1、 二次函数的综合 题型解读：二次函数的综合问题在中考中常常作为压轴题出现，多考查二次函数与几何图形的综合，一般要用到线段最值、图形面积、特殊三角形、特殊四边形、相似三角形等相关知识，以及转化与化归、数形结合、分类讨论等数学思想.此类题型常涉及以下问题：求抛物线、直线的解析式；求点的坐标、线段长度、图形面积；探究几何图形的存在性问题或周长、面积的最值问题.下图为二次函数综合问题中各题型的考查热度.题型1：二次函数与最值问题解题模板： 1.（2022广元）在平面直角坐标系中，直线yx2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yax2+bx+c（a0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C（1）求a
2、，b满足的关系式及c的值；（2）当a时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求ABP周长的最小值；（3）当a1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QDAB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值【分析】（1）在直线yx2中，令x0和y0可得点A和B的坐标，代入抛物线yax2+bx+c（a0）中可解答；（2）连接BC交直线x1于点P，利用两点之间线段最短可得出此时PAB的周长最小，从而可以解答；（3）根据a1时，可得抛物线的解析式yx2+x2，如图2，过点Q作QFx轴于F，交AB于E，则EQD是等腰直角三角形，设Q（m，m2+m2），则E（m，m2），表示QE的长，
3、配方后可解答【解答】解：（1）直线yx2中，当x0时，y2，B（0，2），当y0时，x20，x2，A（2，0），将A（2，0），B（0，2）代入抛物线yax2+bx+c（a0）中，得，2ab1，c2；（2）如图1，当a时，2b1，b，抛物线的解析式为：yx2x2（x1）2，抛物线的对称轴是：x1，由对称性可得C（4，0），要使ABP的周长最小，只需AP+BP最小即可，如图1，连接BC交直线x1于点P，因为点A与点C关于直线x1对称，由对称性可知：AP+BPPC+BPBC，此时ABP的周长最小，所以ABP的周长为AB+BC，RtAOB中，AB2，RtBOC中，BC2，ABP周长的最小值为2+2；
4、（3）当a1时，21b1，b1，yx2+x2，A（2，0），B（0，2），C（1，0），OAOB，AOB是等腰直角三角形，OAB45，如图2，过点Q作QFx轴于F，交AB于E，则EQD是等腰直角三角形，设Q（m，m2+m2），则E（m，m2），QE（m2）（m2+m2）m22m（m+1）2+1，QDQE（m+1）2+，当m1时，QD有最大值是，当m1时，y1122，综上，点Q的坐标为（1，2）时，QD有最大值是【变式1-1】（2022遂宁节选）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，3）（1）求抛物线的
5、解析式；（2）如图1，E为ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，2），求DEF周长的最小值；【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为方程组解决；（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2当D1，EFD2共线时，DEF的周长最小，最小值为D1D2的长；（3）求出直线AM的解析式，利用方程组求出点M的坐标，过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q分三种情形：当AMAN时，当AMMN时，当ANMN时，分别构建方程求解【解答】解：（1）抛物线yx2+bx+c经过点A（1，0），点C（0，
6、3），抛物线的解析式为yx22x3；（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2由对称性可知DED1E，DFD2F，DEF的周长D1E+EF+D2F，当D1，EFD2共线时，DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，令y0，则x22x30，解得x1或3，B（3，0），OBOC3，BOC是等腰直角三角形，BC垂直平分DD2，且D（0，2），D2（1，3），D，D1关于x轴对称，D1（0，2），D1D2，DEF的周长的最小值为【变式1-2】（2022齐齐哈尔节选）综合与探究如图，某一次函数与二次函数yx2+mx+n的图象交点为A（1，0），B
7、（4，5）（1）求抛物线的解析式；（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DEx轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；【分析】（1）将A（1，0），B（4，5）代入yx2+mx+n，解方程即可得出答案；（2）根据两点之间，线段最短，可知当点A、B、C三点共线时，AC+BC的最小值为AB的长，求出直线AB的解析式，即可得出点C的坐标；（3）设D（a，a22a3），则E（a，a+1），表示出DE的长度，利用二次函数的性质可得答案；（4）分CF为对角线和边，分别画出图形，利用正方形的性质可得答案【解答】
8、解：（1）将A（1，0），B（4，5）代入yx2+mx+n得，抛物线的解析式为yx22x3；（2）设直线AB的函数解析式为ykx+b，直线AB的解析式为yx+1，AC+BCAB，当点A、B、C三点共线时，AC+BC的最小值为AB的长，抛物线yx22x3的对称轴为x1，当x1时，y2，C（1，2），故答案为：（1，2）；（3）设D（a，a22a3），则E（a，a+1），DE（a+1）（a22a3）a2+3a+4（1a4），当a时，DE的最大值为；题型2：二次函数与图形面积问题解题模板： 技巧精讲：表示图形面积的方法2.（2022常德）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为
