1、课时作业11柱体与锥体的体积时间:45分钟基础巩固类一、选择题1将两个棱长为10 cm的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5 cm的正四棱柱,则该四棱柱的高为(B)A8 cm B80 cmC40 cm D cm解析:设正四棱柱的高为h cm,依题意得55h2103,解得h80(cm)2若一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是等边三角形,其面积为,则这个圆锥的体积为(B)A3 BC D解析:设圆锥的底面半径为R,依题意知该圆锥的高即轴截面的高h2RR,所以2RR,解得R1.所以V12.3正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形,则该正三棱柱的体积是(D)A BC D或解析:当2为正三棱柱的
2、底面周长时,正三棱柱底面三角形的边长a,底面面积Sa2,正三棱柱的高h4,所以正三棱柱的体积VSh;当4为正三棱柱的底面周长时,正三棱柱底面三角形的边长a,底面面积Sa2,正三棱柱的高h2,所以正三棱柱的体积VSh.所以正三棱柱的体积为或.4半径为R的半圆卷成一个圆锥,则它的体积是(A)AR3 BR3CR3 DR3解析:令母线长为l,底面半径为r,则l2r,l2r.lR,rR.高hR.Vr2hR2RR3.5已知直角三角形两直角边长分别为a、b,分别以这两个直角边为轴,旋转所形成的几何体的体积比为(B)Aab BbaCa3b3 Db3a3解析:以a为轴的几何体的体积为,以b为轴的几何体的体积为,
3、体积比为bA6设正棱锥的高和底面边长都缩小为原来的,则它的体积是原来的(B)A BC D解析:VSh,hh,SS,.7在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体体积为(D)A BC D解析:每个截去的小三棱锥体积为()()4,则剩余部分的体积为V1()481.8算数书竹简于20世纪80年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也又以高乘之,三十六成一该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积的近似公式VL2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3,那么,
4、近似公式VL2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为(B)A BC D解析:Vr2hL2h,而L2r,则.二、填空题9一个长方体的三个面的面积分别是,则这个长方体的体积为.解析:设长方体的棱长分别为a,b,c,则三式相乘可知(abc)26,所以长方体的体积Vabc.10若圆锥的侧面积为2,底面面积为,则该圆锥的体积为.解析:本题考查圆锥的侧面积、体积以及圆锥中基本量的关系、运算,只需求出基本量代入公式即可设圆锥底面半径为r,母线长为l,则,圆锥的高h,VSh.11将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使BDa,则三棱锥DABC的体积为a3.解析:BABCBD,B点在面ACD上的射影为ACD的
5、外心,即等腰RtADC斜边中点O,ODa,OBa,Va2aa3.三、解答题12如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,过顶点B,D,A1截下一个三棱锥(1)求剩余部分的体积;(2)求三棱锥AA1BD的体积及高解:(1)V三棱锥A1ABDSABDA1AABADA1Aa3.故剩余部分的体积VV正方体V三棱锥A1ABDa3a3a3.(2)V三棱锥A1ABDV三棱锥A1ABDa3.设三棱锥AA1BD的高为h,则V三棱锥A1ABDSA1BDh(a)2ha2h,故a2ha3,解得hA13如图所示,圆锥的轴截面为等腰RtSAB,Q为底面圆周上一点(1)若QB的中点为C,OHSC,求证:OH平面S
6、BQ;(2)如果AOQ60,QB2,求此圆锥的体积解:(1)证明:连接OC,SQSB,OQOB,QCCB,QBSC,QBOC,QB平面SOCOH平面SOC,QBOH.又OHSC,OH平面SBQ.(2)连接AQ,Q为底面圆周上一点,AB为直径,AQQB在RtAQB中,QBA30,QB2,AB4.SAB是等腰直角三角形,SOAB2.V圆锥OA2SO.能力提升类14如图所示,正方体ABCDABCD的棱长为4,动点E,F在棱AB上,且EF2,动点Q在棱DC上,则三棱锥AEFQ的体积(D)A与定点E,F的位置有关B与点Q的位置有关C与点E,F,Q的位置有关D与点E,F,Q的位置均无关,是定值解析:因为点
7、Q到平面AEF的距离为正方体的棱长4,A到EF的距离为正方体的棱长4,所以VAQEFVQAEF244,是定值,因此与点E,F,Q的位置均无关15如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,ABAA1,CAB.(1)证明:CB1BA1;(2)已知AB2,BC,求三棱锥C1ABA1的体积解:(1)证明:如图,连接AB1,ABCA1B1C1是直三棱柱,CAB,AC平面ABB1A1,故ACBA1.又ABAA1,四边形ABB1A1是正方形,BA1AB1,又CAAB1A,BA1平面CAB1,故CB1BA1.(2)如图,连接AC1,ABAA12,BC,ACA1C11,由(1)可知,A1C1平面ABA1,VC1ABA1SABA1A1C121.