1、 反比例函数的综合题型解读：反比例函数的综合问题在中考中常常以解答题和填空题的形式出现，解答题考查居多.此类题型多是反比例函数与一次函数及几何图形的综合考查，一般要用到解不等式、图形面积、特殊三角形、特殊四边形、相似三角形等相关知识，以及数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想. 此类题型常涉及以下问题：求反比例函数的解析式；求交点坐标、图形面积；利用函数图象比较一次函数与反比例函数值的大小；反比例函数与几何图形综合.下图为反比例函数综合问题中各题型的考查热度.题型1：反比例函数与一次函数交点问题解题模板：技巧精讲：利用函数图象确定不等式的解集：1.（2022秋西安期末）如图，已知反比例函数y
2、与直线y2x+2交于A（1，4），B两点（1）求点B的坐标；（2）根据函数图象，直接写出关于x的不等式2x+2的解集【分析】（1）联立两函数解析式，求解即可；（2）结合函数图象，要求不等式2x+2即反比例函数图象在一次函数图象的上方，以此可得出结论【解答】解：（1）由题意得：，解得：，B（2，2）；（2）结合图象可知，当1x0或x2时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，不等式2x+2的解集为1x0或x2【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，把两个函数关系式联立成方程组求解，并利用数形结合思想解不等式组是解题关键【变式1-1】（2022贵阳）一次函数yx3的图象与反比例函数y的图
3、象相交于A（4，m），B（n，4）两点（1）求这个反比例函数的表达式；（2）根据图象写出使一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数表达式，求出m的值，再把点A的坐标代入反比例函数表达式求出k的值；（2）反比例函数图象在一次函数图象上方时x的取值范围就是一次函数值小于反比例函数值x的取值范围【解答】解：（1）一次函数yx3过点A（4，m），m（4）31点A的坐标为（4，1）反比例函数y的图象过点A，kxy414反比例函数的表达式为y（2）反比例函数y过点B（n，4）4，解得n1一次函数值小于反比例函数值，一次函数图象在反比例函数图象的下方在y轴左侧，一次函数
4、值小于反比例函数值x的取值范围为：4x0； 在第四象限内，一次函数值小于反比例函数值x的取值范围为：x1一次函数值小于反比例函数值的x取值范围为：4x0或x1【点评】本题考查了一次函数与反比例函数图象的综合问题，根据两个函数图象确定其对应不等式的解时，首先应确定函数图像的交点坐标，其次要注意函数图象的位置【变式1-2】（2022秋绥宁县期中）在平面直角坐标系xOy中，一次函数ykx+b和反比例函数y，的图象都经过点A（3，m）、B（n，3）（1）求一次函数的表达式；（2）不等式kx+b的解集是？【分析】（1）将A（3，m），B（n，3）代入y，求出m，n的值，即可得A，B的坐标，再将两点坐标代
5、入ykx+b，求出k，b的值，即可得一次函数的表达式（2）画出一次函数yx5的大致图象，由图可得答案【解答】解：（1）将A（3，m），B（n，3）代入y，得m2，n2，A（3，2），B（2，3），将A（3，2），B（2，3）代入ykx+b，得，解得，一次函数的表达式为yx5（2）一次函数yx5的图象大致如下：根据图象可知，不等式x5的解集为x3或0x2【点评】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解答本题的关键题型2：反比例函数与一次函数图像面积问题解题模板：2.（2022重庆）已知一次函数ykx+b（k0）的图象与反比例函数y的图象相交于点A（1，
6、m），B（n，2）（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b的解集；（3）若点C是点B关于y轴的对称点，连接AC，BC，求ABC的面积【分析】（1）根据反比例函数解析式求出A点和B点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数的表达式即可；（2）根据图象直接得出不等式的解集即可；（3）根据对称求出C点坐标，根据A点、B点和C点坐标确定三角形的底和高，进而求出三角形的面积即可【解答】解：（1）反比例函数y的图象过点A（1，m），B（n，2），n，解得m4，n2，A（1，4），B（2，2），一次函数ykx+b（k0）的图象过A点和B点，解得，一次函