9、x2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限（1）求此抛物线的解析式；（2）当OAB的面积为15时，求B的坐标；（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PAPB的值最大时，求P的坐标以及PAPB的最大值【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）设B（2，m）（m0），运用待定系数法求得直线OA的解析式为yx，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），BHm2，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案；（3）运用待定系数法求得直线AB的解析式为yx+10，当PAPB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，联立方程组求解即可求得点P的坐标，利用两点间距离公式可求得AB，即
10、PAPB的最大值【解答】解：（1）抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x2，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），设抛物线解析式为yax（x4），把A（5，5）代入，得5a5，解得：a1，yx（x4）x24x，故此抛物线的解析式为yx24x；（2）点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，设B（2，m）（m0），设直线OA的解析式为ykx，则5k5，解得：k1，直线OA的解析式为yx，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），BHm2，SOAB15，（m2）515，解得：t8，点B的坐标为（2，8）；（3）设直线AB的解析式为ycx+d，把A（5，5），B（2，
11、8）代入得：，解得：，直线AB的解析式为yx+10，当PAPB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，P是抛物线上的动点，解得：，（舍去），P（2，12），此时，PAPBAB3【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，利用三角形三边关系定理求线段差的最大值，利用线段和差求最值问题是解题的关键【变式2-1】（2022内蒙古节选）如图，抛物线yax2+x+c经过B（3，0），D（2，）两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积
12、；（请在图1中探索）【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）作直线BC，过M点作MNy轴交BC于点N，求出直线BC的解析式，设M（m，m2+m+），则N（m，m+），可得SMBCMNOB（m）2+，再求解即可；（3）设Q（0，t），P（m，m2+m+），分三种情况讨论：当AB为平行四边形的对角线时；当AQ为平行四边形的对角线时；当AP为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式求解即可【解答】解：（1）将B（3，0），D（2，）代入yax2+x+c，解得，yx2+x+，令x0，则y，C（0，）；（2）作直线BC，过M点作MNy轴交BC于点N，设直线BC的
13、解析式为ykx+b，解得，yx+设M（m，m2+m+），则N（m，m+），MNm2+m，SMBCMNOB（m）2+，当m时，MBC的面积有最大值，此时M（，）；【变式2-2】（2022淄博）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：yx+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）过点P作PMx轴于点M，PNl于点N，当1m3时，求PM+PN的最大值；（3）设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生
14、变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由【分析】（1）利用顶点式求解，可得结论；（2）如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，BD交PM于点J设P（m，m2+2m+3）四边形DTBP的面积PDT的面积+PBT的面积DTPN+TBPM（PM+PN），推出四边形DTBP的面积最大时，PM+PN的值最大，求出四边形DTBP的面积的最大值，可得结论；（3）四边形AFBG的面积不变如图，设P（m，m2+2m+3），求出直线AP，BP的解析式，可得点E，F的坐标，求出FG的长，可得结论【解答】解：（1）抛物线的顶点D（1，4），可以假设抛物线的解析式为y（x1）2+4x2+2x+3；（2）
15、如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，BD交PM于点J设P（m，m2+2m+3）点D（1，4）在直线l：yx+t上，4+t，t，直线DT的解析式为yx+，令y0，得到x2，T（2，0），OT2，B（3，0），OB3，BT5，DT5，TDTB，PMBT，PNDT，四边形DTBP的面积PDT的面积+PBT的面积DTPN+TBPM（PM+PN），四边形DTBP的面积最大时，PM+PN的值最大，D（1，4），B（3，0），直线BD的解析式为y2x+6，J（m，2m+6），PJm2+4m3，四边形DTBP的面积DTB的面积+BDP的面积54+（m2+4m3）2m2+4m+7（m2）2+1110，m
16、2时，四边形DTBP的面积最大，最大值为11，PM+PN的最大值11；（3）四边形AFBG的面积不变理由：如图，设P（m，m2+2m+3），A（1，0），B（3，0），直线AP的解析式为y（m3）xm+3，E（1，2m+6），E，G关于x轴对称，G（1，2m6），直线PB的解析式y（m+1）x+3（m+1），F（1，2m+2），GF2m+2（2m6）8，四边形AFBG的面积ABFG4816四边形AFBG的面积是定值【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题【变式2-2】（2022菏泽
