1、立体几何初步(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1观察图中的四个几何体，其中判断正确的是()A(1)是棱台 B(2)是圆台C(3)是棱锥 D(4)不是棱柱解析：图(1)不是由棱锥截得的，图(2)的上、下两个面不平行，图(4)的前、后两个面平行，其他面都是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以A，B，D都不正确，故选C.答案：C2已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()解析：通过对比选项可知，对于选项A，
2、D，俯视图应有一条中线，和题中给出的俯视图不一致，故排除A，D；从俯视图可以观察得到该几何体的一条侧棱在正视图中看不见，应该为虚线，故排除B.答案：C3设a，b是两条直线，是两个平面，若a，a，b，则内与b相交的直线与a的位置关系是()A平行 B相交C异面 D平行或异面解析：因为a，a，b，所以ab.又因为a与无公共点，所以内与b相交的直线与a异面. 故选C.答案：C4如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中OA2，BAO45，BCOA.则原平面图形的面积为()A3 B6C. D.解析：因为OA2，BOABAO45，所以OB，又BCOA，所以CBO45，OCB90，所
3、以BC1，所以原图形为梯形，其上底为1，下底为2，高为2，所以S3.答案：A5正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角为()A30 B45C60 D90解析：如图，在正四棱锥SABCD中，SO底面ABCD，E是BC边中点，则SEO即为侧面与底面所成的二面角的平面角由题易得SO3，OE，tanSEO，所以SEO60，故选C.答案：C6有下列命题：若直线l平行于平面内的无数条直线，则直线l若直线a在平面外，则a若直线ab，b，则a若直线ab，b，则a平行于平面内的无数条直线其中真命题的个数是()A1B2 C3D4解析：命题l可以在平面
4、内，不正确；命题直线a与平面可以是相交关系，不正确；命题直线a可以在平面内，不正确；命题正确答案：A7某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是()A. B.C. D1解析：本题主要考查三视图以及棱锥体积的求法根据三视图，该三棱锥的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为2，所以该三棱锥的体积V(11)2，故选B.答案：B8已知三棱锥SABC的三视图如图所示，则在原三棱锥中下列命题正确的是()BC平面SAC平面SBC平面SABSBAC.A BC D解析：由三视图可知，三棱锥SABC中侧棱SA垂直于底面ABC，底面ABC是一个直角三角形，且ACBC，从而只有是正确的故选A.答案：A9九章算术是
5、我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A14斛 B22斛C36斛 D66斛解析：设圆锥底面半径为r，因为米堆底部弧长为8尺，所以r8，r(尺)，所以米堆的体积为V25(立方尺)，又1斛米的体积约为1.62立方尺，所以该米堆有1.6222(斛)，故选B.答案：B10.如图，三棱柱A1B1C1ABC中，侧棱AA1底面A1B1C1
6、，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()ACC1与B1E是异面直线BAC平面A1B1BACAE，B1C1为异面直线，且AEB1C1DA1C1平面AB1E解析：AE与B1C1显然是异面直线，又B1C1BC，AEBC，所以AEB1C1，故选C.答案：C11如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：过点F作FHDC，过点A作AGEF，连接GH，AH，则AFH为异面直线AF与BE所成的角设正方形ABCD的边长为2，在AGH中，AH，在AFH中，AF1，FH2
7、，AH，cosAFH.答案：C12如图，在等腰梯形ABCD中，AB2DC2，DAB60，E为AB的中点，将ADE和BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合于点P，则三棱锥PDCE的外接球的体积为()A. B.C. D.解析：因为ABCD为等腰梯形，AB2DC，E为AB的中点，所以ADDECEBC，又DAB60，所以ADE，DCE，CEB均为边长为1的正三角形，故翻折后的三棱锥PDCE为正四面体，其高PO1，设球的半径为R，所以R222，得R，所以V，故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请把正确答案填在题中横线上)13.如图，在四面体ABCD中，BCCD，AD
8、BD，E，F分别为AB，BD的中点，则BD与平面CEF的位置关系是_解析：因为E，F分别为AB，BD的中点，所以EFAD.又ADBD，所以EFBD.又BCCD，F为BD的中点，所以CFBD，又EFCFF，所以BD平面CEF.答案：垂直14底面直线和高都是4 cm的圆柱的侧面积为_cm2.解析：圆柱的底面半径为r42(cm)，S侧22416(cm2)答案：1615在三棱锥SABC中，ABBC，ABBC，SASC2，二面角SACB的平面角的余弦值是，若S，A，B，C在同一球面上，则该球的表面积是_解析：取AC的中点D，连接SD，BD，ABBC，BDAC，SASC2，SDAC，SDB为二面角SACB
9、的平面角在ABC中，ABBC，ABBC，AC2，取等边SAC的中心E，作EO平面SAC，过D作DO平面ABC，则O为外接球的球心，易知ED，又二面角SACB的平面角的余弦值是，cosEDO，OD，BO，所求表面积为6.答案：616如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知ADE(A平面ABC)是ADE绕DE旋转过程中的一个图形，有下列命题：平面AFG平面ABC；BC平面ADE；三棱锥ADEF的体积的最大值为a3；动点A在平面ABC上的射影在线段AF上；直线DF与直线AE可能共面其中正确的命题是_(写出所有正确命题的编号)解析：由已知可得四边形ADFE是菱形，则DEGA