7、数的表达式为y2x+2，描点作图如下：（2）由（1）中的图象可得，不等式kx+b的解集为：2x0或x1；（3）由题意作图如下：由图知ABC中BC边上的高为6，BC4，SABC12【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数交点的问题，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，三角形面积公式等知识是解题的关键【变式2-1】（2022菏泽）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yax+b的图象与反比例函数y的图象都经过A（2，4）、B（4，m）两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求ABC的面积【分析】（1）把A，B两点
8、的坐标代入y中可计算k和m的值，确定点B的坐标，根据待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的解析式；（2）如图，设AB与x轴交于点D，证明CDx轴于D，根据SABCSACD+SBCD即可求得【解答】解：（1）将A（2，4），B（4，m）两点代入y中，得k2（4）4m，解得，k8，m2，反比例函数的表达式为y；将A（2，4）和B（4，2）代入yax+b中得，解得，一次函数的表达式为：yx2；（2）如图，设AB与x轴交于点D，连接CD，由题意可知，点A与点C关于原点对称，C（2，4）在yx2中，当x2时，y0，D（2，0），CD垂直x轴于点D，SABCSADC+SBCD4（2+2）+4（42）8+
9、412【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积等，数形结合是解题的关键【变式2-2】（2022鄂尔多斯）如图，已知一次函数yax+b与反比例函数y（x0）的图象交于A（2，4），B（4，2）两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D（1）根据图象直接写出不等式ax+b的解集；（2）求反比例函数与一次函数的解析式；（3）点P在y轴上，且SAOPSAOB，请求出点P的坐标【分析】（1）通过图象位置关系解不等式（2）用待定系数法法求解析式（2）先求AOB的面积，再求P的坐标【解答】解：（1）当y的图象在yax+b图象的下方时，ax+b成立，4x2（2）将A
10、（2，4）代入y得：8m，反比例函数为：y将A（2，4），B（4，2）代入yax+b得：，解得：，一次函数的表达式为：yx+6（3）在yx+6中，当y0时，x6，C（6，0）SABOSAOCSBOCOC（yAyB）626，SAOP63，P在y轴上，OP|xA|3，OP3P（0，3）或（03）【点评】本题考查一次函数和反比例函数的综合问题，数形结合，将线段的长度转化为坐标运算是求解本题的关键题型3：反比例函数与几何图形结合解题模板：3.（遂宁）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数ykx+b（k0）与反比例函数y（m0）的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作ADx轴于D，AD4，sinAOD
11、，且点B的坐标为（n，2）（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）E是y轴上一点，且AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标【分析】（1）由垂直的定义及锐角三角函数定义求出AO的长，利用勾股定理求出OD的长，确定出A坐标，进而求出m的值确定出反比例解析式，把B的坐标代入反比例解析式求出n的值，确定出B坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）分类讨论：当AO为等腰三角形腰与底时，求出点E坐标即可【解答】解：（1）一次函数ykx+b与反比例函数y图象交于A与B，且ADx轴，ADO90，在RtADO中，AD4，sinAOD，即AO5，根据勾股定理得：DO3，A（3，4），代
12、入反比例解析式得：m12，即y，把B坐标代入得：n6，即B（6，2），代入一次函数解析式得：，解得：，即yx+2；（2）当OE3OE2AO5，即E2（0，5），E3（0，5）；当OAAE15时，得到OE12AD8，即E1（0，8）；当AE4OE4时，由A（3，4），O（0，0），得到直线AO解析式为yx，中点坐标为（1.5，2），AO垂直平分线方程为y2（x+），令x0，得到y，即E4（0，），综上，当点E（0，8）或（0，5）或（0，5）或（0，）时，AOE是等腰三角形【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握各自的性质是解本题的关键【变式3-1】（成都）如图，在平面直角坐标
