1、专题卷05 高二上学期期中重难点突破 A卷考试范围：考到椭圆一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知椭圆的左、右焦点为，是椭圆上的点，且，则A1B2C3D4【解答】解：椭圆，可知，椭圆的左、右焦点为，是椭圆上的点，且，由椭圆定义可得：故选：2经过，两点的直线的方向向量为，则A1B2CD【解答】解：经过，两点的直线的方向向量为，解得，故选：3已知空间向量，若，则A5B6C7D8【解答】解：因为，且，所以，解得故选：4如图，矩形中，正方形的边长为1，且平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为ABCD【解答】解：矩形中，正方形的边长为1
2、，且平面平面以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，0，设异面直线与所成角为，则异面直线与所成角的余弦值为：故选：5已知平行四边形内接于椭圆，且，斜率之积的取值范围为，则椭圆的离心率的取值范围为ABCD【解答】解：设，由平行四边形对角线互相平分可得与，与关于原点对称，所以可得，所以，将，的坐标代入可得相减可得，可得，由题意可得：，即，可得：，解得：，故选：6圆与圆的公切线条数为A1B2C3D4【解答】解：根据题意，圆，其圆心为，半径，圆，其圆心为，半径，圆心距，则有，两圆相交，则两圆有2条共切线；故选：7在长方体中，若点在线段上，则二面角的余弦值为ABCD【解答】解：以为原点，
3、为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如下图，则，2，2，2，2，平面的法向量，1，设平面的法向量，则，取，得，设二面角的平面角为，则二面角的余弦值为故选：8若圆上的任意一点关于直线对称的点仍在圆上，则的最小值为A1B2C3D4【解答】解：由圆，得，则圆心，半径圆上的任意一点关于直线对称的点仍在圆上，圆心在直线上，可得，即圆心到直线的距离，则的最小值为故选：二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9已知椭圆的中心为坐标原点，焦点，在轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点作轴的垂线交椭圆于、两点
4、，则下列说法正确的是A椭圆的方程为B椭圆的方程为CD的周长为【解答】解：由已知得，又，解得椭圆方程为如图：，的周长为故选：10下列说法正确的是A直线必过定点B直线在轴上的截距为C直线的倾斜角为D若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为【解答】解：对于：直线，整理得，所以该直线经过点，故正确；对于：直线，令，解得，故直线在轴上的截距为，故错误；对于：直线，所以直线的斜率，所以，由于，故，故正确；对于：直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则，所以直线的斜率为，故正确故选：11以下四个命题表述正确的是A直线
5、恒过定点B圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1C曲线与曲线恰有三条公切线，则D已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，为切点，则直线经过定点【解答】解：由，得，联立，解得，直线恒过定点，故错误；圆心到直线的距离等于1，直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线的距离等于1，故正确；两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线化为标准式，曲线化为标准式，圆心距为，解得，故正确；设点的坐标为，以为直径的圆的方程为，两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，令，解得，故直线经过定点，故正确故选：12如图四棱锥，平面平面，侧面是边长为的正三
6、角形，底面为矩形，点是的中点，则下列结论正确的是A平面B与平面所成角的余弦值为C三棱锥的体积为D异面直线与 所成的角的余弦值为【解答】证明：侧面是正三角形，取的中点，以为原点，为轴，过作的平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，0，0，点是的中点，0，底面为矩形，平面的法向量为，与平面的法向量不平行，与平面不垂直，故错误；，设平面的法向量为，即，令，可得，则，故与平面所成角的余弦值为，故正确；由于，故错误；，故正确故选：三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13如图，已知为椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且以为直径的圆过点，当时，该椭圆的离心率是【解答】解：如
