1、第1页专项检测十三 圆锥曲线的方程与性质第2页一、选择题1已知抛物线 C 的开口向下，其焦点是双曲线y23x21的一个焦点，则抛物线 C 的方程为()Ay28xBx28yCy2 2xDx2 2yB解析：双曲线y23x21 的一个焦点为(0，2)，所以抛物线的焦点坐标也是(0，2)，故抛物线 C 的方程为 x28y.第3页2(2019北京卷)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为12，则()Aa22b2B3a24b2Ca2bD3a4bB解析：由题意得，ca12，c2a214，又 a2b2c2，a2b2a214，b2a234，4b23a2.故选 B.第4页3已知 F 是双曲线 C：x24y
2、251 的一个焦点，点 P 在 C上，O 为坐标原点若|OP|OF|，则OPF 的面积为()A.32B.52C.72D.92B第5页解析：因为 c2a2b29，所以|OP|OF|3.设点 P 的坐标为(x，y)，则 x2y29，把 x29y2 代入双曲线方程得|y|53，所以 SOPF12|OF|yP|52.故选 B.第6页4(2019昆明市诊断测试)已知 F1，F2 为椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，B 为 C 的短轴的一个端点，直线 BF1与 C 的另一个交点为 A，若BAF2 为等腰三角形，则|AF1|AF2|()A.13B.12C.23D3A第7页解析：如图，不妨设
3、点 B 在 y 轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|BF2|2a，|AF1|AF2|2a，由题意知|AB|AF2|，所以|BF1|BF2|a，|AF1|a2，|AF2|3a2.所以|AF1|AF2|13.故选 A.第8页5(2019广东省七校联合体联考)若双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的中心为 O，过 C 的右顶点 A1 和右焦点 F 分别作垂直于 x 轴的直线，交 C 的渐近线于 A，B 两点和 M，N 两点，若OAB 与OMN 的面积比为，则 C 的渐近线方程为()AyxBy 3xCy2xDy3xB第9页解析：如图，因为 ABMN，所以OABOMN，又OAB 与OMN
4、的面积比为，所以|OA1|OF|ac12，则 a12c，所以 b2c2a234c2，则 b 32 c，所以双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为 ybax32 c12cx 3x，故选 B.第10页6(2019江西省五校协作体联考)过抛物线 C：y22px(p0)的焦点 F 且倾斜角为锐角的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，过线段 AB 的中点 N 且垂直于 l 的直线与 C 的准线相交于点 M，若|MN|AB|，则直线 l 的倾斜角为()A15 B30C45 D60B第11页解析：分别过 A，B，N 作抛物线准线的垂线，垂足分别为 A，B，N，由抛物线的定义知|AF|AA|，
5、|BF|BB|，|NN|12(|AA|BB|)12|AB|，因为|MN|AB|，所以|NN|12|MN|，所以MNN60，即直线 MN 的倾斜角为 120，又直线 MN 与直线 l 垂直且直线 l 的倾斜角为锐角，所以直线 l 的倾斜角为 30，故选 B.第12页7(2019河南顶级名校模拟)已知抛物线 C：x22py(p0)，过点 P0，12 作抛物线 C 的两条切线 PA，PB，A，B 为切点，若直线 AB 经过抛物线 C 的焦点，则抛物线 C 的方程为()Ax28yBx24yCx22yDx2yC第13页解析：设过点 P 的切线方程为 ykx12，由ykx12，x22py得 x22pkxp
6、0(*)直线与抛物线相切，4p2k24p0，k21p，两条切线 PA，PB 的斜率分别为 k1 1p，k2 1p，由题意知 ABx 轴，A，B 两点关于 y 轴对称，不妨设点 A 在第一象限的抛物线上，kPAk2 1p，代入(*)得第14页x22p 1pxp0，即 x22 pxp0，解得 x p，yx22p12，即点 Ap，12，又知直线 AB 过抛物线的焦点0，p2，p212，即 p1，抛物线 C 的方程为 x22y，故选 C.第15页二、填空题8(2019北京卷)设抛物线 y24x 的焦点为 F，准线为 l.则以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为.(x1)2y24解析：因为抛物线的标
7、准方程为 y24x，所以焦点F(1,0)，准线 l 的方程为 x1，所求的圆以 F 为圆心，且与准线 l 相切，故圆的半径 r2，所以圆的方程为(x1)2y24.第16页9(2019河北九校联考)设 F1，F2 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且 PF1PF2，若PF1F2 的面积为 9，周长为 18，则椭圆 C 的方程为.x225y291第17页解析：PF1PF2，PF1F2 为直角三角形，又知PF1F2 的面积为 9，12|PF1|PF2|9，得|PF1|PF2|18.在RtPF1F2 中，由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，由
8、椭圆定义知|PF1|PF2|2a，(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|F1F2|2，即 4a2364c2，a2c29，即 b29，又知 b0，b3，又知PF1F2 的周长为 18，2a2c18，即 ac9，又知 a2c29，ac1，由得 a5，c4，所求的椭圆方程为x225y291.第18页10(2019新课标全国卷)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点若F1A AB，F1B F2B 0，则 C 的离心率为.2第19页解析：因为F1B F2B 0，所以 F1BF2B，如图所以|OF1|
9、OB|，所以BF1OF1BO，所以BOF22BF1O.因为F1A AB，所以点 A 为 F1B 的中点，又点 O 为 F1F2 的中点，所以 OABF2，所以 F1BOA，因为直线 OA，OB 为双曲线C 的两条渐近线，所以 tanBF1Oab，tanBOF2ba.因为 tanBOF2tan(2BF1O)，所以ba2ab1ab2，所以 b23a2，所以c2a23a2，即 2ac，所以双曲线的离心率 eca2.第20页第21页三、解答题11(2019天津卷)设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F，上顶点为 B.已知椭圆的短轴长为 4，离心率为 55.(1)求椭圆的方程；(2)设点 P