13、系xOy中，一次函数yx+b的图象经过点A（2，0），与反比例函数y（x0）的图象交于B（a，4）（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设M是直线AB上一点，过M作MNx轴，交反比例函数y（x0）的图象于点N，若A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标【分析】（1）根据一次函数yx+b的图象经过点A（2，0），可以求得b的值，从而可以解答本题；（2）根据平行四边形的性质和题意，可以求得点M的坐标，注意点M的横坐标大于0【解答】解：（1）一次函数yx+b的图象经过点A（2，0），02+b，得b2，一次函数的解析式为yx+2，一次函数的解析式为yx+2与反比例函数y（x0）的图
14、象交于B（a，4），4a+2，得a2，4，得k8，即反比例函数解析式为：y（x0）；（2）点A（2，0），OA2，设点M（m2，m），点N（，m），当MNAO且MNAO时，四边形AOMN是平行四边形，|2，解得，m2或m+2，点M的坐标为（2，）或（，2+2）【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答【变式3-2】（菏泽）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA2，OC4，连接OB反比例函数y（x0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点E、F一次函数yk2x+b的图象经过E、F两点（1）分
15、别求出一次函数和反比例函数的表达式；（2）点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，点P的坐标为 （，0）【分析】（1）由矩形的性质及中点坐标公式可得D（2，1），从而可得反比例函数表达式；再求出点E、F坐标可用待定系数法解得一次函数的解析式；（2）作点E关于x轴的对称点E，连接EF交x轴于点P，则此时PE+PF最小求出直线EF的解析式后令y0，即可得到点P坐标【解答】解：（1）四边形OABC为矩形，OABC2，OC4，B（4，2）由中点坐标公式可得点D坐标为（2，1），反比例函数y（x0）的图象经过线段OB的中点D，k1xy212，故反比例函数表达式为y令y2，则x1；令x4，则y故点E坐
16、标为（1，2），F（4，）设直线EF的解析式为yk2x+b，代入E、F坐标得：，解得：故一次函数的解析式为y（2）作点E关于x轴的对称点E，连接EF交x轴于点P，则此时PE+PF最小如图由E坐标可得对称点E（1，2），设直线EF的解析式为ymx+n，代入点E、F坐标，得：，解得：则直线EF的解析式为y，令y0，则x点P坐标为（，0）故答案为：（，0）【点评】本题考查了反比例函数的图象性质，反比例函数图象与一次函数图象的交点，中点坐标公式，矩形的性质，待定系数法求函数解析式，最短路径问题（将军饮马）解题关键在于牢固掌握待定系数法求函数解析式、将军饮马解题模型一、解答题1已知函数 y=y1+y2，
17、y1 与 x 成正比例， y2 与 x 成反比例，且当 x=1 时， y=1 ；当 x=2 时， y=5 ，求 y 与 x 的函数关系式.【答案】解：设 y1=k1x，y2=k2x，k1k20，y=y1+y2=k1x+k2x将 x=1，y=1；x=2，y=5 代入上式，得 1=k11+k21，5=k12+k22， 解得 k1=3，k2=-2，y=3x-2x.【解析】【分析】根据正比例函数和反比例函数的定义得到y1，y2的关系式，进而得到y的关系式，再把x=1，y=1和x=2，y=5代入y的关系式中，即可得关于到k1，k2的方程组，求得k1，k2，即可解决问题.2（2021九上吉林期末）已知近视
18、眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为0.4米的眼镜了，求小慧所戴眼镜的度数降低了多少度【答案】解：由已知设y与x的函数关系式为：y=kx(k0)，把(0.25，400)代入，得400=k0.25，解得：k=0.25400=100，故y与x之间的函数关系式为：y=100x，当x=0.4时，有y=1000.4=250，400-250=150，小慧所戴眼镜的度数降低了150度【解析】【分析】设y与x的函数关系式为：y=kx(k0)，再将(0.25，400)代入y=kx(k
