1、第三章 函数的应用3.1 函数与方程31.1 方程的根与函数的零点填一填一、函数的零点1零点的定义对于函数 yf(x)，我们把使_叫做函数 yf(x)的零点2方程的根与函数的零点的关系答案：1.f(x)0 的实数 x 2.有交点 零点二、函数零点的判定(函数零点存在性定理)如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是_的一条曲线，并且有_，那么，函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c(a，b)，使得_，这个 c 也就是方程 f(x)0 的根答案：连续不断 f(a)f(b)0 f(c)0想一想1函数 yf(x)的零点是点吗？为什么？答案：不是函数的零点的本质是方程 f(x)0 的实数
2、根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，函数值为零2任何函数都有零点吗？答案：并非所有的函数都有零点，如函数 f(x)1x无零点，因为方程1x0 无实根3函数 yf(x)在区间a，b上的图象为连续不断的一条曲线，并且区间(a，b)内存在零点，那么 f(a)f(b)0 一定成立吗？答案：不一定成立如函数 yx2.类型 1 函数零点的定义要点点击 对函数零点概念的三点说明(1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴交点的横坐标，函数的零点是一个实数，不是一个点当函数的自变量取这个实数时，函数值为零(2)函数是否有零点是针对对应方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函
3、数没有零点，反映在图象上就是函数图象与 x 轴无交点，如函数 y5，yx21 就没有零点(3)方程有几个解，则其对应的函数就有几个零点若函数 yf(x)有零点，则零点一定在其定义域内典例 1 求下列函数的零点(1)f(x)x37x6；(2)f(x)x2x6；(3)f(x)12x4；(4)f(x)log3x1.思路点拨 分别令各个解析式等于 0，根据方程的根来确定函数的零点解析(1)令 f(x)0，得 x37x60，即(x3x)(6x6)0，x(x1)(x1)6(x1)(x1)(x2x6)(x1)(x2)(x3)0.解得 x11，x22，x33.函数 f(x)x37x6 的零点是 1,2，3.(
4、2)令 f(x)x2x60，得x3 或 x2，f(x)x2x6 的零点是 3 和2.(3)令 f(x)12x40，得 x2，f(x)12x4 的零点是2.(4)令 f(x)log3x10，得 x3，f(x)log3x1 的零点是 3.巧归纳 函数零点的求法(1)代数法：求方程 f(x)0 的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程 f(x)0，可以将它与函数 yf(x)的图象联系起来图象与 x 轴的交点的横坐标即为函数的零点练习 1若函数 f(x)axb 有一个零点是 3，那么函数 g(x)bx23ax 的零点是_答案：0，1 解析：函数 f(x)axb 的一个零点是 3，3ab0，即
5、b3a，函数 g(x)bx23axbx2bxbx(x1)，令 g(x)0，解得 x0 或 x1.类型 2 确定函数零点的个数要点点击 1.判断函数零点个数的主要方法：(1)方程法：利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点；(2)图象法：画出函数 yf(x)的图象，判断其与 x 轴的交点个数(或转化为两个函数交点个数)，即函数 yf(x)的零点个数；(3)定理法：利用零点存在性定理并结合函数单调性来判断2判断函数零点所在区间的方法：将区间端点代入函数求出函数值，进行符号判断即可得出结论典例 2 已知函数 f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程 f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数
6、k 的取值范围是()A.0，12B.12，1C(1,2)D(2，)答案 B解析 在同一坐标系中分别画出函数 f(x)，g(x)的图象如图所示，方程 f(x)g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线 ykx 的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线 yx1 的斜率时符合题意，故12k1.巧归纳 解题时把方程的根的个数转化为函数图象的交点个数，数形结合的方法是判断方程根(函数零点)的个数的有效方法练习 2判断函数 f(x)x3ln x 的零点个数解：解法一：令 f(x)x3ln x0，则 ln x3x.在同一平面直角坐标系内画出函数 yln
7、x 与yx3 的图象，如图所示由图可知函数 yln x，yx3 的图象只有一个交点，即函数 f(x)x3ln x 只有一个零点解法二：因为 f(3)ln 30，f(2)1ln 2ln 2e0，所以 f(3)f(2)0，说明函数 f(x)x3ln x 在区间(2,3)内有零点又 f(x)x3ln x 在(0，)上是增函数，所以原函数只有一个零点类型 3 判断函数零点所在区间要点点击 函数 f(x)在区间a，b上的零点的情况(1)有唯一零点：此时，f(x)在a，b上与 x 轴有唯一公共点或 f(x)在a，b上满足以下三条：图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0，f(3)ln 32380，f(
8、4)f(3)0，f12 220，f(1)f12 0，即 a0，0，2a12a1，f10或 a0，2a12a1，f1 0，0，f10或a0，f10，解得 a0.方法点睛 解决有关根的分布问题应注意以下几点：(1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题(2)结合草图考虑四个方面：的大小；对称轴与所给端点值的关系；端点的函数值与零的关系；开口方向(3)写出由题意得到的不等式(4)由得到的不等式去验证图象是否符合题意这类问题的求解充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点，在写不等式时要注意条件的完备性下面为几类常见二次方程根的分布情况及需满足的条件(只讨论a0 的情况，a0 的情况)根的分布(mnps 为常数)图象满足的条件x1x20 b2a 0mx10 b2amfm0根的分布(mnps 为常数)图象满足的条件x1mx2f(m)0mx1x20m b2a0fn0根的分布(mnps 为常数)图象满足的条件mx1nx20fn0只有一根在(m，n)之间0m b2an或 f(m)f(n)0根的分布(mnps 为常数)图象满足的条件mx1npx20fn0fp0完成课时作业（二十三）谢谢观看！
