1、甘肃省白银市会宁县第二中学2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）第I卷（选择题)一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意结合一元二次不等式的求解可得，再由集合交集的概念即可得解.【详解】由题意，所以.故选：A.【点睛】本题考查了一元二次不等式求解与集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题.2. 已知复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用复数的乘法化简复数为，再由求模公式求解.【详解】因为，所以
2、，所以，故选：C.【点睛】本题主要考查复数的运算和复数模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3. 华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等.他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”.“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法.在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者.某组16人中恰有
3、一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者.现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组.继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（ ）次检测.A. 3B. 4C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】类比二分法，将16人均分为两组，选择其中一组进行检测，再把认定的这组的8人均分两组，选择其中一组进行检测，以此类推，即可得解.【详解】先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组
4、，此时进行了1次检测.继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查，为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了2次检测.继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查，为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了3次检测.选认定的这组的2人中一人进行样本混合检查，为阴性则认定是另一个人；若为阳性，则认定为此人，此时进行了4次检测.所以，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测.故选：B.【点睛】本题考查的是二分法的实际应用，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.4. 为抗击新冠肺炎疫情，全国各地的医护人员纷纷请战支援武汉，某医院要从第
5、一时间请战的5名医护人员中随机选派3名支援武汉，已知这5名医护人员中有一对夫妻，则这对夫妻恰有一人被选中的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先用列举法列出从人中选出人的全部基本事件，列出恰有夫妻中一人的基本事件，再代入古典概型公式计算概率即可.【详解】记表示夫妻二人，表示其他的人，则从人中选出人的基本事件有：，共10个基本事件.其中恰有夫妻中一人的有，共6个基本事件，故所求概率，故选：C【点睛】本题主要考查古典概型，用列举法不基本事件一一列举出来为解题关键，属于简单题.5. 已知是非零向量且满足，则与的夹角是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】
6、利用向量垂直求得，代入夹角公式即可.【详解】设的夹角为；因为，所以，则，则故选：B【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.6. 设等差数列的公差为2，前项和为，则下列结论正确的是（ ）A. B. C D. 【答案】C【解析】【分析】先写出通项公式，然后将用表示，然后计算，将代入可得结果.【详解】设等差数列的公差为，且由题可知：，由则故选：C【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及前项和，关键在于识记公式，属基础题.7. 阅读如图所示框图，运行相应的程序，输出S的值为（ ）A. -8B. 4C. -4D. -6【答案】C【解析】【分析】模拟执行程
7、序框图，即可容易求得输出结果.【详解】模拟执行程序框图如下：，不满足，满足，输出.故选：.【点睛】本题考查根据程序框图计算输出结果，属简单题.8. 点到直线距离的最大值为（ ）A. B. C. 1D. 【答案】D【解析】【分析】先求得点到直线距离的表达式，结合辅助角公式以及三角函数最值，求得点到直线距离的最大值.【详解】点到直线距离，化简得，其中满足，当时取得最大值，即.故选：D【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查三角函数求最值，属于中档题.9. 函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度
8、D. 向右平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】数形结合由函数图像求得，再根据函数图象变换，即可容易求得结果.【详解】由图可知，函数最小正周期，解得；根据五点法，即可得，解得；又的最大值为，故可得.故.为得到，故只需将的图象向左平移个单位即可.故选：.【点睛】本题考查五点法求函数解析式，涉及函数图象的变换，属基础题.10. 已知双曲线与椭圆的焦点相同，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 3【答案】A【解析】【分析】依据题意可知焦点坐标，简单计算可得结果.【详解】椭圆的焦点坐标为，所以，解得，所以双曲线方程为，离心率，故选：A.【点睛】本题考查共焦点的双曲线求参数的问题，主要在于
9、计算，属基础题.11. 函数在R上单调递增,则a的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由函数在R上单调递增,可得不等式组,求解即可得解.【详解】解：由函数在R上单调递增,则,得，故选：D.【点睛】本题考查了分段函数的单调性，重点考查了函数的性质，属基础题.12. 已知，在球的球面上，直线与截面所成的角为，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题中数量关系和余弦定理可证为直角三角形，设的中点为，由球的性质可知平面，由线面角的概念可知，在中可求出球的半径，由此即可求出结果.【详解】由题意可知，在中，由余弦定理可知，所以，所以为直角三
10、角形，设的中点为，连接， 如下图所示：由题意可知平面，又直线与截面所成的角为，所以，在中，所以，即球的半径为，所以球的表面积为.故选：B.【点睛】本题考查的知识点是球的表面积，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键第II卷（非选择题)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知角终边经过点，则_【答案】；【解析】【分析】根据任意角的三角函数的定义得，再利用二倍角公式即可得到结果.【详解】角终边经过点，故答案为：【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义和二倍角公式，属于基础题.14. 数列的前项和，若，则_.【答案】.【解析】试题分析：，所以考点：数列求和15. 若，满足
