1、单元提升卷07 平面向量与复数（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （）ABCD【答案】B【分析】根据虚数单位的性质以及复数的除法运算，即可求得答案.【详解】由题意得，故选：B2如图，在梯形中，设，则（）ABCD【答案】C【分析】根据平面向量的线性运算，即可求得答案.【详解】由题意得E为中点，故，故选：C3在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量与平行若，则BC边上的中线AD为（）A1B2CD【答案】D【分析】根据向量平行列方程，利用平方的方法求得.【详解】由于向量与平行，所以，
2、由正弦定理得，由于所以，由于，所以.，两边平方得，所以.故选：D4已知两个单位向量满足则向量与的夹角为（）ABCD【答案】B【分析】由已知求得，再由数量积求向量的夹角公式求解【详解】由已知可得，由，得，则，向量与的夹角为.故选：B5已知复数，是关于的方程的两根，则下列说法中不正确的是（）ABCD若，则【答案】B【分析】在复数范围内解方程得，然后根据复数的概念、运算判断各选项【详解】对于关于的方程，则，不妨设，故A正确；，故C正确；，当时，故B错误；当时，所以，同理，故D正确故选：B6设为函数（）图象上一点，点，为坐标原点，的值为（）A-4BC4D1【答案】A【分析】由数量积的定义表示求出，再利
3、用条件，结合点在函数（）图象上，可求出点，从而解决问题.【详解】设点，则，又， 则可得，又，则，解得，所以.故选：A7在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且，与的夹角为.给出以下结论：越大越费力，越小越省力；的范围为；当时，；当时，.其中正确结论的序号是（）ABCD【答案】B【分析】利用平面向量的加法运算以及模长、数量积公式进行求解.【详解】对于，当时，故无法抬动物体，故错误；对于，根据题意，得，所以，解得，因为时，单调递减，所以越大越费力，越小越省力，故正确；对于，因为，所以当时，所以，故错误；对于，因为，所以当
4、时，所以，故正确.故选：B.8在中，.若，分别为边，上的点，且满足，则的最大值为（）ABCD【答案】A【分析】根据平面向量基底法进行转化并结合数量积运算公式、二次函数相关知识求解即可.【详解】由题意得，因为，所以，所以，因为，所以，函数开口向下，对称轴为，当时，取最大值.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9下列与平面向量相关的结论正确的是（）A在四边形中，若，则该四边形为平行四边形B对任意一个等边，都成立C对于非零向量，成立的充要条件是，方向相同D对于非零向量，成立的充要条件是，
5、方向相同【答案】AD【分析】根据向量相等的定义，以及向量数量积的公式，即可判断选项.【详解】A.由向量相等可知，且，所以四边形为平行四边形，故A正确；B. 对任意一个等边，应是都成立，故B错误；C.因为，所以，若，则，则或，即，方向相同或相反，反过来，方向相同，则，即，所以应是充分不必要条件，故C错误；D. 对于非零向量，成立的充要条件是，方向相同，故D正确.故选：AD10已知复数，复数满足，则（）ABC复数在复平面内所对应的点的坐标是D复数在复平面内所对应的点为，则【答案】AB【分析】根据共轭复数的定义以及复数的几何意义即可判断BCD，根据复数的乘法计算即可求解B.【详解】由已知，其对应点坐
6、标为，C错；，A正确；由知对应的点在以对应点为圆心，2为半径的圆上，因此，B正确；对应点坐标为，因此,故D错误，故选：AB.11已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（）A直线不过边的中点BC若，则D【答案】ABC【分析】利用向量加法法则结合向量线性运算计算判断D；假定AO过BC的中点，利用平面向量基本定理判断A；取点使得，结合重心性质计算判断B，利用数量积及运算律计算判断C作答.【详解】对于D，因为，所以，即，则，可得，故D错误；对于A，设的中点为，则.若直线过的中点，则存在实数满足，由选项D知，而与不共线，则有且，无解，即不存在，不过边的中点，故A正确；对于B，取点使得，则，即点
7、为的重心，如图，则.而，同理可得，因此，故B正确；对于C，由，得，而，则，解得，所以，故C正确.故选：ABC.12如图1，甲同学发现家里的地板是正方形的形状，地板的平面简化图如图2所示，四边形和四边形均为正方形，且为的中点，则下列各选项正确的是（）ABC向量在向量上的投影向量为D向量在向量上的投影向量为【答案】BCD【分析】连接，取的中点，取的中点，则为的中点，易得，分别是，的中点利用勾股定理判断A，根据正方形的性质及向量线性运算判断B，过作于，利用等面积法求出，即可求出，即可判断C，依题意可得且，即可判断D.【详解】如图，连接，取的中点，取的中点，则为的中点，易得，分别是，的中点因为，所以，
8、即，故A错误易得，则，因为，所以，故B正确过作于，设，则，由等面积法得，得，则，所以，所以向量在向量上的投影向量为，故C正确易得，所以，因为，所以，则向量在向量上的投影向量为，故D正确故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若复数满足，则 .【答案】【分析】设，根据条件得到，求出和的值即可.【详解】设，则，而，由题意知，则，解得，所以.故答案为：14已知，则在方向上的投影向量的坐标为 【答案】【分析】根据平面数量积的几何意义，结合数乘的坐标表示，可得答案.【详解】设与的夹角为，在方向上的投影向量为.故答案为：.15已知对任意平面向量，把B绕其起点沿逆时针方向旋转得到向量