17、节选）如图，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于A（2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC（1）求抛物线的表达式；（2）将ABC沿AC所在直线折叠，得到ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标，并求出四边形OADC的面积；【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）过点D作DEx轴于点E，利用轴对称的性质和三角形的中位线的性质定理求得线段OE，DE，则点D坐标可得；利用四边形OADC的面积SOAC+SACD，SADCSABC，利用三角形的面积公式即可求得结论；（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当点P在BC上方时，利用平行线的判定与性质可得点
18、C，P的纵坐标相等，利用抛物线的解析式即可求得结论；当点P在BC下方时，设PC交x轴于点H，设HBHCm，利用等腰三角形的判定与性质和勾股定理求得m值，则点H坐标可求；利用待定系数法求得直线PC的解析式，与抛物线解析式联立即可求得点P坐标；【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于A（2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），解得：抛物线的表达式为y+x+4；（2）点D的坐标为（8，8），理由：将ABC沿AC所在直线折叠，得到ADC，点B的对应点为D，如图，过点D作DEx轴于点E，A（2，0）、B（8，0），C（0，4），OA2，OB8，OC4，AOCCOB90，
19、AOCCOB，ACOCBOCBO+OCB90，ACO+OCB90，ACB90，将ABC沿AC所在直线折叠，得到ADC，点B的对应点为D，点D，C，B三点在一条直线上由轴对称的性质得：BCCD，ABADOCAB，DEAB，DEOC，OC为BDE的中位线，OEOB8，DE2OC8，D（8，8）；由题意得：SACDSABC，四边形OADC的面积SOAC+SADCSOAC+SABCOCOA+ABOC42+1044+2024；题型3：二次函数与图形判定问题：类型一：与特殊三角形相关解题模板：技巧精讲；1：动点构成特殊三角形的作图方法2.动点构成特殊三角形的分类讨论方法（情景同上）3.（2022百色）已知
20、抛物线经过A（1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F（1）求抛物线的表达式；（2）求证：BOFBDF；（3）是否存在点M，使MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长【分析】（1）把A（1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入yax2+bx+c，即可得解；（2）根据正方形的性质得出OBCDBC，BDOB，再由BFBF，得出BOFBDF，最后利用全等三角形的性质得出结论；（3）分两种情况讨论解答，当M在线段BD的延长线上时，先求出M，再利用解直角三角形得出结果，当M在线段BD上
21、时，得出BOM30，类比解答即可【解答】（1）解：设抛物线的表达式为yax2+bx+c，把A（1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，抛物线的表达式为：yx2+2x+3；（2）证明：正方形OBDC，OBCDBC，BDOB，BFBF，BOFBDF，BOFBDF；（3）解：抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，令y3，则3x2+2x+3，解得：x10，x22，E（2，3），如图，当M在线段BD的延长线上时，BDF为锐角，FDM为钝角，MDF为等腰三角形，DFDM，MDFM，BDFM+DFM2M，BMOC，MMOC，由（2）得BOFBDF，BDF+MOC3M90，M30，在RtBOM中，
22、BM，MEBMBE32；如图，当M在线段BD上时，DMF为钝角，MDF为等腰三角形，MFDM，BDFMFD，BMOBDF+MFD2BDF，由（2）得BOFBDF，BMO2BOM，BOM+BMO3BOM90，BOM30，在RtBOM中，BM，MEBEBM2，综上所述，ME的值为：32或2【点评】本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质及解直角三角形，分类讨论思想的运用是解题的关键【变式3-1】（2022东营）如图，抛物线yax2+bx3（a0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使ACQ
23、的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）连接CB交对称轴于点Q，当C、B、Q三点共线时，ACQ的周长最小，求出直线BC的解析式，再求Q点坐标即可；（3）分两种情况讨论：当BPM90时，PMPB，M点与A点重合，则M（1，0）；当PBM90时，PBBM，P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PHGH交于H，过点M作MGHG交于G，可证明BPHMBG（AAS），设P（1，t），则M（3t，2），求出M点坐标为（1，2）；
24、当P点在M点下方时，同理M（3+t，2），可求M点坐标为（1，2）【解答】解：（1）将点A（1，0），点B（3，0）代入yax2+bx3，解得，yx22x3；（2）连接CB交对称轴于点Q，yx22x3（x1）24，抛物线的对称轴为直线x1，A、B关于对称轴x1对称，AQBQ，AC+AQ+CQAC+CQ+BQAC+BC，当C、B、Q三点共线时，ACQ的周长最小，C（0，3），B（3，0），设直线BC的解析式为ykx+b，解得，yx3，Q（1，2）；（3）当BPM90时，PMPB，M点与A点重合，M（1，0）；当PBM90时，PBBM，如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作P
