1、第三章 三角函数、解三角形 第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式第三章 三角函数、解三角形 主干知识梳理一、同角三角函数的基本关系式 1平方关系：sin2 cos2 1(R)2商数关系：tan sin cos k 2，kZ 第三章 三角函数、解三角形 二、六组诱导公式第三章 三角函数、解三角形 对于角“k2 ”(kZ)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当 k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当 k 为偶数时，函数名不变”“符号看象限”是指“在 的三角函数值前面加上当 为锐角时，原函数值的符号”第三章 三角函数、解三角形 基础自测自评1sin 585的值为()
2、A 22 B.22 C 32 D.32A sin 585sin(360225)sin 225sin(18045)sin 45 22.第三章 三角函数、解三角形 2(教材习题改编)已知 sin()3cos(2)，|2，则 等于()A6 B3 C.6 D.3D sin()3cos(2)，sin 3cos，tan 3.|2，3.第三章 三角函数、解三角形 3已知 tan 2，则sin2 cos（）sin2 sin（）()A2 B2 C0 D.23B 原式cos cos cos sin 21tan 2122第三章 三角函数、解三角形 4已知 是第二象限角，tan 12，则 cos _解析 由题意知 c
3、os 0，又 sin2cos21，tan sin cos 12.cos 2 55.答案 2 55第三章 三角函数、解三角形 5(2014郑州模拟)已知 2，0，sin 35，则 tan()_解析 依题意得，cos 1sin245，tan sin cos 34，tan()tan 34.答案 34第三章 三角函数、解三角形 关键要点点拨应用诱导公式时应注意的问题(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号脱周期化锐角特别注意函数名称和符号的确定(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号(3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、
4、整式化第三章 三角函数、解三角形 典题导入(1)若 tan 1tan 4，则 sin 2()A.15 B.14C.13D.12同角三角函数的基本关系式第三章 三角函数、解三角形 听课记录 tan 1tan 4，sin cos cos sin 4，sin2cos2cos sin 4，即2sin 24，sin 212.答案 D第三章 三角函数、解三角形(2)已 知 sin(3 )2sin32 ，则 sin 4cos 5sin 2cos _听课记录 解法一：由 sin(3)2sin32 得 tan 2.原式 tan 45tan 2 2452216.第三章 三角函数、解三角形 解法二：由已知得 sin
5、 2cos.原式 2cos 4cos 52cos 2cos 16.答案 16第三章 三角函数、解三角形 互动探究在(2)的条件下，sin2 sin 2 _解析 原式sin22sin cos sin22sin cos sin2cos2 tan22tan tan2185.答案 85第三章 三角函数、解三角形 规律方法1利用 sin2cos21 可以实现角 的正弦、余弦的互化，利用sin cos tan 可以实现角 的弦切互化 2应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin cos，sin cos，sin cos 这三个式子，利用(sin cos)212sin cos，可以知一求二(参阅本节题型技法点
6、拨)3注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.第三章 三角函数、解三角形 跟踪训练1(1)若角 的终边落在第三象限，则cos 1sin2 2sin 1cos2 的值为()A3 B3C1 D1(2)已知 sin 2sin ，tan 3tan ，则 cos _第三章 三角函数、解三角形 解析(1)由角 的终边落在第三象限得 sin 0，cos 0，故原式 cos|cos|2sin|sin|cos cos 2sin sin 123.(2)sin 2sin ，tan 3tan ，sin2 4sin2，tan2 9tan2，第三章 三角函数、解三角形 由得：9
7、cos2 4cos2，得：sin2 9cos2 4，cos2 sin2 1，cos2 38，即 cos 64.答案(1)B(2)64第三章 三角函数、解三角形 典题导入(1)tan（）cos（2）sin32cos（3）sin（3）_听课记录 原式 tan cos sin22cos（3）sin（3）三角函数的诱导公式第三章 三角函数、解三角形 tan cos sin2（cos）sin tan cos cos（cos）sin tan cos sin sin cos cos sin 1.答案 1第三章 三角函数、解三角形(2)已知 Asin（k）sin cos（k）cos(kZ)，则 A 的值构成的
8、集合是()A1，1，2，2 B1，1C2，2 D1，1，0，2，2第三章 三角函数、解三角形 听课记录 当 k 为偶数时，Asin sin cos cos 2；k 为奇数时，Asin sin cos cos 2.答案 C第三章 三角函数、解三角形 规律方法利用诱导公式化简求值时的原则(1)“负化正”，运用的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数(2)“大化小”，利用k360(kZ)的诱导公式将大于360的角的三角函数化为0到360的三角函数(3)“小化锐”，将大于90的角化为0到90的角的三角函数(4)“锐求值”，得到0到90的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器
