1、第七节离散型随机变量的分布列及数字特征一、教材概念结论性质重现1随机变量的有关概念(1)随机变量：对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数X()与之对应，我们称X为随机变量(2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列出的随机变量(1)离散型随机变量X的每一个可能取值为实数，其实质代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的(2)若X是随机变量，则YaXb(a，b为常数)也是随机变量2离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(Xxi)pi，i1,2，n为离散型随机变量X的概率分布列，简称分布列
2、(2)离散型随机变量的分布列的性质pi0，i1,2，n；p1p2pn1.判断所求离散型随机变量的分布列是否正确，可用pi0，i1,2，n及p1p2pn1检验3离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xnPp1p2pn(1)均值称E(X)x1p1x2p2xnpnipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)方差称D(X)(xiE(X)2pi为随机变量X的方差，可以用来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，并称为随机变量X的标准差，记为(X)(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均(2)E(X)是一个实数，由
3、X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态(3)E(X)x1p1x2p2xnpn直接给出了E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加4均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b(a，b为常数)(2)D(aXb)a2D(X)(a，b为常数)5两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布，那么E(X)p，D(X)p(1p)(2)若XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p)1若X1，X2相互独立，则E(X1X2)E(X1)E(X2)2均值与方差的关系：D(X)E(X2)E2(X)3超几何分布的均值：
4、若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X).二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.()(2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具有实际意义()(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，X25P0.30.7则它服从两点分布()(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小()(5)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事()2抛掷一枚质地均匀的硬币2次，则正面向上次数X的所有可能取值是0,1,
5、2.3已知离散型随机变量X的分布列为X012P0.512qq2则常数q_.1解析：由分布列的性质得0.512qq21，解得q1或q1(舍去)4已知X的分布列为X101P设Y2X3，则E(Y)的值为()A B4 C1 D1A解析：E(X)101，E(Y)E(2X3)2E(X)33.5甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是_乙解析：E(X)00.410.320.230.11，E(Y)00.310.520.20.9，所以E(Y)E(X)，故乙的技术
6、较好6若随机变量X满足P(Xc)1，其中c为常数，则D(X)的值为_0解析：因为P(Xc)1，所以E(X)c1c，所以D(X)(cc)210.考点1离散型随机变量的分布列及性质基础性(2020南京师大附中高三模拟)某中学有4位学生申请A、B、C三所大学的自主招生若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的(1)求恰有2人申请A大学的概率；(2)求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)解：(1)所有可能的方式有34种，恰有2人申请A大学的情况有C22种，从而恰有2人申请A大学的概率为.(2)由题意可知，随机变量的可能取值为1,2,3，则P(X1)，P(X2)，P(X
7、3).所以随机变量X的分布列为X123PE(X)123.求离散型随机变量X的分布列的步骤(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值(2)求X取每个值的概率(3)写出X的分布列求离散型随机变量的分布列的关键，是求随机变量所取值对应的概率在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m(1)求随机变量Y2X1的分布列；(2)求随机变量|X1|的分布列；(3)求随机变量X2的分布列解：(1)由分布列的性质可知，020.10.10.3m1，得m0.3.首先列表为X012342X113579从而Y2X1的分布列为Y13579P0.20.10.
8、10.30.3(2)列表为X01234|X1|10123所以P(0)P(X1)0.1，P(1)P(X0)P(X2)0.20.10.3，P(2)P(X3)0.3，P(3)P(X4)0.3，故|X1|的分布列为0123P0.10.30.30.3(3)首先列表为X01234X2014916从而X2的分布列为014916P0.20.10.10.30.3考点2离散型随机变量的均值与方差综合性考向1离散型随机变量的均值与方差为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动该滑雪场的收费标准是滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)有
9、甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量(单位：元)，求的分布列与数学期望E()、方差D()解：(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0元、40元、80元两人都付0元的概率为p1；两人都付40元的概率为p2；两人都付80元的概率为p3.所以，两人所付费用相同的概率为pp1p2p3.(2)的可能取值为0,40,80,120,160，且P(0)，P(40)，P(80)，P(120)，P(160)，所以的
10、分布列为04080120160PE()0408012016080，D()(080)2(4080)2(8080)2(12080)2(16080)2.求离散型随机变量的均值、方差的步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值(2)求X的每个值的概率(3)写出X的分布列(4)由均值定义求出E(X)，D(X)注意E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)的应用从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，.(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1
11、个红灯的概率解：(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)0123.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0)P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0).所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.考向2二项分布的均值与方差(1)(2020浙江高三模拟)一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n(nN*)个黑球现从中有放回地摸取4次，每次都是随机摸取一球设摸得白球个数为X，若D(X)1，则E(X)()A
12、1 B2 C3 D4B解析：由题意，XB(4，p)因为D(X)4p(1p)1，所以p，E(X)4p42.故选B(2)某市旅游局为了进一步开发旅游资源，需要了解游客的情况，以便制定相应的策略在某月中随机抽取甲、乙两个景点各10天的游客数，画出茎叶图如图所示若景点甲中的数据的中位数是126，景点乙中的数据的平均数是124.求x，y的值；若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时间内的样本数据(视样本频率为概率)现从这段时间内任取4天，记其中游客数不低于125的天数为，求的期望与方差解：由题意知甲的中间两位数的尾数为7，x.根据中位数为126，即6，所以x5.乙中以124为平均数，则109可表示为1
13、5,115可表示为9，可列出等式1596129111710，则12410114，y4，所以x5，y4.由题意知，因为景点甲的每一天的游客数不低于125的概率为，任取4天，即是进行了4次独立重复试验，其中有次发生，故随机变量B，所以E()4，D()4.二项分布的均值与方差(1)如果B(n，p)，则用公式E()np，D()np(1p)求解，可大大减少计算量(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(ab)aE()b以及E()np求出E(ab)，同样还可求出D(ab)1同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的数
14、学期望是()A1 B2 C DA解析：因为一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率为，所以XB，所以E(X)41.故选A2(2020嘉兴一中高三期末)已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球现从该箱中有放回地依次取出3个小球，则3个小球颜色互不相同的概率是_；若变量为取出3个球中红球的个数，则的方差D()_.解析：设抽取一次，抽到红球、黑球、白球的事件分别为A，B，C，则P(A)，P(B)，P(C)，所以“从该箱中有放回地依次取出3个小球，则3个小球颜色互不相同”的事件有A种情况，每种情况的概率都为P(A)P(B)P(C)，所以所求概率为A6.依题意可知
15、变量B，所以D()3.考点3均值与方差在决策问题中的应用应用性某投资公司准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和.项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由解：若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为X1300150P所以E(X1)300(150)200(万元)若按“项目二”投资，设获利为X2万元，则X2的分布列为X25003000P所以E(X2)500(300)0200(万元)D(X1)(300200)2(150200)235 000，D(X2)(500200)2(300200)2(0200)2140 000.所以E(X1)E(X2)，D(X1)37.1104，所以建议企业选择方案二