1、单元（章节）课题北师大版选修 2-1 第二章空间向量与立体几何 本节课题空间向量与立体几何复习与小结（2）三维目标1、掌握空间向量的概念、运算及其应用；2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。提炼的课题空间向量的概念、运算及其应用及掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。教学手段运用教学资源选择来源:学科网 ZXXK探析归纳，讲练结合教学过程1、用已知向量表示未知向量 例 1.如图所示，在平行六面体1111DCBAABCD中，设cAD,bAB,aAA1，M、N、P 分别是1AA、BC、11DC的中点，试用 a、b、c 表示以下各向量：（1）AP；（2）NA1；（3）1NCMP。分析：根据空
2、间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可。解析：（1）P 是11DC的 中点，来源:学科网 ZXXK PDDAAAAP1111来源:学+科+网 b21caAB21caCD21ADa11（2）N 是 BC 的中点，c21baAD21baBC21baBNABAANA11（3）M 是1AA 的中点，cb21a21)b21ca(a21APAA21APMAMP1 又ac21AAAD21AABC21CCNCNC1111 c23b21a23c21acb21a21NCMP1。点评：用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和
3、，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我 们可把这个法则称为向量加法的多边形法则，在立体几何中要灵活应用三角形法则；向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立 2、共线、共面向量问题 例 2.已知 A、B、C 三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点 P 是否一定与 A、B、C 共面？（1）OC52OB51OA52OP；（2）OCOB2OA2OP 分析：先化简已知等式，观察它能否转化为四点共面的充要条件。来源:1 解析：（1）原式变形为AC52AB51OA)ACOA(52)ABOA(51OA52OP 由共面向量定理的推论知 P 与 A、B、C 共面。（2）原式变形为ACAB2OA)
4、ACOA()ABOA(2OA2OP P 与 A、B、C 三点不共面。点评：点共面问题，可转化为向量共面问题，要 证明 P、A、B、C 四点共面，只要能证明PCyPBxPA，或对空间任一点 O，有PCyPBxOPOA或)1zyx(OCzOByOAxOP即可，以上结论是判定空间四点共面的一个充要条件，共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的必要条件。3、空间向量基本定理 例 3.已知矩形 ABCD，P 为平面 ABCD 外一点，且 PA平面 ABCD，M、N 分别为 PC、PD 上的点，且 M 分 PC 成定比 2，N 分 PD 成定比 1，求满足APzADyABxMN的实数 x、y、z
5、的值。分析：结合图形，从向量 MN 出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用AB、AD、AP表示出来，即可求出 x、y、z 的值。解析：如图所示，取 PC 的中点 E，连接 NE，则EMENMN。CD21EN AB21BA21，PC61PC21PC32PEPMEM，连接 AC，则 61z,61y,32xAP61AD61AB32)APADAB(61AB21MNAPADABAPACPC 点评：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功，要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量。再对照目标，将不符合目标
6、要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。有分解才有组合，组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明，用空 间三个不共面的向量组c,b,a可以表示出空间任意一个向量，而且 a,b,c 的系数是惟一的。4、空间向量数量积 例 4.在平行四边形 ABCD 中，AB=AC=1，ACD=90，将它沿对角线 AC 折起，使 AB 和 CD 成 60角（见下图）。求 B、D 间的距离。解析：ACD=90，0CDAC，同理 0BA ACAB 和 CD 成 60角，060BA CD60或 120 2222222BDBAACCDBDBAACCDBA ACCD
7、 BAAC CDCDBA2CDACBA222 CD,BAcos1123 120CD,BA260CD,BA422|BD|或，即 B、D 间的距离为 2 或2 点评：用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求异面直线所成的角，求 两点距离或线段长度以及证明线线垂直，线面垂直等典型问题。（1）求向量 m 和 n 所成的角，首先应选择合适的基底，将目标向量 m 和n 用该组基底表示出 来，再求其自身的数 量积及长度最后利用公式cos,m nm nm n。（2）由于线段的长度是实数，实数与向量之间如何转化，是思维中的常见障碍，在向量性质中2aa a提供了向量与实数相互转化的工具，运用此公式，可使线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题。（二）、课堂练习：已知 A、B、C 三点不共线，O 为平面 ABC 外一点。若由向量OCOB32OA51OP确定的点 P 与 A、B、C 共面，则_。215 课 后 作业布置课本 56 页 复习题 二 A 组 6,8,10预 习 内容布置 来源:1课本 57 页 16，17，18