7、图所示：，由题意可知，以为直径的圆过，点为椭圆的右焦点，则，且，又，则，设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可得，由椭圆的定义得，则，即离心率，故答案为：14如图，在平行六面体中，与交于点，在底面的射影为点，与底面所成的角为，则对角线的长为 【解答】解：由题知平面，为与平面所成的角，所以，因为，所以，又，所以，同理，所以为的角平分线，所以平行四边形为菱形，因为，所以三角形为等边三角形，则，又中，又，所以，所以故答案为：315四棱锥中，底面，底面是正方形，且，是的重心，则与面所成角的正弦值为【解答】解：四棱锥中，底面，底面是正方形，且，是的重心，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0
8、，0，3，3，2，2，0，3，设平面的法向量，则，取，得，0，与面所成角的正弦值为：故答案为：16已知、为椭圆上两点，线段的中点在圆上，则直线在轴上截距的取值范围为【解答】解：设点，、，线段的中点为，则，两式相减整理得，当，即或时，此时直线的方程为，令，则，若，则在，上单调递减，；若，则在，上单调递减，；当时，直线过点或，且垂直于轴，在轴上无截距综上所述，直线在轴上截距的取值范围为，故答案为：，四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17如图，在四棱锥中，平面，为的中点，底面是边长为2的正方形，且二面角的余弦值为（1）求的长；（2）求点到平面的距离【解答】解：
9、（1）依题意，两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系设由题意得，0，2，0，所以，0，2，设平面的法向量为，则，即，令，则，于是，又因为平面，所以平面的一个法向量为，0，依题意，有，解得，所以；（2）由（1）得，平面的法向量为，又，2，所以，0，所以点到平面的距离为18已知直线过点且与定直线在第一象限内交于点，与轴正半轴交于点，记的面积为为坐标原点），点（1）求实数的取值范围；（2）求当取得最小值时，直线的方程【解答】解：（1）当时，则直线的斜率不存在，这时直线的方程为，可得，时直线的斜率为：，要使直线与定直线交点在第一象限，需使，或，解得：，或，综上所述：实数的取值范围为，；（2）当直线的斜率
10、存在时，直线的方程为：，与联立可得：，所以可得的纵坐标为：，由题意，令，则，所以，所以面积的最小值为3，这时，直线的方程为：，即直线的方程为：当直线的斜率不存在时，由（1）可得，所以，即直线的方程为：19如图，点，分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，且满足轴，直线与椭圆相交于另一点（1）求椭圆的离心率；（2）若的周长为，求椭圆的标准方程【解答】解：（1）在中，由椭圆的定义，椭圆离心率；（2）的周长，则，则椭圆的标准方程为20如图，正三棱柱的所有棱长都为4，是的中点，在边上，（1）证明：平面平面；（2）设侧面上的动点，满足平面在图形中作出点的轨迹草图，并指出该轨迹的形状（不需要说明理由）；求
11、二面角的余弦值的最大值【解答】解：（1）证明：正三棱柱的所有棱长都为4，是的中点，在边上，平面，平面，是等边三角形，是中点，平面，平面，平面平面（2）解：取中点，中点，连结，设侧面上的动点，满足平面点的轨迹是线段解：由图知当点与点重合时，二面角的余弦值最大，以 为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，0，0，0，设平面的一个法向量，则，取，得，0，设平面的一个法向量，则，取，得，0，二面角的余弦值的最大值为21已知圆（）过点，作圆的两条切线，切点分别为，求直线的方程；（）若点是圆上的任意一点，是否存在定点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（）
12、由题意得，圆的圆心为，则，四点共圆，且以为直径，所以该圆的圆心坐标为，即，故该圆的半径，所以该圆的方程为，联立，两式相减得，所以直线方程为：（）假设存在定点，使得，设，则，因为，所以，整理得，所以，即，由，为圆上任意一点，可得，解得，所以存在定点，满足22已知椭圆过点，离心率为（）求椭圆的方程；（）已知定点，若直线与椭圆相交于、两点，试判断是否存在实数，使以为直径的圆过定点？若存在求出这个值，若不存在说明理由【解答】解：（）依题得，解得：，所以椭圆的方程为（）假设存在实数，使以为直径的圆过定点，设，联立方程，消去得：，若以为直径的圆过定点，则，则：，将代入此式得：，解得：，满足扫码关注学科网数学服务号，获取优质数学教育资源
