1、选修41 几何证明选讲第二节 直线与圆的位置关系(2014课标全国卷)如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E，且 CBCE.(1)证明：DE；(2)设 AD 不是O 的直径，AD 的中点为 M，且 MBMC，证明：ADE 为等边三角形证明：(1)由题设知 A，B，C，D 四点共圆，所以DCBE.由已知 CBCE，CBEE，故DE.(2)设 BC 的中点为 N，连接 MN，则由 MBMC 知 MNBC，故 O 在直线 MN 上 又 AD 不是O 的直径，M 为 AD 的中点，故 OMAD，即 MNAD.所以 ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE
2、.由(1)知，DE，所以ADE 为等边三角形 1第(1)题利用圆内接四边形的性质，完成角之间的等量转化；第(2)问利用垂径定理，判定出 ADBC，这是解题的关键 2判断四点共圆的步骤：(1)观察几何图形，找到一对对角或一外角与其内对角；(2)判断四边形的一对对角的和是否为 180或判断四边形一外角与其内对角是否相等；(3)下结论(2015湖南卷)如图，在O 中，相交于点 E 的两弦 AB，CD 的中点分别是 M，N，直线 MO 与直线 CD 相交于点 F.证明：(1)MENNOM180；(2)FEFNFMFO.证明：(1)如图所示，因为点 M，N 分别是弦 AB，CD 的中点 所以 OMAB，
3、ONCD.则OME90，ENO90 因此OMEONE180.又四边形的内角和等于 360，故MENNOM180(2)由(1)知，点 O、M、E、N 四点共圆 由割线定理，得 FEFNFMFO.(2015课标全国卷)如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点 E.(1)若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是O 的切线；(2)若 OA 3CE，求ACB 的大小解：(1)证明：连接 AE，由已知得，AEBC，ACAB.在 RtAEC 中，由已知得，DEDC，故DECDCE.连接 OE，则OBEOEB.又ACBABC90，所以DECOEB90，故OED90，DE 是O 的切线(2
4、)设 CE1，AEx，由已知得 AB2 3，BE 12x2.由射影定理可得，AE2CEBE，所以 x2 12x2，则 x412x2 x23，x 3，因此 AEOAOE，所以ACB60.1圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小 2涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦的(弧)两端作圆周角或弦切角(2015陕西卷)如图，AB 切O 于点 B，直线 AO 交O 于 D，E 两点，BCDE，垂足为 C.(1)证明：CBDDBA；(2)若 AD3DC，BC 2，求O 的直径(1)证明：因为 DE 为O
5、 直径，则BEDEDB90，又 BCDE，所以CBDEDB90，从而CBDBED.又 AB 切O 于点 B，得DBABED，所以CBDDBA.(2)解 由(1)知 BD 平分CBA.则BABCADCD3，又 BC 2，从而 AB3 2，所以 AC AB2BC24，所以 AD3，由切割线定理得 AB2ADAE，即 AEAB2AD6，故 DEAEAD3，即O 直径为 3.(2014课标全国卷)如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与O 相交于点 B，C，PC2PA，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点 E.证明：(1)BEEC；(2)ADDE2PB2.证明：(1)
6、连接 AB，AC，由题设知 PAPD，故PADPDA.因为PDADACDCA，PADBADPAB，DCAPAB，所以DACBAE.从而BE EC.因此 BEEC.(2)由切割线定理得 PA2PBPC.因为 PAPDDC，所以 DC2PB，BDPB.由相交弦定理得 ADDEBDDC，所以 ADDE2PB2.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 1直接应用相交弦、切割线定理及其推论；2当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形比例式等积式”在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握。如图，O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P，E 为O 上一点，AC AE，DE 交 AB 于点 F.(1)证明：DFEFOFFP.(2)当 AB2BP 时，证明：OFBF.证明：(1)连接 OE.因为AC AE，所以AOECDE，所以EOFPDF，又EFOPFD，所以OFEDFP，所以OFDFEFPF，所以 DFEFOFFP.(2)设 BPa，由 AB2BP，得 AOBOBPa，由相交弦定理得：DFEFAFBF，所以 AFBFOFFP，所以 OF(aBF)(aOF)BF，所以 OFBF.