11、约束条件，则的最大值是_.【答案】8【解析】【分析】在平面直角坐标系内，画出约束条件所表示的可行解域，在可行解域内平移直线，找到一点使得直线在纵轴上的截距最大，把点的坐标代入目标函数中即可.【详解】约束条件所示的可行解域如下图所示：在可行解域内平移直线，当直线经过点时，直线在纵轴上的截距最大，点的坐标是方程组的解，解得，所以的最大值是故答案为：8【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想和数学运算能力.16. 下列说法正确的是_（1）对于命题 ： ，使得 ，则 ： ，均有 （2）“ ”是“ ”的充分不必要条件（3）命题“若 ，则 ”的逆否命题为：“若 ，则 ”（4）若 为假命题，则
12、， 均为假命题【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）正确，因为时，所以存在，使其成立；（2）正确，因为方程的实根是或 ，所以成立；（3）正确，满足命题逆否命题的形式；（4）不正确，因为是假命题，那么中至少有一个是假命题.故填：（1）（2）（3）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程演算步骤.17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求A；（2）若，证明：ABC是直角三角形【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函
13、数平方关系，可化为，即可解出；（2）根据余弦定理可得，将代入可找到关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出【详解】（1）因为，所以，即，解得，又，所以；（2）因为，所以，即，又， 将代入得，即，而，解得，所以，故，即是直角三角形【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题18. 江苏省从2021年开始，高考取消文理分科，实行“312”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目，某校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，随机抽取了100名学生进行问卷调查，如下表是根据调查结果得到的22列联表.性别选
14、择物理选择历史总计男生50bm女生c2040总计100（1）求m，b，c的值；（2）请你依据该列联表判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由.附：对于22列联表类1类2合计类Aabab类Bcdcd合计acbdabcd有，其中.P()0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）；（2）有的把握认为选择科目与性别有关；答案见解析.【解析】【分析】（1）根据样本容量为100可以先计算出，再依次计算出；（2）利用题目所给公式计算出的值，与比较，若的值大于，则认为有的把握认为选择科目与性别有
15、关.【详解】解：（1）随机抽取的名学生中女生为人，则男生有人，所以；（2）根据题目所给数据得到如下22的列联表：性别选择物理选择历史总计男生女生总计则K2的观测值：，因为12.77.879，所以有99.5%的把握认为选择科目与性别有关.【点睛】本题考查独立性检测，比较容易，解答时只需要利用公式准确计算出的值，问题即可解决.19. 已知椭圆的离心率为，且椭圆的右顶点到直线的距离为3.（1）求椭圆的方程；（2）过点，且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的面积(为坐标原点).【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）由右顶点到直线的距离得，再由离心率得，从而可得值，得出椭圆方程；（2）写出直线方程，
16、直线方程与椭圆方程联立方程组消元得一元二次方程，设，得，而的面积可表示为，由此可得所求面积【详解】（1）因为椭圆的右顶点到直线的距离为3，所以，解得.因为椭圆的离心率为，所以，所以，所以.故椭圆的方程为.（2）由题意可知直线的方程为，设，联立，整理得，则，从而.故的面积.【点睛】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交中三角形面积问题求三角形面积时不直接求出交点坐标，而是设，由直线方程与椭圆方程联立，消元后应用韦达定理得，面积表示为，这样代入计算，可避免求交点坐标。20. 如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，ABCD，（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积【答案】（1）见解析；（2）
17、【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，利用勾股定理证明，利用平面，证明，即可证明平面；（2）证得平面，利用，即可求解的体积.【详解】(1)证明：过点C作CMAB，垂足为M，因为ADDC，所以四边形ADCM为矩形，所以AMMB2，又AD2，AB4，所以AC2，CM2，BC2，所以AC2BC2AB2，所以ACBC，因为AF平面ABCD，AFBE，所以BE平面ABCD，所以BEAC.又BE平面BCE，BC平面BCE，且BEBCB，所以AC平面BCE.(2)因为AF平面ABCD，所以AFCM，又CMAB，AF平面ABEF，AB平面ABEF，AFABA，所以CM平面ABEF.VEBCFVCBEFBEEF
18、CM242.【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，以及几何体的体积的计算，其中熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直21. 已知函数f(x)ln xaxa2x2(a0).（1）若x1是函数yf(x)的极值点，求a的值；（2）若f(x)0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）1；（2）(1，).【解析】【分析】（1）根据，即可求得参数值；再对所求值进行验证即可；（2）对参
19、数进行分类讨论，结合函数单调性以及最值情况，即可求得参数范围.【详解】（1）函数的定义域为(0，)，.因为x1是函数yf(x)的极值点，所以，解得(舍去)或a1.经检验，当a1时，x1是函数yf(x)的极值点，所以a1.（2）当a0时，f(x)ln x，显然在定义域内不满足f(x)0时，令，得 (舍去)，所以x，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)0f(x)单调递增极大值单调递减所以，所以a1.综上可得，a的取值范围是(1，).【点睛】本题考查根据函数极值点求参数值，以及利用导数研究不等式恒成立问题求参数范围，属综合基础题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答
20、，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分.不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为.（1）求点的直角坐标，并求曲线的普通方程；（2）设直线与曲线的两个交点为，求的值.【答案】(1) 线的普通方程为 ;(2)6.【解析】试题分析：（1）本问考查极坐标与直角坐标的互化，以及参数方程化普通方程，根据公式，易得P点的直角坐标，消去参数可得曲线C的普通方程为；（2）本问考查直线参数方程标准形式下t的几何意义，将直线l的参数方
21、程代入曲线C的普通方程，得到关于t的一元二次方程，根据几何意义有，于是可以求出的值.试题解析：(1)由极值互化公式知：点的横坐标，点的纵坐标，所以，消去参数的曲线的普通方程为：.(2)点在直线上，将直线的参数方程代入曲线的普通方程得：，设其两个根为，所以：，由参数的几何意义知：.23. 已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当时，.当时，解得：；当时，无解；当时，解得：；综上所述：的解集为或.（2）（当且仅当时取等号），解得：或，的取值范围为.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.
