形；（2）欲证明BECF，只要证明BAECAF即可；（3）根据垂线段最短可知；当AEBC时，AEF的周长最小；5如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点
27、N，使NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）解：根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x1）（x5），把点A（0，4）代入上式得：a= 45 ，y= 45 （x1）（x5）= 45 x2 245 x+4= 45 （x3）2 165 ，抛物线的对称轴是：直线x=3；（2）解：P点坐标为（3， 85 ）理由如下：点A（0，4），抛物线的对称轴是直线x=3，点A关于对称轴的对称点A的坐标为（6，4）如图1，连接BA交对称轴于点P，连接AP，此时PAB的周长最小设直线BA的解析式为y=kx+b，把A（6，4），B（1，0）代入得 4=6k+b0=k+b ，解得
28、 k=45b=-45 ，y= 45 x 45 ，点P的横坐标为3，y= 45 3 45 = 85 ，P（3， 85 ）（3）解：在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使NAC面积最大设N点的横坐标为t，此时点N（t， 45 t2 245 t+4）（0t5），如图2，过点N作NGy轴交AC于G；作ADNG于D，由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y= 45 x+4，把x=t代入得：y= 45 t+4，则G（t， 45 t+4），此时：NG= 45 t+4（ 45 t2 245 t+4）= 45 t2+4t，AD+CF=CO=5，SACN=SANG+SCGN= 12 ADNG+
29、 12 NGCF= 12 NGOC= 12 （ 45 t2+4t）5=2t2+10t=2（t 52 ）2+ 252 ，当t= 52 时，CAN面积的最大值为 252 ，由t= 52 ，得：y= 45 t2 245 t+4=3，N（ 52 ，3）【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-5），然后将代入A（0，4）代入抛物线的解析式可求得a的值，从而可得到抛物线的解析式，然后利用抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴；（2）作点A关于对称轴的对称点A，连接BA交对称轴于点P，连接AP，此时PAB的周长最小，然后再求出直线BA的解析式，从而可求得点P的坐标（3）在直线AC的下方的抛
30、物线上存在点N，使NAC面积最大设N点的横坐标为t，可得到点N的坐标，再求得直线AC的解析式，从而可求得NG的长t的函数关系式，最后再求出二次函数最大值即可.6（金华月考）如图1，在直线l上找一点C，使AC+BC最短，并在图中标出点C【简单应用】（1）如图2，在等边ABC中，AB10，ADBC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值，借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连接BM，EM+MC的最小值就是线段 的长度，则EM+MC的最小值是 ；（2）如图3，在四边形ABCD中，BAD140，BD90，在BC，CD上分别找一点M、N，当AMN周长最小时
31、，AMN+ANM （3）如图4，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，AOB30，OA1千米，OB2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程【答案】（1）BE；53（2）80（3）解：如图，作点A关于OB的对称点A1，点B关于OA的对称点B1，连接A1B1，交OB于点C，交OA于点D，AC=A1C，BD=B1D，OA=OA1=1，OB=OB1=2，A1OC=AOB=AOB1=30，AC+CD+BD=A1C+CD+B1D=A1B1，此时货船行驶的水路最短，A
32、1OB1=A1OC+AOB+AOB1=90，A1B1=OA12+OB12=12+22=5（千米），最短路径是 5千米.【解析】【解答】解：（1）在等边ABC中，ADBC，B与C关于直线AD对称，BM=MC，EM+MC=EM+BM=BE，EM+MC的最小值就是线段BE，E是AC的中点，AB=AC=10，BEAC，AE=5，BE=AB2-AE2=53，EM+MC的最小值是53，故答案为：BE；53；（2）如图，延长AB到A，使BA=AB，延长AD到A，使DA=AD，连接AA与BC、CD分别交于点M、N，ABC=ADC=90，A、A关于BC对称，A、A关于CD对称，此时AMN的周长最小，BA=BA，
33、MBAB，MA=MA，同理：NA=NA，A=MAB，A=NAD，AMN=A+MAB=2A，ANM=A+NAD=2A，AMN+ANM=2（A+A），BAD=140，A+A=180-BAD=40，AMN+ANM=240=80，故答案为：80；【分析】（1）根据轴对称的性质得出BM=MC，得出EM+MC=BE，即可得出EM+MC的最小值就是线段BE，在根据勾股定理求出BE的长，即可得出答案；（2）延长AB到A，使BA=AB，延长AD到A，使DA=AD，连接AA与BC、CD分别交于点M、N，根据轴对称的性质得出此时AMN的周长最小，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质得出AMN+ANM=2（A+A），求出A+A的度数，即可得出答案；（3）作点A关于OB的对称点A1，点B关于OA的对称点B1，连接A1B1，交OB于点C，交OA于点D，根据轴对称的性质得出此时货船行驶的水路最短，证出A1OB1=90，利用勾股定理求出A1B1的长，即可得出答案.