19、0)求出k的值，再将x=0.4代入反比例函数解析式求出y的值，再利用400-250=150计算即可。3（2022钦州模拟）如图，点C在反比例函数y=1x的图象上，CAy轴，交反比例函数y=3x的图象于点A，CBx轴，交反比例函数y=3x的图象于点B，连结AB、OA和OB，已知CA2，求ABO的面积.【答案】解：设A（a，3a），则C（a，1a），CA2，3a-1a=2，解得a1，A（1，3），C（1，1），B（3，1），作BEx轴于E，延长AC交x轴于D，SABOSAODS梯形ABEDSBOE，SAODSBOE=32，SABOS梯形ABED=12（13）（31）4；故答案为：4.【解析】【分析
20、】设A（a，3a），则C（a，1a），根据CA=2可得a的值，进而可得点A、B、C的坐标，作BEx轴于E，延长AC交x轴于D，根据面积间的和差关系可得SABOSAODS梯形ABED-SBOE，根据反比例函数系数k的几何意义可得SAODSBOE=32，据此计算.4（2022九上莲湖期末）已知反比例函数 y=2k-3x 的图象位于第二、四象限，正比例函数 y=kx 图象经过第一、三象限，求k的整数值 【答案】解： 反比例函数 y=2k-3x 的图象位于第二、四象限，正比例函数 y=kx 图象经过第一、三象限，2k-30k0 解之：k32k0k的取值范围是0k32，k的整数值为1.【解析】【分析】利
21、用反比例函数y=kx（k0）的图象分支在第二、四象限，则k0；正比例函数y=kx（k0）的图象经过第一、三象限，可知k0；由此可得到关于k的不等式组，然后求出不等式组的解集，利用不等式组的解集可得到k的整数值.5（2021九上秦都期末）已知反比例函数 y=3-2mx ，当 x0 时，y随x的增大而减小，求正整数m的值. 【答案】解：对于反比例函数 y=3-2mx ，当 x0 ，解得： m0时，求出m的范围，结合m为正整数可得m的值.二、综合题6（2022内江模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数ykx+b（k0）与反比例函数y=mx（m0）的图象相交于A，B两点，过点A作ADx轴于点D，AO
22、5，OD：AD3：4，B点的坐标为（6，n）（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求AOB的面积；（3）P是y轴上一点，且AOP是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标.【答案】（1）解：AO5，OD：AD3：4，设：OD3a，AD4a，则AD5a5，解得：a1，故点A（3，4），则m3412，故反比例函数的表达式为：y=12x，故B（6，2），将点A、B的坐标代入一次函数表达式ykx+b得：4=3k+b-2=-6k+b，解得：k=23b=2，故一次函数的表达式为：y=23x+2；（2）解：设一次函数y=23x+2交y轴于点M（0，2），点A（3，4），B（6，2），AOB的面积S
23、=12OM（xAxB）=122（3+6）9；（3）P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，5）或（0，258）【解析】【解答】解：(3)设点P（0，m），而点A、O的坐标分别为：（3，4）、（0，0），AP29+（m4）2，AO225，PO2m2，当APAO时，9+（m4）225，解得：m8或0（舍去0）；当AOPO时，同理可得：m5；当APPO时，同理可得：m=258；综上，P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，5）或（0，258）.【分析】（1）由题意可设OD3a，AD4a，则AO5a5，解得a1，即点A（3，4），将点A坐标代入反比例函数解析式中可求出k值，即得反比例函数解析式，从
24、而求出点B坐标，将A、B坐标代入一次函数解析式中，求出k、b值即可；（2）先求出M坐标，根据AOB的面积S=12OM（xAxB）进行计算即可；（3）分三种情况：当APAO时，当AOPO时，当APPO时，据此分别求解即可.7（2022信阳模拟）如图，直线y=-2x+b与x轴、y轴分别相交于点 A，B，以线段 AB为边在第一象限作正方形ABCD，已知AB=25（1）求直线 AB的解析式；（2）求点D的坐标，并判断点D是否在双曲线y=12x，说明理由.【答案】（1）解：当x=0时，y=b， 点B的坐标为(0，b)，当y=0时，x=b2，点A的坐标为(b2，0)，OB=b，OA=b2，OA2+OB2=
