1、绝密考试结束前浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2021届高三第二次联考数学试题卷考生须知：1.本卷满分l50分，考试时间120分钟；2.答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方。3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。4.考试结束后，只需上交答题卷。参考公式：如果事件，互斥那么柱体的体积公式.如果事件，相互独立，那么其中表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率为，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率为其中表示锥体的底面积，表示锥体的高球的表
2、面积公式台体的体积公式球的体积公式其中，分别表示台体的上、下底面积，表示为台体的高其中表示球的半径选择题部分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则A.B.C.D.2.双曲线的渐近线方程为A.B.C.D.3.已知是虚数单位，若，则的模为A.1B.C.D.4.设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为A.0B.1C.9D.105.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（单位：）是A.B.C.1D.26.函数的图象可能是A.B.C.D.7.设，为两个不同的平面，为两条不同的直线，且，则“”是“”的A.充
3、分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.函数（为自然对数的底数），则下列说法正确的是A.在上只有一个极值点B.在上没有极值点C.在处取得极值点D.在处取得极值点9.已知点为椭圆的左顶点，为椭圆的右焦点，、在椭圆上，四边形为平行四边形（为坐标原点），过直线上一点作圆的切线，为切点，若面积的最小值大于，则椭圆的离心率的取值范围是A.B.C.D.10.已知非空集合，设集合，.分别用、表示集合、中元素的个数，则下列说法不正确的是A.若，则B.若，则C.若，则可能为18D.若，则不可能为19二、填空题，本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.函数，的
4、最小正周期是_，单调递增区间为_.12.二项式展开式中，各项系数和为_，含项的系数为_.13.圆锥被一平面所截得到一个圆台，若圆台的上底面半径为，下底面半径为，圆合母线长为，则该圆锥的侧面积为_.14.已知数列满足，前项和为，若，且对任意的，均有，则_；_.15.若，是正实数，且，则的最小值为_.16.袋子里装有编号分别为“2，3，3，4，4，5”的6个大小、质量相同的小球，小明从袋子中一次任取2个球，若每个球被取到的机会均等，记取出的2个小球编号之和为，编号之差的绝对值为，记，则_；_.17.若平面向量，满足，则的最大值为_.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程
5、或演算步骤.18.（本题满分14分）在锐角三角形中，角，所对的边分别为，向量与平行.（）求角的大小；（）求的取值范围.19.（本题满分15分）在四棱锥中，为等腰直角三角形，过的平面分别交线段，于，在线段上（，不同于端点）.（）求证：平面；（）若为的中点，且平面，求直线与平面所成角的正弦值.20.（本题满分15分）已知数列的前项和为，且满足，当时，.（）证明为等差数列，并求数列的通项公式； （）记数列，记为前项的积，证明：.21.（本题满分15分）如图，已知抛物线，过点作斜率为的直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，过点作抛物线的切线与轴相交于点，直线交抛物线另一点为，线段交轴于点.记，的面积
6、分别为，.（）若，求（）求的最小值.22.（本题满分15分）已知函数.（）若为整数，且在上恒成立，求的最大值；（）若函数的两个极值点分别为，且，证明：. 浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2021届高三第二次联考数学参考答案一、选择题1-5：DCDCB6-10：AACBD二、填空题11.；，12.1；1413.14.1；214615.；16.；17.三、解答题18.（），.由正弦定理得，3分即，即.由，得.又，. 6分（）由为锐角三角形，得，8分. 12分因为，所以，得14分19.（）证明：，平面，平面平面又平面，平面平面又平面，平面平面6分（）法一（几何法）：作于，连接，由三垂线定理有在
7、中，在中，为的中点，为的中点，9分，.平面平面，直线与平面所成角，即直线与平面所成角.平面，又，平面，平面平面过点作交于点，连接，则平面.是直线与平面所成角. 12分，.直线与平面所成角的正弦值为. 15分法二（坐标法）：建立如图空间直角坐标系.连接.，.因为，由余弦定理可得.设点的坐标为. 10分所以，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为.点的坐标为.，.设平面的法向量，则，12分取，则.，设直线与平面所成角为.故直线与平面所成角的正弦值为. 15分20.（）将式子化为，式子左右同除以，得，.故为以为首项，公差为的等差数列. 4分因此，则. 6分因此，经计算8分（）法一：将代入得且10分13分
8、15分法二：将代入得且10分下证，即证.下面用数学归纳法证明.当时，成立. 11分假设当时，成立.当时，.下证成立，即成立.要证，只要证成立.该不等式的左边展开为，右边展开为.故上式显然成立.因此成立.综合，不等式成立. 15分21.（）直线的方程为，代入抛物线方程，得.设，则，.5分（）设直线的方程为，代入抛物线方程得，.设，点的坐标为.设切线的方程为，代入抛物线方程，得，得，令，得，所以点的坐标为. 8分设直线的方程为，代入抛物线方程得，所以点的坐标为. 10分直线的方程为，即，令，得，所以点的坐标为. 11分，.由，知，. 13分令，则，.当且仅当，即时取等号所以的最小值为. 15分22.解：（）法一：由且，得. 2分令，则，4分令，因为在上单调递增，且，所以存在唯一零点，满足，且在单调递减，在单调递增.，因为为整数，所以的最大值为. 7分法二：，所以. 2分当时，不成立. 3分当时，令，则，当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增，所以，所以的最大值为. 7分（），令，则，为方程有两不同实根.，所以在区间上单调递增. 9分而且，因此在区间上存在唯一零点，即，在区间上单调递减，在区间上单调递增，11分所以，解得，所以. 13分因为，由的单调性得，所以所以（对数不等式）. 15分