10、在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点，点 N 在 y 轴的负半轴上若|ON|OF|(O 为原点)，且 OPMN，求直线 PB 的斜率第22页解：(1)设椭圆的半焦距为 c，依题意，2b4，ca 55，又a2b2c2，可得 a 5，b2，c1.所以，椭圆的方程为x25y241.第23页(2)由题意，设 P(xP，yP)(xP0)，M(xM,0)设直线 PB 的斜率为 k(k0)，又 B(0,2)，则直线 PB 的方程为 ykx2，与椭圆方程联立得ykx2，x25y241，整理得(45k2)x220kx0，可得 xP 20k45k2，代入 ykx2 得 yP81
11、0k245k2，进而直线 OP的斜率yPxP45k210k.在 ykx2 中，令 y0，得 xM2k.第24页由题意得 N(0，1)，所以直线 MN 的斜率为k2.由 OPMN，得45k210k(k2)1，化简得 k2245，从而 k2 305.所以，直线 PB 的斜率为2 305或2 305.第25页12(2019安徽省五校联盟)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的焦点坐标分别为 F1(1,0)，F2(1,0)，P 为椭圆 C 上一点，满足 3|PF1|5|PF2|且 cosF1PF235.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设直线 l：ykxm 与椭圆 C 交于 A，B 两点，点
12、Q(14，0)，若|AQ|BQ|，求 k 的取值范围第26页解：(1)由题意设|PF1|r1，|PF2|r2，则 3r15r2，又 r1r22a，r154a，r234a.在PF1F2 中，由余弦定理得，cosF1PF2r21r22|F1F2|22r1r254a234a222254a34a35，解得 a2，c1，b2a2c23，椭圆 C 的标准方程为x24y231.第27页(2)联立方程，得x24y231，ykxm，消去 y 得(34k2)x28kmx4m2120，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x28km34k2，x1x24m21234k2，且 48(34k2m2)0，第28页
13、设AB的中点为M(x0，y0)，连接QM，则x0 x1x224km34k2，y0kx0m 3m34k2，|AQ|BQ|，ABQM，又 Q(14，0)，M 为 AB 的中点，k0，直线 QM 的斜率存在，kkQMk3m34k24km34k2141，第29页解得 m34k24k，把代入得 34k2(34k24k)2，整理得 16k48k230，即(4k21)(4k23)0，解得 k12或 k0，b0)由题意可得双曲线 的渐近线方程为 y 33 x，即ba 33，所以离心率 eca1ba22 33.第33页14(2019福州质量检测)已知 F1，F2 分别为椭圆x24y21的左、右焦点，P 是椭圆上
14、异于该椭圆顶点的任意一点，点 K是F1PF2 内切圆的圆心，过 F1 作 F1MPK 于 M，O 是坐标原点，则|OM|的取值范围为()A(0,1)B(0，2)C(0，3)D(0,2 3)C第34页解析：如图，延长 PF2，与 F1M 的延长线相交于 N 点，因为点 K 是F1PF2 内切圆的圆心，所以 PK 平分F1PF2，因为 F1MPK，所以|PN|PF1|，所以 M 为线段 F1N 的中点，又 O 为线段 F1F2 的中点，所以|OM|12|F2N|12|PN|PF2|12|PF1|PF2|0，所以|OM|的取值范围为(0，3)，故选 C.第35页第36页15(2019重庆市调研抽测)
15、过抛物线 y24x 的焦点 F 分别作两条直线 l1，l2，直线 l1 与抛物线交于 A，B 两点，直线 l2与抛物线交于 C，D 两点，若 l1 与 l2 的斜率的平方和为 1，则|AB|CD|的最小值为.24第37页解析：由题意，抛物线 y24x 的焦点 F(1,0)，设直线 l1：yk1(x1)(k10)，直线 l2：yk2(x1)(k20)，由题意可知，k21k221，联立得yk1x1，y24x，整理得 k21x2(2k214)xk210，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x224k21，设 C(x3，y3)，D(x4，y4)，同理可得 x3x424k22，由抛物线的性质
16、可得|AB|x1x2p44k21，|CD|x3x4p44k22，所以|AB|CD|第38页84k21 4k2284k21k22k21k228 4k21k2284k21k222224，当且仅当 k21k2212时，上式“”成立，所以|AB|CD|的最小值为 24.第39页16(2019新课标全国卷)已知曲线 C：yx22，D 为直线y12上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B.(1)证明：直线 AB 过定点；(2)若以 E(0，52)为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE 的面积第40页解：(1)证明：设 D(t，12)，A(x1，y1)，
17、则 x212y1.由 yx，所以切线 DA 的斜率为 x1，故y112x1tx1.整理得 2tx12y110.设 B(x2，y2)，同理可得 2tx22y210.故直线 AB 的方程为 2tx2y10.所以直线 AB 过定点(0，12)第41页(2)由(1)得直线 AB 的方程为 ytx12.由ytx12，yx22可得 x22tx10.于是 x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|1t2|x1x2|1t2 x1x224x1x22(t21)设 d1，d2 分别为点 D，E 到直线 AB 的距离，则第42页d1 t21，d22t21.因此，四边形 ADBE 的面积S12|AB|(d1d2)(t23)t21.设 M 为线段 AB 的中点，则 M(t，t212)由于EM AB，而EM(t，t22)，AB与向量(1，t)平行，所以 t(t22)t0.解得 t0 或 t1.当 t0 时，S3；当 t1 时，S4 2.因此，四边形 ADBE 的面积为 3 或 4 2.