25、HGH交于H，过点M作MGHG交于G，PBM90，PBH+MBG90，PBH+BPH90，MBGBPH，BPBM，BPHMBG（AAS），BHMG，PHBG2，设P（1，t），则M（3t，2），2（3t）22（3t）3，解得t2+或t2，M（1，2）或（1+，2），M点在对称轴的左侧，M点坐标为（1，2）；如图2，当P点在M点下方时，同理可得M（3+t，2），2（3+t）22（3+t）3，解得t2+（舍）或t2，M（1，2）；综上所述：M点的坐标为（1，2）或（1，2）或（1，0）【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，轴对称求最短距离，分类讨
26、论，数形结合是解题的关键【变式3-2】（2022呼和浩特节选）如图，抛物线yx2+bx+c经过点B（4，0）和点C（0，2），与x轴的另一个交点为A，连接AC、BC（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）如图1，若点D是线段AC的中点，连接BD，在y轴上是否存在点E，使得BDE是以BD为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为yx2+x+2，令y0得A（1，0）；（2）由A（1，0），C（0，2），知线段AC的中点D（，1），设E（0，t），根据BED90，得（40）2+（0t）2+（0）2+（1t）2（4+）2+（01）
27、2，即可解得E的坐标为（0，1）或（0，2）；【解答】解：（1）将点B（4，0）和点C（0，2）代入抛物线yx2+bx+c中，则，解得：，抛物线的解析式为yx2+x+2，在yx2+x+2中，令y0得x2+x+20，解得：x11，x24，A（1，0）；（2）存在y轴上一点E，使得BDE是以BD为斜边的直角三角形，理由如下：如图：点D是线段AC的中点，A（1，0），C（0，2），D（，1），设E（0，t），又B（4，0），BED90，BE2+DE2BD2，即（40）2+（0t）2+（0）2+（1t）2（4+）2+（01）2，化简得：t2t20，解得：t11，t22，E的坐标为（0，1）或（0，2）
28、；类型二：与特殊四边形相关技巧精讲：动点构成特殊四边形的作图方法2.动点构成特殊四边形的分类讨论方法（情境同上）4.（2022攀枝花）如图，二次函数yax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为1，点M（1，m）是其对称轴上一点，y轴上一点B（0，1）（1）求二次函数的表达式；（2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，PAB的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由【分析】（1）根据题意
29、知，二次函数顶点为（1，1），设二次函数解析式为ya（x1）21，将点B（0，0）代入得，a10，即可得出答案；（2）连接OP，根据题意得点A的坐标，则SSAOB+SOAPSOBP，代入化简即可；（3）设N（n，n22n），分AB或AN或AM分别为对角线，利用平行四边形的性质和中点坐标公式，分别求出n的值，进而得出答案【解答】解：（1）二次函数的最小值为1，点M（1，m）是其对称轴上一点，二次函数顶点为（1，1），设二次函数解析式为ya（x1）21，将点O（0，0）代入得，a10，a1，y（x1）21x22x；（2）连接OP，当y0时，x22x0，x0或2，A（2，0），点P在抛物线yx22x
30、上，点P的纵坐标为t22t，SSAOB+SOAPSOBP+（t2+2t）tt2+1；（3）设N（n，n22n），当AB为对角线时，由中点坐标公式得，2+01+n，n1，N（1，1），当AM为对角线时，由中点坐标公式得，2+1n+0，n3，N（3，3），当AN为对角线时，由中点坐标公式得，2+n0+1，n1，N（1，3），综上：N（1，1）或（3，3）或（1，3）【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，平行四边形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键【变式4-1】（2022朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0
31、）和点B，与y轴交于点C（0，3），连接BC（1）求抛物线的解析式及点B的坐标（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值（3）动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式求得a，c的值，进而得出解析式，当y0时，求出方程的解，进而求得B点坐标；（2）由B，C两点求出B
32、C的解析式，进而设出点P和点Q坐标，表示出PQ的长，进一步得出结果；（3）要使以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形，只需PMB是等腰三角形，所以分为PMBM，PMPB和BPBM，结合图象，进一步得出结果【解答】解：（1）由题意得，yx2+2x3，当y0时，x2+2x30，x11，x23，B（3，0）；（2）设直线BC的解析式为：ykx+b，yx3，设点P（m，m3），Q（m，m2+2m3），PQ（m3）（m2+2m3）m23m（m+）2+，当m时，PQ最大；（3）如图1，B（3，0），C（0，3），OBOC3，OCBOBC45，作PDy轴于D，CDPDPCsinOCBt，当BMPM时，MPB
33、OBC45，PMOPDOMOD90，四边形OMPD是矩形，OMPDt，由BM+OMOB得，2t3，t，P（，），N（3，），如图2，当PMPB时，作PDy轴于D，作PEx轴于E，BM2BE，可得四边形PDOE是矩形，OEPDt，BE3t，t2（3t），t2，P（2，1），N（2，1），如图3，当PBMB时，3t，t63，P（3，33），N（0，33），综上所述：N（3，）或（2，1）或（0，33）【点评】本题考查了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形【变式4-2】（2022泰安
34、）若二次函数yax2+bx+c的图象经过点A（2，0），B（0，4），其对称轴为直线x1，与x轴的另一交点为C（1）求二次函数的表达式；（2）若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MNx轴于点N若点N在线段OC上，且MN3NC，求点M的坐标；以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标【分析】（1）利用待定系数法求出a，b，c即可；（2）求出直线AB的解析式为y2x4，因为A，C关于直线x1对称，推出C（4，0），设N（m，0），则M（m，2m4），NC4m，根据MN3NC，构建方程求解；如图2中，连接PQ，MN交于点E设M（t，2t4），则点N（t，
