1、 练案61高考大题规范解答系列(五)解析几何1(2018天津高考)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B，已知椭圆的离心率为，点A的坐标为(b,0)，且|FB|AB|6.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：ykx(k0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若sinAOQ(O为原点)，求k的值解析(1)设椭圆的焦距为2c，由已知有，又由a2b2c2，可得2a3b.由已知可得，|FB|a，|AB|b，由|FB|AB|6，可得ab6，从而a3，b2.所以，椭圆的方程为1.(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)由已知有y1y20，故|PQ|sinAOQy1y
2、2.又因为|AQ|，而OAB，故|AQ|y2.由sinAOQ，可得5y19y2.由方程组消去x，可得y1.易知直线AB的方程为xy20，由方程组消去x，可得y2.由5y19y2，可得5(k1)3，两边平方，整理得56k250k110，解得k，或k.所以，k的值为或.2(2019全国)已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若3，求|AB|.解析设直线l：yxt，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由题设得F(，0)，故|AF|BF|x1x2，由题设可得x1x2.由可得9x212(t1)x4t20，则x
3、1x2.从而，得t.所以l的方程为yx.(2)由3可得y13y2.由可得y22y2t0.所以y1y22.从而3y2y22，故y21，y13.代入C的方程得x13，x2.故|AB|.3(2019湖南联考，20)已知椭圆C：1(ab0)的一个焦点与上、下顶点两两相连构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线xy20相切(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点，探究在x轴上是否存在定点E，使得的定值为？解析(1)由题意知，解得则椭圆C的标准方程为y21.(2)当直线的斜率存在时，设直线方程为yk(x1)(k0)，A(xA，yA)，B(xB，y
4、B)，联立得(12k2)x24k2x2k220，8k280.xAxB，xAxB.假设在x轴上存在定点E(x0,0)，使得为定值则(xAx0，yA)(xBx0，yB)xAxBx0(xAxB)xyAyBxAxBx0(xAxB)xk2(xA1)(xB1)(1k2)xAxB(x0k2)(xAxB)xk2.为定值，的值与k无关，2x4x012(x2)，解得x0，此时为定值，定点为(，0)，当直线的斜率不存在时，也满足为定值，且定点为(，0)综上，存在点E(，0)，使得为定值，且定值为.4(2019陕西模拟)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已
5、知点B(1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明直线l过定点解析(1)如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|O1M|.当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点，|O1M|，又|O1A|，化简得y28x(x0)又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y28x，动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.(2)由题意，设直线l的方程为ykxb(b0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykxb代入y28x中，得k2x2(2bk8)xb20.其中32kb640.由韦达公式，得x1x2，x1x
6、2.因为x轴是PBQ的角平分线，所以，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0，将，代入得，2kb2(kb)(82bk)2k2b0.kb，此时0.直线l的方程为yk(x1)，即直线l过定点(1,0)5(2019湖南省湘潭市模拟)已知点F(，0)是椭圆C：1(ab0)的一个焦点，点M(，)在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C交于不同的A，B两点，且kOAkOB(O为坐标原点)，求直线l斜率的取值范围解析(1)解法一：由题可知，椭圆的另一个焦点为(，0)，所以点M到两焦点的距离之和为4.所以a2.又因
7、为c，所以b1，则椭圆C的方程为y21.解法二：由题意知，解得，椭圆C的方程为y21.(2)当直线l的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，kOAkOB0，不符合题意故设l直线的方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，可得(4k21)x28kmx4(m21)0.64k2m216(m21)(4k21)16(4k2m21)0，且而kOAkOB2k2k，由kOAkOB，可得m24k1.所以k，又因为16(4k2m21)0，所以4k24k0.综上，k，0)(1，)6(2019北京卷)已知抛物线C：x22py经过点(2，1)(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C
8、的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点解析(1)由抛物线C：x22py经过点(2，1)，得p2.所以抛物线C的方程为x24y，其准线方程为y1.(2)抛物线C的焦点为F(0，1)设直线l的方程为ykx1(k0)由得x24kx40.显然16k2160.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x24.直线OM的方程为yx.令y1，得点A的横坐标xA.同理得点B的横坐标xB.设点D(0，n)，则(，1n)，(，1n)，(n1)2(n1)2(n1)24(n1)2.令0，即4(n1)20，得n1或n3.综
9、上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，3)7(2020山西大学附中诊断)已知椭圆C：1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是椭圆C上的一个动点，且PF1F2面积的最大值为.(1)求椭圆C的方程；(2)设斜率存在的直线PF2与椭圆C的另一个交点为Q，是否存在点T(0，t)，使得|TP|TQ|？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由解析(1)椭圆离心率为，当P为C的上顶点时，PF1F2的面积有最大值.a2，b，c1.故椭圆C的方程为：1.(2)设直线PQ的方程为yk(x1)，当k0时，yk(x1)代入1，得：(34k2)x28k2x4k2120；设P(x1，
10、y1)，Q(x2，y1)，线段PQ的中点为N(x0，y0)，x0，y0k(x01)，即N(，)，|TP|TQ|，直线TN为线段PQ的垂直平分线；TNPQ，则kTNkPQ1.所以k1，t，当k0时，因为4k4(当k时取等号)，t(0，当kb0)的离心率为，点M(，)在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程；(2)若不过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，与直线OM交于点N，并且点N是线段AB的中点，求OAB面积的最大值解析(1)由椭圆C：1(ab0)的离心率为，点M(，)在椭圆上得，解得.所以椭圆C的方程为1.(2)易得直线OM的方程为yx.当直线l的斜率不存在时，AB的中点不在直线yx上，故直线l的斜率存在设直线l的方程为ykxm(m0)，与1联立消y得(34k2)x28kmx4m2120，所以64k2m24(34k2)(4m12)48(34k2m2)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，由y1y2k(x1x2)2m，所以AB的中点N(，)，因为N在直线yx上，所以2，解得k.所以48(12m2)0得2m2，且m0.|AB|x2x1|，又原点O到直线l的距离d，所以SAOB.当且仅当12m2m2，即m时等号成立，符合2m2且m0.AOB面积的最大值为.
