1、等差(比)数列的基本运算【例1】等比数列an中，已知a12，a416.(1)求数列an的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列bn的第3项和第5项，试求数列bn的通项公式及前n项和Sn.解(1)设an的公比为q，由已知得162q3，解得q2，an22n12n.(2)由(1)得a38，a532，则b38，b532.设bn的公差为d，则有解得所以bn1612(n1)12n28.所以数列bn的前n项和Sn6n222n.在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d(或q)，Sn，其中a1和d(或q)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d(
2、q)，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用.1已知等差数列an的公差d1，前n项和为Sn.(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；(2)若S5a1a9，求a1的取值范围解(1)因为数列an的公差d1，且1，a1，a3成等比数列，所以a1(a12)，即aa120，解得a11或a12.(2)因为数列an的公差d1，且S5a1a9，所以5a110a8a1，即a3a1100，解得5a12.求数列的通项公式【例2】(1)已知数列an的前n项和Sn32n，求an；(2)数列an
3、的前n项和为Sn且a11，an1Sn，求an.思路探究：(1)已知Sn求an时，应分n1与n2讨论；(2)在已知式中既有Sn又有an时，应转化为Sn或an形式求解解(1)当n2时，anSnSn132n(32n1)2n1，当n1时，a1S15不适合上式an(2)Sn3an1，n2时，Sn13an.得SnSn13an13an，3an14an，又a2S1a1.n2时，an，不适合n1.an数列通项公式的求法(1)定义法，即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目.(2)已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列an的通项an可用公式,求
4、解.(3)累加或累乘法,形如anan1f(n)(n2)的递推式，可用累加法求通项公式；形如f(n)(n2)的递推式，可用累乘法求通项公式.2设数列an是首项为1的正项数列，且an1anan1an0(nN*)，求an的通项公式解an1anan1an0，1.又1，是首项为1，公差为1的等差数列故n.an.等差(比)数列的判定【例3】数列an的前n项和为Sn，a11，Sn14an2(nN*)(1)设bnan12an，求证：bn是等比数列；(2)设cn，求证：cn是等差数列思路探究：分别利用等比数列与等差数列的定义进行证明证明(1)an2Sn2Sn14an124an24an14an.2.因为S2a1a
5、24a12，所以a25.所以b1a22a13.所以数列bn是首项为3，公比为2的等比数列(2)由(1)知bn32n1an12an，所以3.所以cn1cn3，且c12，所以数列cn是等差数列，公差为3，首项为2.等差数列、等比数列的判定方法(1)定义法：an1and(常数)an是等差数列；q(q为常数，q0)an是等比数列.(2)中项公式法：2an1anan2an是等差数列；aoal(2,n1)anan2(an0)an是等比数列.(3)通项公式法：anknb(k，b是常数)an是等差数列；ancqn(c，q为非零常数)an是等比数列.(4)前n项和公式法：SnAn2Bn(A，B为常数，nN*)a
6、n是等差数列；SnAqnA(A，q为常数，且A0，q0，q1，nN*)an是等比数列.提醒：前两种方法是判定等差、等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.若要判定一个数列不是等差(比)数列，则只需判定其任意的连续三项不成等差(比)即可.3数列an的前n项和为Sn，若anSnn，cnan1.求证：数列cn是等比数列证明当n1时，a1S1.由anSnn，得a1S11，即2a11，解得a1.又an1Sn1n1，得an1an(Sn1Sn)1，即2an1an1，因为cnan1，所以ancn1，an1cn11，代入式，得2(cn11)(cn1)1，整理得2cn1cn，故(常数)所以数列
7、cn是一个首项c1a11，公比为的等比数列.数列求和探究问题1若数列cn是公差为d的等差数列，数列bn是公比为q(q1)的等比数列，且ancnbn，如何求数列an的前n项和？提示数列an的前n项和等于数列cn和bn的前n项和的和2有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和试用此种方法求和：122232429921002.提示122232429921002(1222)(3242)(9921002)(12)(12)(34)(34)(99100)(99100)(123499100)5 050.3我们知道，试用此公式求和：.提示由得 11.【例4】已知数列an的前n项和S
8、nkcnk(其中c、k为常数)，且a24，a68a3.(1)求an；(2)求数列nan的前n项和Tn.思路探究：(1)已知Sn，据an与Sn的关系an确定an；(2)若an为等比数列，则nan是由等差数列和等比数列的对应项的积构成的新数列，可用错位相减法求和解(1)当n2时，anSnSn1k(cncn1)，则a6k(c6c5)，a3k(c3c2)，c38，c2.a24，即k(c2c1)4，解得k2，an2n.当n1时，a1S12.综上所述，an2n(nN*)(2)nann2n，则Tn2222323n2n，2Tn122223324(n1)2nn2n1，两式作差得Tn222232nn2n1，Tn2
9、(n1)2n1.1(变结论)例题中的条件不变，(2)中“求数列nan的前n项和Tn”变为“求数列nan的前n项和Tn”解由题知Tn12222323n2n(123n)(2222n)2n12.2(变结论)例题中的条件不变，将(2)中“求数列nan的前n项和Tn”变为“求数列的前n项和Tn”解由题知Tn，Tn，得：Tn1n，Tn222.数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解一般常见的求和方法有：(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和公式(2)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和(4)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和(5)倒序相加法：例如，等差数列前n项和公式的推导