35、0），利用正方形的性质求出点P的坐标，代入抛物线的解析式，构建方程求解【解答】解：（1）二次函数yax2+bx+c的图象经过点B（0，4），c4，对称轴为直线x1，经过A（2，0），解得，抛物线的解析式为yx2x4；（2）如图1中，设直线AB的解析式为ykx+n，A（2，0），B（0，4），解得，直线AB的解析式为y2x4，A，C关于直线x1对称，C（4，0），设N（m，0），MNx轴，M（m，2m4），NC4m，MN3NC，2m+43（4m），m，点M（，）；如图2中，连接PQ，MN交于点E设M（t，2t4），则点N（t，0），四边形MPNQ是正方形，PQMN，NEEP，NEMN，PQx轴，
36、E（t，t2），NEt+2，ON+EPON+NEt+t+22t+2，P（2t+2，t2），点P在抛物线yx2x4上，（2t+2）2（2t+2）4t2，解得t1，t22，点P在第四象限，t2舍去，t，点M坐标为（，5）【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题【变式4-3】（2022黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B（0，4）经过原点O的抛物线yx2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D（1）求抛物线yx2+bx+c的表达式；（2）M是线段A
37、B上一点，N是抛物线上一点，当MNy轴且MN2时，求点M的坐标；（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将点A、O的坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可；（2）设直线AB的解析式为ykx+b，利用待定系数法求出解析式，再表示出MN，然后根据MN2解方程可得答案；（3）分AC为边和对角线两种情况进行讨论：根据平移的性质，三角形相似的性质和判定，两点的距离公式可得结论【解答】解：（1）抛物线yx2+bx+c过点A（4，0）和O（0，0），解得：，抛物线的解析式为：yx2+4x；（
38、2）直线AB经过点A（4，0）和B（0，4），直线AB的解析式为：yx+4，MNy轴，设M（t，t+4），N（t，t2+4t），其中0t4，当M在N点的上方时，MNt+4（t2+4t）t25t+42，解得：t1，t2（舍），M1（，），当M在N点下方时，MNt2+4t（t+4）t2+5t42，解得：t12，t23，M2（2，2），M3（3，1），综上，满足条件的点M的坐标有三个（，）或（2，2）或（3，1）；（3）存在，如图2，若AC是矩形的边，设抛物线的对称轴与直线AB交于点R，且R（2，2），过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点P1，P2，C（1，3），D（2，4），CD，同理得：C
39、R，RD2，CD2+CR2DR2，RCD90，点P1与点D重合，当CP1AQ1，CP1AQ1时，四边形ACP1Q1是矩形，C（1，3）向右平移1个单位，向上平移1个单位得到P1（2，4），A（4，0）向右平移1个单位，向上平移1个单位得到Q1（5，1），此时直线P1C的解析式为：yx+2，直线P2A与P1C平行且过点A（4，0），直线P2A的解析式为：yx4，点P2是直线yx4与抛物线yx2+4x的交点，x2+4xx4，解得：x11，x24（舍），P2（1，5），当ACP2Q2时，四边形ACQ2P2是矩形，A（4，0）向左平移3个单位，向上平移3个单位得到C（1，3），P2（1，5）向左平移3
40、个单位，向上平移3个单位得到Q2（4，2）；如图3，若AC是矩形的对角线，设P3（m，m2+4m）当AP3C90时，过点P3作P3Hx轴于H，过点C作CKP3H于K，P3KCAHP390，P3CKAP3H，P3CKAP3H，点P不与点A，C重合，m1或m4，m23m+10，m，如图4，满足条件的点P有两个，即P3（，），P4（，），当P3CAQ3，P3CAQ3时，四边形AP3CQ3是矩形，P3（，）向左平移个单位，向下平移个单位得到C（1，3），A（4，0）向左平移个单位，向下平移个单位得到Q3（，），当P4CAQ4，P4CAQ4时，四边形AP4CQ4是矩形，P4（，）向右平移个单位，向上平移
41、个单位得到C（1，3），A（4，0）向右平移个单位，向上平移个单位得到Q4（，）；综上，点Q的坐标为（5，1）或（4，2）或（，）或（，）【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质等知识，正确画图，并运用分类讨论的思想是解本题的关键一、解答题1（九上垦利期末）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（4，0）两点（）求抛物线的解析式；（）若抛物线交y轴于点C，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（）在抛物线第二象限的图象上
42、是否存在一点P，使得PBC的面积最大？若存在，请直接写出点P的坐标和PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由【答案】解：（）将A（2，0），B（4，0）代入得： -4+2b+c=0-16-4b+c=0 ， 解得 b=-2c=8 ，则该抛物线的解析式为：yx22x+8；（）存在，理由：如图1，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，设直线BC的解析式为：ykx+d，将点B（4，0）、C（0，8）代入得： d=8-4k+d=0 ，解得 k=2d=8 ，故直线BC解析式为：y2x+8，直线BC与抛物线对称轴 x1的交点为Q，此时QAC的周长最小解方程组 y=2x+8x=-1 ，解得 x=-1y=6 ，故
