1、第一章单元质量评估一、选择题(每小题5分，共60分)1给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等其中真命题的个数是(A)A0 B1 C2 D3解析：不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如右图所示；错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等2以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为(C)A6
2、4 cm2 B36 cm2 C64 cm2或36 cm2 D48 cm2解析：分别以长为8 cm，宽为6 cm的边所在的直线为旋转轴，即可得到两种不同大小的圆柱，显然C选项正确3某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是(B)A. B. C. D1解析：本题主要考查三视图以及棱锥体积的求法根据三视图，该三棱锥的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为2，所以该三棱锥的体积V(11)2，故选B.4已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是(B)A108 cm3 B100 cm3 C92 cm3 D84 cm3解析：本题考查三视图与几何体的体积计算由题意可知此几何体为一个长方
3、体ABCDA1B1C1D1截去一个三棱锥ADEF后剩下的部分，如图所示，其中这个长方体的长、宽、高分别为6 cm，3 cm，6 cm，故其体积为636108(cm3)三棱锥的三条棱AE，AF，AD的长分别为4 cm,4 cm,3 cm，故其体积为48(cm3)，所以所求几何体的体积为1088100(cm3)，故选B.5正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(A)A. B16 C9 D.解析：本题主要考查球的表面积、棱锥的性质如图所示，设球的半径为R，球心为O，正四棱锥的底面中心为O.正四棱锥PABCD中AB2，AO.PO4，在RtAOO中，AO2AO2OO
4、2，R2()2(4R)2，解得R，该球的表面积为4R242，故选A.6已知圆锥的高为16 cm，底面积为512 cm2，平行于圆锥底面的截面面积为50 cm2，则截面与底面的距离为(C)A5 cm B10 cm C11 cm D25 cm解析：本题考查圆锥中平行于底面的截面的性质设截面与底面的距离为h cm，则2，得h11，故选C.7如图所示，圆锥形容器的高为h，圆锥内水面的高为h1，且h1h，若将圆锥形容器倒置，水面高为h2，则h2等于(D)A.h B.h C.h D.h解析：设圆锥形容器的底面积为S，则未倒置前液面的面积为S，水的体积VShS(hh1)Sh.设倒置后液面面积为S，则2，S.
5、水的体积VSh2，Sh，解得h2，故选D.8一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(圆锥的轴截面为正三角形)的体积之比为(D)A235 B234 C358 D469解析：设球的半径为r，则球的体积V球r3，外切圆柱的体积V圆柱2r3，外切等边圆锥的体积V圆锥3r3，故V球V圆柱V圆锥469.9一个圆台的上、下底面面积分别为1、49，一个平行于底面的截面面积为25，则这个截面与上、下两个底面的距离之比为(A)A21 B31 C.1 D.1解析：如图，设上底面、下底面、截面的半径分别为r、R、r0，则由已知得，所以，所以，所以.10在ABC中，AB2，BC，ABC120(如图所示)，若将ABC绕BC边
6、所在直线旋转一周，则所形成的旋转体的体积是(D)A. B. C. D.解析：本题考查旋转体的体积计算如图所示，该旋转体的体积为圆锥CD与圆锥BD的体积之差，由已知求得BD1，AD，CD.所以VV圆锥CDV圆锥BD()2()21，故选D.11若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为1，则此三棱锥的外接球的表面积为(A)A6 B12 C18 D24解析：将三棱锥补成边长分别为1，的长方体，则长方体的体对角线是其外接球的直径，所以2R，解得R，故S4R26.12如图所示，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱
7、体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(C)A. B. C. D.解析：该零件可看成由两个圆柱组成的组合体，其体积V32222434(cm3)，原毛坯的体积V毛坯32654(cm3)，被切削掉部分的体积V切V毛坯V543420(cm3)，所以.二、填空题(每小题5分，共20分)13一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面上升9厘米，则此球的半径为12厘米解析：设球的半径为R，由题意知V球29R3，R12(cm)14如果用半径为R2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是3.解析：设圆锥筒的底面半径为r，则2rR2，则r，所以圆锥筒的高h3.