25、AB2，(b2)2+b2=(25)2，解得b=4或b=-4(舍去)直线 AB的解析式为y=-2x+2；（2）解：不在； 理由如下：b=4，点B的坐标为(0，4)，点A的坐标为(2，0)，OB=2，OA=1，过点D作DEx轴于点E，如图所示.OBA+OAB=90，OAB+EAD=90，OBA=EAD，在OAB和EDA中，AOB=DEAOBA=EADBA=AD，OABEDA(AAS)，AE=BO=4，DE=AO=2，OE=OA+AE=2+4=6，点D的坐标为(6，2)，当x=6时，y=126=21，点D不在双曲线y=12x的图象上.【解析】【分析】（1） 由直线y=-2x+b 可求出B(0，b)，
26、点A(b2，0)，可得OB=b，OA=b2，根据勾股定理知 OA2+OB2=AB2，据此建立关于b的方程，求出b值即得结论；（2）不在；理由易得OB=2，OA=1，过点D作DEx轴于点E，根据AAS证明OABEDA，可得AE=BO=4，DE=AO=2，从而求出 OE=OA+AE=6，可得D(6，2)，然后将点D代入双曲线解析式中检验即可.8（2022广东模拟）如图，直线AB与反比例函数y= kx （k0）的图象相交于A，B两点，已知A（1，4） （1）求反比例函数的解析式；（2）直线AB交x轴于点C，连接OA，当AOC的面积为6时，求直线AB的解析式，【答案】（1）解：由已知得反比例函数解析式
27、为 y=kx点A（1，4）在反比例函数的图象上，4=k1，k=4反比例函数的解析式为 y=4x（2）解：设C的坐标为（a，0）（a0） SAOC=6SAOC=12|OC|4=12a4=6解得a=3，C（3，0）设直线AB的解析式为y=mx+bC（3，0），A（1，4）在直线AB上0=-3m+b4=m+b解得 m=1b=3直线AB的解析式为y=x+3【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可；（2）设C的坐标为（a，0）（a0），利用三角形的面积公式求出a的值，得出点C的坐标，再利用 待定系数法求出一次函数的解析式即可.9（2022牡丹江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在
28、x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，直线BC的解析式为y=kx+6，线段OB，OA的长是一元二次方程x2-13x+36=0的两个根，且OB0)图象上的一点（1）求n的值和直线OA的解析式；（2）如图2，将反比例函数y=8x(x0)的图象绕原点O逆时针旋转45后，与y轴交于点M，求线段OM的长度；（3）如图3，将直线OA绕原点O逆时针旋转45，与反比例函数y=8x(x0)的图象交于点B，求点B的坐标【答案】（1）解：把点A（4，n）代入y=8x，得n=2；设直线OA为y=kx，把x=4y=2代入，得4k=2，解得：k=12，直线OA的解析式为y=12x；（2）解：如图1，
29、将y轴顺时针旋转45，交y=8x(x0) 的图象于点N，则OMON，直线ON的解析式为y = x，由y=8xy=x，解得：x=22y=22或x=-22y=-22（舍去）点N（22，22）OMON（22）2+（22）24；（3）解：如图2，作A点关于直线OB的对称点A1，则OA=OA1，AA1OB，作A1Cy轴于点C，作ADx轴于点D，易证RtA1OCRtAOD，OC=OD，A1C=AD，A的坐标为（4，2），A1的坐标为(-2，4)，直线AA1的解析式为：y=-13x+103，直线OB的解析式为：y=3x，由y=9xy=3x，解得x=263y=26或x=-263y=-26（负解舍去）点B(26
30、3，26)【解析】【分析】（1）把点A（4，n）代入y=8x中求出n值，再利用待定系数法求出射线OA解析式即可；（2）将y轴顺时针旋转45，交y=8x(x0) 的图象于点N，则OMON，易得直线ON的解析式为y = x，再联立反比例函数解析式为方程组并解之，可得N的坐标，利用勾股定理求出ON，即得OM的长；（3）作A点关于直线OB的对称点A1，则OA=OA1，AA1OB，作A1Cy轴于点C，作ADx轴于点D，可证RtA1OCRtAOD，可得OC=OD，A1C=AD，从而求出A1的坐标为(-2，4)，利用待定系数分别先求出直线AA1的解析式 ，从而得出直线OB的解析式，然后联立 反比例函数解析式为方程组并解之即得点B坐标.