43、点Q的坐标为（1，6）；（）存在，理由：如图2，过点P作PEx轴于点E，设P点的坐标为（x，x22x+8）（4x0），SBPCS四边形BPCOSBOCS四边形BPCO16，若S四边形BPCO有最大值，则SBPC就最大，S四边形BPCOSBPE+S直角梯形PEOC 12 BEPE+ 12 OE（PE+OC） 12 （x+4）（x22x+8）+ 12 （x）（x22x+8+8）2（x+2）2+24，当x2时，S四边形BPCO最大值24，SBPC最大24168，当x2时，x22x+88，点P的坐标为（2，8）2（九上兰陵期中）如图，直线y=-12x+2与x轴、y轴分别交于B、A两点，Q是线段AB上的
44、动点（不与A、B重合），将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90得到点Q，连接OQ，求OQ的最小值【答案】解：作QMx轴于点M，QNx轴于N，PMQ=PNQ=QPQ=90，QPM+NPQ=PQN+NPQ，QPM=PQN，在PQM和QPN中，PMQ=PNQQPM=PQNPQ=PQ，PQMQPN(AAS)，PN=QM，QN=PM，设Q(m，-12m+2)，PM=|m-1|，QM=|-12m+2|，ON=|3-12m|，Q(3-12m，1-m)，OQ2=(3-12m)2+(1-m)2=54m2-5m+10=54(m-2)2+5，当m=2时，OQ2有最小值为5，OQ的最小值为53（2021河东模拟）抛物线y
45、x2+bx+c（b，c为常数）与x轴交于点（x1，0）和（x2，0），与y轴交于点A，点E为抛物线顶点（）当x11，x23时，求点E，点A的坐标；（）若顶点E在直线yx上时，用含有b的代数式表示c；在的前提下，当点A的位置最高时，求抛物线的解析式；（）若x11，b0，当P（1，0）满足PA+PE值最小时，求b的值【答案】解：（）抛物线yx2bxc（b，c为常数）与x轴交于点（x1，0）和（x2，0），与y轴交于点A，点E为抛物线顶点，x11，x23， 点（1，0），（3，0）在抛物线yx2bxc的图象上，1-b+c=0-9+3b+c=0 ，解得 b=2c=3 ，yx22x3（x1）24，点A的
46、坐标为（0，3），点E的坐标为（1，4）；（）yx2bxc -(x-b2)2+b2+4c4 ，点E的坐标为（ b2 ， b2+4c4 ），顶点E在直线yx上，b2 b2+4c4 ，c 2b-b24 ；由知， c=2b-b24=-14b2+12b=-14(b-1)2+14 ，则点A的坐标为（0， -14(b-1)2+14 ），当b1时，此时点A的位置最高，函数yx2x 14 ，即在的前提下，当点A的位置最高时，抛物线的解析式是 y=-x2+x+14 ；（）x11，抛物线yx2bxc过点（x1，0），1bc0，c1b，点E的坐标为（ b2 ， b2+4c4 ），点A的坐标为（0，c），E（ b2
47、， (b+2)24 ），A（0，b1），点E关于x轴的对称点E（ b2 ， (b+2)24 ），设过点A（0，b1）、P（1，0）的直线解析式为ykxt，t=b+1k+t=0 ，得 k=-b-1t=b+1 ，直线AP的解析式为y（b1）x（b1）（b1）x（b1）（b1）（x1），当直线AP过点E时，PAPE值最小， (b+2)24 （b1）（ b2 1），化简得：b26b80，解得：b1 3+17 ，b2 3-17b0，b 3+17 ，即b的值是3 17 4（2021阳西模拟）如图，点 B ， C 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上， OB ， OC 的长分别为 x2-8x+12=0 的两个
48、根 (OCOB) ，点 A 在 x 轴的负半轴上，且 OA=OC=3OB ，连接 AC （1）求过 A ， B ， C 三点的抛物线的函数解析式； （2）点 P 从点 C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 CA 运动到点 A ，点 Q 从点 O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿 OC 运动到点 C ，连接 PQ ，当点 P 到达点 A 时，点 Q 停止运动，求 SCPQ 的最大值； （3）M 是抛物线上一点，是否存在点 M ，使得 ACM=15 ？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1）由 x2-8x+12=0 得 x=6 或 x=2 又OCOB ，点 B 的坐标为
49、(2,0) ，点 C 的坐标为 (0,6) OA=OC ，点 A 的坐标为 (-6,0) 设抛物线的函数解析式为 y=ax2+bx+c ，将点 A ， B ， C 的坐标代入 y=ax2+bx+c 中，得 36a-6b+c=04a+2b+c=0c=6 ，解得 a=-12b=-2c=6 过 A ， B ， C 三点的抛物线的函数解析式为 y=-12x2-2x+6 （2）OA=OC ，ACO=45 由题意得 PC=2t ， CQ=6-t ，|xP|=PCsin45=2t SCPQ=12CQ|xP|=12(6-t)2t=-22(t2-6t) -220 ，当 t=3 时， SCPQ 有最大值，最大值为
50、 922 （3）如图，当点 M 在 AC 上方时，过点 M 作 MEx 轴于点 E ， 作 MFy 轴于点 F ，连接 MC ACM=15 ， ACO=45 ，OCM=60 设点 M 的坐标为 (m,-12m2-2m+6)(-6m0) ，则 MF=-m 在 RtMCF 中，CF=MFtanMCF ，CF=33MF=-33m OF=OC-CF=6+33m MEO=EOF=MFO=90 ，四边形 MEOF 是矩形ME=OF 即 -12m2-2m+6=6+33m ，解得 m1=0 （舍去）， m2=-4-233 ME=6+33m=16-433 点 M 的坐标为 -4-233,16-433 如图，当点
51、 M 在 AC 下方时，过点 M 作 MHx 轴于点 H ，设 MC 与 x 轴交于点 G ，连接 MC 设点 M 的坐标为 (n,-12n2-2n+6)(n-6) ，则 OH=-n ， MH=12n2+2n-6 ACM=15 ， CAO=45 ，CGO=HGM=CAG+ACM=60 在 RtCGO 中，OC=6 ，OG=OCtanCGO=23 GH=OH-OG=-n-23 在 RtMGH 中， MH=GHtanHGM=3GH ，12n2+2n-6=-3n-6 ，解得 n1=0 （舍去）， n2=-4-23 GH=-n-23=4 ， MH=3GH=43 点 M 的坐标为 (-4-23,-43)