8、15若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为.解析：该组合体为在一个圆柱内去掉一个半球，其体积V12113.16如图所示，有一圆柱形的开口容器(下表面密封)，其轴截面是边长为2的正方形，P是BC的中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为.解析：侧面展开后得矩形ABCD，如图所示，其中AB，AD2，问题转化为在CD上找一点Q，使AQPQ最短作P关于CD的对称点E，连接AE，AE与CD交于点Q，AE，则AQPQ的最小值为.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17(10分)已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图的内外
9、均为正方形，边长分别为2和4，几何体的高为3，求此几何体的表面积和体积解：由已知得，该几何体为一个棱台，其侧面的高h .故SS上底S下底S侧面22424(24)2012，所以该几何体的表面积为2012，体积V(422224)328.18. (12分)如图所示是一个圆台形的纸篓(有底无盖)，它的母线长为50 cm，两底面直径分别为40 cm和30 cm.现有制作这种纸篓的塑料制品50 m2，问最多可以做多少个这种纸篓？解：根据题意可知，纸篓底面圆的半径r15 cm，上口的半径r20 cm，设母线长为l，则纸篓的表面积Sr2(r2rlrl)(15215502050)1 975(cm2).50 m2
10、500 000 cm2，故最多可以制作这种纸篓的个数n80.19(12分)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.该标识墩的正视图和俯视图如图所示(1)请画出该安全标识墩的侧视图；(2)求该安全标识墩的体积；(3)求该安全标识墩的侧面积解：(1)侧视图和正视图一样，如图所示(2)该安全标识墩的体积VVPEFGHVABCDEFGH402604022064 000(cm3)(3)如图，连接EG，HF交于点O，连接PO，结合三视图可知OP60 cm，OGEG20 cm，可得PG20(cm)于是四棱锥PEFGH的侧面积S14401
11、 600(cm2)，四棱柱EFGHABCD的侧面积S2440203 200(cm2)，故该安全标识墩的侧面积SS1S21 600(2)(cm2)20. (12分)如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由解：由题图可知半球的半径为4 cm，所以V半球R343(cm3)，V圆锥r2h421264(cm3)因为V半球V圆锥，所以如果冰淇淋融化了，不会溢出杯子21(12分)一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形(1)如果正三角形的边长为2，求圆锥形容器的体积；(2)如果在容器内放一个半径为r的铁球(铁球完全在容器内)，并向容器内注
12、水，使水面漫过铁球且恰好与铁球相切(如图所示)，则将铁球取出后，容器内的水深是多少？解：(1)如果正三角形的边长为2，那么倒圆锥形容器的底面圆的半径为1，高为正三角形的高，于是圆锥形容器的体积V12.(2)由球的半径为r，知水深为3r，水面半径为r，则容器内水的体积V(r)23rr3r3.设取出铁球后容器中水的深度为h，则水面半径为h，由2hr3，得hr，故将铁球取出后，容器内的水深是r.22. (12分)如图所示，某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱
13、的底面周长为24 cm，高为30 cm，圆锥的母线长为20 cm.(1)求这种“笼具”的体积(结果精确到0.1 cm3)；(2)现要使用一种纱网材料制作这种“笼具”，该材料的造价为8元/m2，则制作50个“笼具”共需多少元？解：(1)设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的母线长为l，高为h1，则2r24，解得r12(cm)，h116(cm)笼具的体积Vr2hr2h13 55211 158.9(cm3)(2)圆柱的侧面积S12rh720(cm2)，圆柱的底面积S2r2144(cm2)，圆锥的侧面积S3rl240(cm2)，故笼具的表面积SS1S2S31 104(cm2)故制作50个这样的笼具总造价为(元)故制作50个笼具需要元