10、，DEGF，所以DE平面AFG，所以平面AFG平面ABC，正确；因为BCDE，所以BC平面ADE，正确；当平面ADE平面ABC时，三棱锥ADEF的体积达到最大值，最大值为a3，故正确；由知动点A在平面ABC上的射影在线段AF上，故正确；ADE在旋转过程中，直线DF与直线AE始终异面，故错误答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图所示，设圆台的高为3，在轴截面中母线AA1与底面圆的直径AB的夹角为60，轴截面中对角线A1B垂直于AA1，求圆台的体积解析：设上、下底面半径、母线长分别为r，R，l.作A1DAB于D，则
11、A1D3，A1AB60.又由题意得BA1A90，BA1D60.ADA1D，BDA1Dtan60，Rr3，Rr33.R2，r，而h3，V圆台h(R2Rrr2)3(2)22()221.圆台的体积为21.18(本小题满分12分)如图，已知PA，圆O在平面内，且AB是O的直径，点C是O上任一点(非A，B)，过A作AEPC于点E.求证：直线AE平面PBC.证明：因为PA，且BC，所以PABC.又因为点C在以AB为直径的圆上所以BCAC.又因为直线PA和AC是平面PAC内的两条相交直线，所以BC平面PAC.又因为直线AE平面PAC，所以BCAE.又因为AEPC，而PC和BC为平面PBC内的两条相交直线，所
12、以AE平面PBC.19(本小题满分12分)如图，在矩形ABCD中，AB2AD，E为AB的中点，N为BC的中点，沿DE将ADE折起(1)若平面ADE平面BCDE，求证：ABAC；(2)若ABAC，求证：平面ADE平面BCDE.证明：(1)取DE的中点M，连接AM，因为在翻折前，四边形ABCD为矩形，AB2AD，E为AB的中点，所以翻折后ADAE，则AMDE，又平面ADE平面BCDE，所以AM平面BCDE，所以AMBC，又N为BC的中点，所以MNBC，因为AMMNM，所以BC平面AMN，又AN平面AMN，所以BCAN，又N为BC的中点，所以ABAC.(2)由(1)设M是DE中点，因为N为BC的中点
13、，所以MNDC，又BC DC，所以MNBC，又ABAC，所以BCAN，又MNANN，所以BC平面AMN.所以BCAM，由(1)知AMDE，又DE与BC不平行，所以AM平面BCDE，又AM平面ADE，所以平面ADE平面BCDE.20(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA1.(1)求证：AB1平面A1BC1.(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值解析：(1)证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，所以AB1BA1.由AA1平面A1B1C1得AA1A1C1.又因为A1C1A1B1，AA1A1B1A1，所以A1C1平面AA1B1
14、B，又因为AB1平面AA1B1B，所以A1C1AB1.又因为BA1A1C1A1，所以AB1平面A1BC1.(2)连接A1D.设ABACAA11，因为AA1平面A1B1C1，所以A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边的中点，所以A1DB1C1.在RtA1DA中，AD.所以sinA1DA，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为.21(本小题满分12分)如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点(1)求证：VB平面MOC；(2)求证：平面MOC平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积
15、解析：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OMVB.因为VB平面MOC，OM平面MOC，所以VB平面MOC.(2)证明：因为ACBC，O为AB的中点，所以OCAB.因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，所以OC平面VAB，又OC平面MOC.所以平面MOC平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，ACBC，所以AB2，OC1，所以SVAB，又因为OC平面VAB，所以VCVABOCSVAB.因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为.22.(本小题满分12分)如图所示，正四棱锥PABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的
16、角的正切值为.(1)求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；(2)若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；(3)问在棱AD上是否存在一点F，使EF侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由解析：(1)取AD中点M，连接MO，PM，依条件可知ADMO，ADPO，则PMO为所求二面角PADO的平面角PO面ABCD，PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角tanPAO，设ABa，AOa，POAOtanPOAa，tanPMO.PMO60.(2)连接AE，OE，OEPD，OEA为异面直线PD与AE所成的角AOBD，AOPO，AO平面PBD.又OE平面PBD，AOOE.OEPDa，tanAEO；(3)延长MO交BC于N，取PN中点G，连EG，MG.BCMN，BCPN，BC平面PMN平面PMN平面PBC.又PMPN，PMN60，PMN为正三角形MGPN.又平面PMN平面PBCPN，MG平面PBC.F是AD的四等分点，靠近A点的位置