9、叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿逆时针后得到点P，向量为向量在向量上的投影向量，则 .【答案】/【分析】根据题意，计算出 ，再利用投影向量的定义及模长公式即得.【详解】因为，所以，所以P点坐标为，所以，所以.故答案为：.16在直角梯形，分别为，的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示），若，其中，则的取值范围是 .【答案】【分析】结合题意建立直角坐标系，得到各点的坐标，再由得到，从而得到，由此可求得的取值范围.【详解】结合题意建立直角坐标，如图所示：.则，则，故，即.故答案为:四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或
10、演算步棸。17在，为虚数，为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 已知复数：.（1）若_，求实数的值；（2）若复数的模为，求的值.【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）从所给条件中选择其一，再根据复数的概念进行计算即可得解；（2）根据复数的几何意义，由模长公式进行计算即可得解.【详解】（1）选择，则，解得.选择为虚数，则，解得.选择z为纯虚数，则，解得或.（2）由可知复数.依题意，解得.因此.18已知向量：.(1)求与的模长.(2)求与的数量积.(3)求与的夹角的余弦值.(4)借助向量和单位圆求证：【答案】(1)；(2)；(3)；(4)证明见解析.【分析】（1）利用向量模
11、的坐标表示计算作答.（2）利用数量积的坐标表示计算作答.（3）利用（1）（2）的结论，结合向量夹角公式求解作答.（4）求出角的终边与单位圆的交点坐标，再利用向量夹角公式推理作答.【详解】（1）向量，则.（2）向量，则.（3）由（1）（2）知，与的夹角的余弦值.（4）令角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆分别交于点，则，即，存在，使得或于是，所以.19已知关于x的方程的两个虚数根为(1)若，求的取值范围；(2)若，求实数a的值【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意复数互为共轭复数，由复数的运算可得，根据判别式得出的范围，从而得出答案；（2）将平方，将韦达定理代入，结合判别式得出的范围，可
12、得答案.【详解】（1）因为关于x的方程的两个虚数根为，则，且复数互为共轭复数，即，若，因为，所以，所以的取值范围是；（2），因为，所以，所以.20如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，BE与AC，AF分别相交于M，N两点.(1)若，求；(2)若，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意以为基底向量，根据平面向量基本定理运算求解；（2）由（1）可得，根据几何性质可得，进而结合数量积的定义以及运算律运算求解.【详解】（1）以为基底向量，则，因为，所以，又因为，则存在唯一实数，使得，即，可得，解得，所以实数的值为.（2）由（1）可得因为，则，可得，由题意可得：，则，所以.
13、21如图，向量，为单位向量，点在内部，.(1)当时，求，的值；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）以为原点，建立平面直角坐标系，设，其中，根据，得到，再由，得到，联立方程组求得，结合，列出方程，即可求解；（2）根据题意得到，其中，结合，求得，得到，利用三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）解：以为原点，以所在的直线为轴，以过点垂直轴的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为向量，为单位向量且，可得，设，其中，可得，又因为，可得，即，由，可得，联立方程组，解得，又由，可得，可得.（2）解：因为且，可得，所以，其中，又因为，可得，可得，解得，所以，因为，可得，当时，即，此时，
14、可得取得最大值，又由，所以的取值范围为.22已知，是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点O作，以O为原点，分别以射线、为x、y轴的正半轴，建立平面坐标系，如图（1）.我们把这个由基底，确定的坐标系称为基底坐标系.当向量，不垂直时，坐标系就是平面斜坐标系，简记为.对平面内任一点P，连结OP，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对，使得，则称实数对为点在斜坐标系中的坐标.今有斜坐标系（长度单位为米，如图（2），且，设(1)计算的大小；(2)质点甲在上距O点4米的点A处，质点乙在oy上距O点1米的点B处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以3米/小时的速度移动.若过2小时后质点甲到达C点，质点乙到达D点，请用，表示；若时刻，质点甲到达M点，质点乙到达N点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离.【答案】(1)(2)；小时后，两质点相距最短，最短距离为米.【分析】（1）先依题意可得，再利用进行求解；（2）根据题意可得；根据题意可得，则，再利用二次函数的性质求最小值即可.【详解】（1）因为，所以，又，所以，所以，即的大小为.（2）如图所示：依题意，过2小时后质点甲到达C点（在点左边），且有，质点乙到达D点，且有，故.时刻时，质点甲到达M点，质点乙到达N点，如图所示：，则，所以两质点间的距离，因为，所以当时，取得最小值为，所以小时后，两质点相距最短，最短距离为米.