52、 综上所述，存在点 M ，使得 ACM=15 ，且点 M 的坐标为 -4-233,16-433 或 (-4-23,-43) 5（2021九上中山期末）如图，抛物线yax2bx3经过A、B、C三点，点A（3，0）、C（1，0），点B在y轴上点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）（1）求此抛物线的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求出此时P点的坐标；（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）解：把A（3，0）和C（1，0
53、）代入yax2+bx3，得，0=9a-3b-30=a+b-3，解得，a=1b=2，抛物线解析式为yx2+2x3；（2）解：设P（x，x2+2x3），直线AB的解析式为ykx+b，由抛物线解析式yx2+2x3，令x0，则y3，B（0，3），把A（3，0）和B（0，3）代入ykx+b，得，0=-3k+b-3=b，解得，k=-1b=-3，直线AB的解析式为yx3，PEx轴，E（x，x3），P在直线AB下方，PEx3（ x2+2x3）x23x（x+32）2+94，当x32时，yx2+2x3-154，当PE最大时，P点坐标为（32，-154）（3）解：存在，理由如下，x221-1，抛物线的对称轴为直线x
54、-1，设Q（-1，a），B（0，-3），A（-3，0），当QAB90时，AQ2+AB2BQ2，22+a2+32+3212+（3+a）2，解得：a2，Q1（-1，2），当QBA90时，BQ2+AB2AQ2，12+（3+a）2+32+3222+a2，解得：a4，Q2（-1，4），当AQB90时，BQ2+AQ2AB2，12+（3+a）2+22+a232+32，解得：a1-3+172或a1-3-172，Q3（-1，-3+172），Q4（-1，-3-172），综上所述：点Q的坐标是（-1，2）或（-1，4）或（-1，-3+172）或（-1，-3-172）6（九上大安期末）如图，抛物线 y=x2+bx+c
55、 与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为 (-3，0) ，与y轴交于点C，点 D(-2，-3) 在抛物线上 （1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出 PA+PD 的最小值； （3）若抛物线上有一动点Q，使 ABQ 的面积为6，求点Q的坐标 【答案】（1）解：抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A(-3，0)，D(-2，-3) ，9-3b+c=0，4-2b+c=-3， 解得 b=2，c=-3，抛物线的解析式为 y=x2+2x-3（2）解：由（1）得抛物线 y=x2+2x-3 的对称轴为直线 x=-1，C(0，-3) D(-2，-3) ，C，D关于抛物线的对称轴对称，连接 A
56、C ，可知，当点P为直线 AC 与对称轴的交点时， PA+PD 取得最小值，最小值为 AC=OA2+OC2=32+32=32（3）解：设点 Q(m，m2+2m-3) ， 令 y=x2+2x-3=0 ，得 x=-3 或1，点B的坐标为 (1，0) ，AB=4 SQAB=6 ，124|m2+2m-3|=6 ，m2+2m-6=0 或 m2+2m=0 ，解得： m=-1+7 或 -1-7 或0或 -2 ，点Q的坐标为 (0，-3) 或 (-2，-3) 或 (-1+7，3) 或 (-1-7，3)7（2021长葛模拟）如图，抛物线 y=-x2+bx+c 与x轴交于A（-1，0），B（5，0）两点，直线 y
57、=-x+4 与y轴交于点C，与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PFx轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m. （1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得PCE与DEF相似.若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）解：由抛物线 y=-x2+bx+c 过 A(-1,0) ， B(5,0) 两点可得： -1-b+c=0-25+5b+c=0 .解得 b=4c=5 .故该抛物线的解析式为 y=-x2+4x+5（2）解：存在点 P ，使得 PCE 与 DEF 相似. 直线 y=-x+4 与y轴交于点C，与x轴交于点D.点C坐标为（0，4），点D坐标为
58、（4，0），OC=OD=4 ，ODC=OCD=45 ，又 PFx 轴，EFD=90 ，又 PEC=DEF=45 ， 要使 PCE 与 DEF 相似，只需 CPE=90 或 PCE=90 即可.设 P(m,-m2+4m+5) ，则 E(m,-m+4) ，当 CPE=90 时，则由 -m2+4m+5=4 ，解得： m=25 ，此时点 P 的坐标 (2+5,4) 或 (2-5,4) ；当 PCE=90 时，过 P 作 PGy 轴于点 G ，则 PG=|m| ， GC=|-m2+4m+5-4|=|-m2+4m+1|当 PCG 为等腰直角三角形时，有 PCE=90 .于是 PG=GC ，即 m=-m2+
59、4m+1 ，解得： m=3132 ，此时点 P 的坐标为 (3+132,11+132) 或 (3-132,11-132) ，故综上所述，有符合条件的点 P 存在，且坐标为 (2+5,4) 或 (2-5,4) 或 (3+132,11+132) 或 (3-132,11-132)8（2021铁岭模拟）如图，抛物线yax2bx6与x轴交于点A（6，0），B（1，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CMBM最小时，求点M的坐标（3）抛物线上是否存在点P，使ACP为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）解：当
