1、26.2 二次函数的图象与性质1. 二次函数y=ax2的图象与性质学习目标：1.会用描点法画出二次函数y=ax2 的图象.（重点）2.根据对特殊函数图象的观察，归纳得出二次函数y=ax2的性质.（难点）3.进一步理解二次函数和抛物线的有关知识，并能解决一些简单的应用问题.自主学习一、 知识链接1. 一次函数的图象是_,反比例函数的图象是_.2. 用描点法画函数图象的步骤：_、_、_.3. 下面是一次函数y=x-2的图象，根据图象，你能看出函数的哪些性质？ 合作探究一、 要点探究探究点1：二次函数y=ax2的图象画一画 在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，并指出它们有何共
2、同点？有何不同点？（1） 列表如下：x-2-1.5-1011.52y=2x2 y=-2x2（2）在如图所示的坐标系中，描点，连线：（3）观察函数y=2x2与y=-2x2的图象，写出它们的共同点(至少填写三条）：_;：_;：_.写出它们的不同点(至少填写三条）：_;：_;：_.【要点归纳】函数y=ax2的图象是一条抛物线，它是轴对称图形，对称轴是y轴（或直线x=0）,抛物线与坐标轴的交点，叫做抛物线的顶点.其顶点坐标为（0,0）.【典例精析】例1 在同一直角坐标系中，画出函数，的图象【针对训练】 在同一直角坐标系中，画出函数，的图象【要点归纳】对于抛物线 y = ax2，当a0时，抛物线开口向上
3、，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点；当a0时，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点；且|a|越大，抛物线的开口越小.练一练1.函数的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；2.函数的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ，顶点是抛物线的最 点；探究点2：二次函数y=ax2的性质观察与思考 图 图问题1 如图，观察二次函数y=x2的图象，y随x的变化如何变化？问题2 如图，观察二次函数y=x2的图象，y随x的变化如何变化？【自主归纳】抛物线yax2的性质抛物线yax2 （a0）yax2(a0)顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值【典例精析】例2 已知正方形周长为x
4、 cm，面积为S cm2（1）求S和x之间的函数关系式，并画出图象；（2）判断点（4,2），（8,4），（-4,1）是否在该函数的图象上.例3已知是二次函数，且其图象开口向上，求m的值和函数表达式.【针对训练】已知是二次函数，且当x0时，y随x增大而增大，则k= .例4 已知二次函数yax2.(1) 若a=2,点(-2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_ y2(填“ ”“”或“ ”“”或“ ”)；(3)若a0,点(2，y1)与(3，y2)，(5，y3)在此二次函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是_.方法总结：二次函数yax2中比较函数值的大小的方法： 直接代入法:将x的
5、值分别代入函数表达式中,求出y值再比较大小,多用于a值确定的情况,如例4(1);性质判断法:结合二次函数的性质(增减性)及自变量x之间的大小关系,得出其对应y值的大小关系；多用于自变量x在对称轴同一侧的情况,如例4(2)；草图法：画出二次函数的草图,描点,根据图象直接判断y值的大小.多用于a值不确定且x值不在对称轴同侧的情况，如例4(3).二、课堂小结二次函数yax2的图象及性质画法描点法在对称轴两侧对称取点图象抛物线轴对称图形性质1.开口方向及大小；2.对称轴；3.顶点坐标4.增减性当堂检测1.抛物线y=5x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在对称轴的 侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的 侧,
6、y 随着x的增大而减小,当x = 时,函数y的值最小,最小值是 .2.抛物线位置在x轴的 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的增大而 ；在对称轴的右侧,y随着x的增大而 ,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 ,当x 0时,y0.3.如图，观察函数y=(k1)x2的图象，则k的取值范围是 .4.已知抛物线y=ax2的图象经过点A（2，-8），求：（1）该抛物线的表达式；（2）判断点B（3，-18）是否在该抛物线上；（3）求出此抛物线上纵坐标是-50的点的坐标5.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：x-4-2024y41014（1） 在给定的坐标系中，画出该
7、二次函数的图象；（2）求这个二次函数的表达式；（3）若A(x1，y1)，B(x2，y2)在这条抛物线上，且x1x21，解得m1=2，m2=1， m=1，此时，二次函数的表达式为 y=2x2.【针对训练】 2例4 y1y2y3当堂检测1. （0,0） y轴 右 左 0 0 2.下方 增大 减小 0 3.k14.解：（1）把点A（2，-8）代入y=ax2，得-8=a22，解得a=-2，则抛物线的表达式为y=-2x2；（2）-232=-18，点B（3，-18）在该抛物线上；（3）由题意得，-2x2=-50，解得x=5，此抛物线上纵坐标是-50的点的坐标为（5，-50）、（-5，-50）5.解：（1）画图象略；（2）由图象可设该二次函数为y=ax2,将点（2，1）代入得4a=1,解得a=.则该二次函数的表达式为y=x2. (3)