9、求得第三章 三角函数、解三角形 跟踪训练2(1)(2014安徽皖北模拟)若 sin6 35，则 cos3 ()A35B.35C.45D45第三章 三角函数、解三角形 解析 cos3 cos2 6 sin6 35，故选 B.答案 B第三章 三角函数、解三角形(2)(2014江西临川期末)已知 是第二角限角，其终边上一点P(x，5)，且 cos 24 x，则 sin 2 _解析 由题意得 cos x5x2 24 x，解得 x0 或 x 3或 x 3.第三章 三角函数、解三角形 又 是第二象限角，x 3.即 cos 64，sin2 cos 64.答案 64第三章 三角函数、解三角形 典题导入在ABC
10、 中，若 sin(2 A)2sin(B)，3cos A 2cos(B)，求ABC 的三个内角诱导公式在三角形中的应用第三章 三角函数、解三角形 听课记录 由已知得 sin A 2sin B，3cos A 2cos B 两式平方相加得 2cos2A1，即 cos A 22 或 cos A 22.(1)当 cos A 22 时，cos B 32，又角 A、B 是三角形的内角，第三章 三角函数、解三角形 A4，B6，C(AB)712.(2)当 cos A 22 时，cos B 32，又角 A、B 是三角形的内角，A34，B56，不合题意综上知，A4，B6，C712.第三章 三角函数、解三角形 规律方
11、法1诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：ABC，2A2B22C，A2B2C22 等，于是可得sin(AB)sin C，cosAB2sin C2等；2求角时，通常是先求出该角的某一个三角函数值，再结合其范围，确定该角的大小 第三章 三角函数、解三角形 跟踪训练3在三角形 ABC 中，(1)求证：cos2AB2cos2C21；(2)若 cos2 A sin32 B tan(C)0，求证：三角形 ABC为钝角三角形第三章 三角函数、解三角形 证明(1)在ABC 中，ABC，则AB22 C2，所以 cosAB2cos2 C2 sinC2，故 cos2AB2cos2C21.(2)若 cos2
12、A sin32B tan(C)0，第三章 三角函数、解三角形 则(sin A)(cos B)tan C0，即 sin Acos Btan C0，在ABC 中，0A，0B，0C0，cos B0或tan C0，B 为钝角或 C 为钝角，故ABC 为钝角三角形第三章 三角函数、解三角形 已知2 x0，sin xcos x15，则 sin xcos x_【思路导析】可利用方程思想先求出 sin x 与 cos x，直接代入求值；也可利用平方关系先求出 sin 2x，再整体代入求值【创新探究】巧用平方关系解决三角化简、求值问题第三章 三角函数、解三角形【解析】解法一：由 sin xcos x15，与 s
13、in2xcos2x1 联立方程组sin xcos x15，sin2xcos2x1，解得sin x45，cos x35或sin x35，cos x45，第三章 三角函数、解三角形 2 x0，sin x35，cos x45，sin xcos x75.解法二：sin xcos x15，两边平方得，1sin 2x 125，sin 2x2425.第三章 三角函数、解三角形(sin xcos x)21sin 2x4925，又2 x0，sin x0，sin xcos x75.【答案】75第三章 三角函数、解三角形【高手支招】1.上述解法一易理解掌握，但计算量较大，很容易出错若利用sin cos，sin co
14、s，sin cos 三者之间的关系，即(sin cos)212sin cos；(sin cos)212sin cos；(sin cos)2(sin cos)22，问题迎刃而解2对所求式子进行恒等变形时，注意式子正、负号的讨论与确定第三章 三角函数、解三角形 体验高考1(2013广东高考)已知 sin52 15，那么 cos ()A25 B15C.15D.25第三章 三角函数、解三角形 C sin52 sin22 sin2 cos 15，cos 15.第三章 三角函数、解三角形 2(2013浙江高考)已知 R，sin 2cos 102，则 tan 2()A.43B.34C34D43第三章 三角函
15、数、解三角形 C 由 sin 2cos 102 得，sin 102 2cos.把式代入 sin2cos21 中可解出 cos 1010 或3 1010，当 cos 1010 时，sin 3 1010；当 cos 3 1010 时，sin 1010.tan 3 或 tan 13，tan 234.第三章 三角函数、解三角形 3(2012大纲版全国高考)已知 为第二象限角，sin cos 33，则 cos 2()A 53B 59C.59D.53第三章 三角函数、解三角形 A 解法一：sin cos 33，(sin cos)213.2sin cos 23，即 sin 223.又 为第二象限角且 sin cos 33 0，2k2 2k34(kZ)第三章 三角函数、解三角形 4k24k32(kZ)，2为第三象限角 cos 2 1sin22 53.解法二：由 sin cos 33 两边平方得 12sin cos 13，2sin cos 23.第三章 三角函数、解三角形 为第二象限角，sin 0，cos 0，sin cos （sin cos）2 12sin cos 153.由sin cos 33，sin cos 153，得sin 3 156，cos 3 156，cos 22cos21 53.第三章 三角函数、解三角形 课时作业