60、x0时，yax2bx66，则C（0，6）， 设抛物线的解析式为ya（x1）（x6），把C（0，6）代入得a1（6）6，解得a1，抛物线的解析式为y（x1）（x6），即yx25x6；（2）解：连接AC，与对称轴交点即为所求点M， 设AC所在直线的解析式为ymxn，将A（6，0），C（0，6）代入，得： 6m+n=0n=6 ，解得： m=-1n=6 ，则AC所在直线解析式为yx6，又yx25x6（x 52 ）2 494 ，抛物线的对称轴为直线x 52 ，在直线yx6中当x 52 时，y 72 ，则M的坐标为（ 52 ， 72 ）；（3）解：设P点坐标为（x，-x2+5x+6）， 存在4个点P，使A
61、CP为直角三角形PC2=x2+（-x2+5x）2，PA2=（x-6）2+（-x2+5x+6）2，AC2=62+62=72，当PAC=90，PA2+AC2=PC2，（x-6）2+（-x2+5x+6）2+72=x2+（-x2+5x）2，整理得x2-4x-12=0，解得x1=6（舍去），x2=-2，此时P点坐标为（-2，-8）；当PCA=90，PC2+AC2=PA2，72+x2+（-x2+5x）2=（x-6）2+（-x2+5x+6）2，整理得x2-4x=0，解得x1=0（舍去），x2=4，此时P点坐标为（4，10）；当APC=90，PA2+AC2=PC2，（x-6）2+（-x2+5x+6）2+x2+
62、（-x2+5x）2=72，整理得x3-10x2+20x+24=0，x3-10x2+24x-4x+24=0，x（x2-10x+24）-4（x-6）=0，x（x-4）（x-6）-4（x-6）=0，（x-6）（x2-4x-4）=0，而x-60，所以x24x40，解得x122 2 ，x222 2 ，此时P点坐标为（22 2 ，42 2 ）或（22 2 ，42 2 ）；综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，8）或（4，10）或（22 2 ，42 2 ）或（22 2 ，42 2 ）9（2022九上金华月考）如图，抛物线与轴交于A、B（3，0）两点，与轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为D（1）求抛物线的解
63、析式；（2）已知点M是x轴上的动点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由（3）在直线BC下方抛物线上一点P，作PQ垂直BC于点Q，连接CP，当CPQ中有一个角等于ACO时，求点P的坐标。【答案】（1）解：（1）把点B（3，0），C（0，3）分别代入yax2-2x+c， 得9a-6+c=0c=-3，a=1c=-3，抛物线的解析式为yx2-2x-3.（2）解：令y0时，即x2-2x-30， 解得：x1-1，x23，A（1，0），yx2-2x-3（x-1）2-4，抛物线顶点D的坐标为（1，-
64、4）， 又C（0，-3）、B（3，0）、D（1，-4），BD222+4220，CD212+122，BC232+3218，BD2CD2+BC2，BDC是直角三角形，且BCD90， 设点M的坐标（m，0）， 则点G的坐标为（m，m2-2m-3）， 如图，过点M作x轴的垂线交抛物线于点G，AMGBCD90，要使以A、M、G为顶点的三角形与BCD相似， 需要满足条件：AMMG=BCCD或AMMG=CDBC，AM|-1-m|，MG|m2-2m-3|，CD2，BC32，BCCD3，CDBC13，|-1-m|m2-2m-3|3，|-1-m|m2-2m-3|=13， 整理，解得：m83或103或m-1（舍去）
65、， 整理，解得：m0或m6或m-1（舍去），M（0，0）或M（6，0）或M（ 83，0）或M（103 ，0）.（3）解：如图所示，在直线BC下方抛物线上一点P，作PQ垂直BC于点Q，连接CP， 过点P作PHy轴于点H， 设P（x，x2-2x-3），PHx，CH|x2-2x-3-（-3）|x2-2x|，PQCCHP90，P，Q，H，C四点共圆，PCQCPH， 当PCQACO时，HPCACO，tanHPCtanACO，HCPH=AOCO=13，PH3HC，x3|x2-2x|， 解得x153，x20（舍去）或x373，x40（舍去），点P的坐标为（53，-329 ）或（73，-209 ）10（202
66、2博山模拟）如图，已知抛物线 y=ax2+bx-4 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为 (-2，0) ，直线 BC 的解析式为 y=12x-4 （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点A作 ADBC 交抛物线于点D（异于点A），P是直线 BC 下方抛物线上一点，过点P作 PQy 轴，交 AD 于点Q，过点Q作 QRBC 于点R，连接 PR 求 PQR 面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，点C关于 x 轴的对称点为点 C ，将抛物线沿射线 CA 的方向平移 25 个单位长度得到新的抛物线 y ，新抛物线 y 与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点N，平面直角坐
67、标系内是否存在一点K，使得以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）解：点B在x轴上，且点B在y= 12 x-4上， B（8，0）， A（2，0），B（8，0），都在抛物线y=ax2+bx-4上，x=2，x=8是方程ax2+bx-4=0的两个根，16= 4a ， -ba =6， a= 14 ， b= 32 ， y= 14 x2 32 x4；（2）解：ADBC，直线BC的解析式为y= 12 x4，设直线AD的解析式为y= 12 xb1，把A（2，0）代入得：0= 12(-2) +b1，解得：b1=1， 直线AD的解析式为y= 12 x+
68、1， 过点B作BGAD交点G，QRBC，QR=BG，在RtABG中，AB=10，tanBAG= 12=BGAG ，由勾股定理得：BG=2 5 ，设P（m， 14 m2 32 m4），R（n， 12 n4），则Q（m， 12 m+1），QR=2 5 ，（2 5 ）2=（mn）2+( 12 m 12 n+5) 2， nm=2， R（m+2， 12 m3），SPQR= 12 （ 12 m+1 14 m2+ 32 m+4）2= 14 m2+2m+5= 14 （m4）2+9，当m=4时，SPQR有最大值9，P（4，6）；（3）存在，以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形时，K点坐标为（1， 65 ）或（7， 365 ）或（13，1）或（13，3）
