1、北师大版八年级数学上册第一章勾股定理同步训练 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底墙到左墙角的距离为1.5m，顶端距离地面2m，如果保持
2、梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面0.7m，那么小巷的宽度为（）A3.2mB3.5mC3.9mD4m2、ABC的三边长a，b，c满足+（b12）2+|c13|0，则ABC的面积是（）A65B60C30D263、如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（）A11cmB2cmC（8+2）cmD（7+3）cm4、我国古代数学著作九章算术中有这样一个问题：“今有方池一丈，葭生其中央，出水一 尺，引葭赴岸，适与岸齐水深、葭长各几何？ ”其大意是：如图，有一个水池，水面是 一个边长为 10 尺 (丈、尺
3、是长度单位，1 丈10 尺) 的正方形，在水池正中央有一根芦苇， 它高出水面 1 尺如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面水 的深度与这根芦苇的长度分别是多少？若设这跟芦苇的长度为 x 尺，根据题意，所列方程正 确的是()A102(x1)2x2B102(x1)2 (x1)2C52(x1)2x2D52(x1)2 (x1)25、观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（）ABCD6、如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上若再选择一个格点C，使ABC是直角三角形，且每
4、个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（）A2B4C5D67、如图，在77的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，画一条线段AB=，使点A，B在小正方形的顶点上，设AB与网格线相交所成的锐角为，则不同角度的有（）A1种B2种C3种D4种8、在ABC中，A，B，C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A如果a2=b2c2，那么ABC是直角三角形且A=90B如果A:B:C=1:2:3，那么ABC是直角三角形C如果，那么ABC是直角三角形D如果，那么ABC是直角三角形9、已知点是平分线上的一点，且，作于点，点是射线上的一个动点，若，则的最小值为（）A2B3C4D510、如图
5、，由6个相同小正方形组成的网格中，A，B，C均在格点上，则ABC 的度数为（）A45B50C55D60第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、九章算术中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B（如图）则芦苇长_尺2、如图，在四边形ABCD中，那么四边形ABCD的面积是_3、如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1点A、B，C都在格点
6、上，若BD是ABC的高，则BD的长为_4、如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D重合若BC=8，CD=6，则CF的长为_5、如图，在高2米，坡角为30的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需_米三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要通过大门他把竹竿竖放，发现竹竿比大门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长已知大门宽4尺，请求出竹竿的长2、如图，烟台市正政府决定在相距50km的A、B两村之间的公路旁E点，修建一个大樱桃批发市场，且使C、D两村到E点的距离相等，已知DAAB于A，CBAB于B，DA30km，CB20k
7、m，那么大樱桃批发市场E应建什么位置才能符合要求？3、勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位它是初中数学中的重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学好勾股定理非常重要学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所以，我们要学会勾股定理的各种证明方法请你利用如图图形证明勾股定理：已知：如图，四边形ABCD中，BDCD，AEBD于点E，且ABEBCD求证：AB2BE2+AE24、已知：整式A（n21）2+（2n）2，整式B0尝试化简整式A发现AB2求整式B联想：由上可知，B2（n21）2+（2n）2，当n1时，n21，2n，B为直
8、角三角形的三边长，如图，填写下表中B的值；直角三角形三边n212nB勾股数组8勾股数组355、阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：MBN30，点A为射线BM上一点，且AB4，点C为射线BN上动点，连接AC，以AC为边在AC右侧作等边三角形ACD，连接BD当ACBN时，求BD的长小明发现：以AB为边在左侧作等边三角形ABE，连接CE，能得到一对全等的三角形，再利用EBC90，从而将问题解决（如图1）请回答：(1)在图1中，小明得到的全等三角形是 ；BD的长为 (2)动点C在射线BN上运动，当运动到AC时，求BD的长；(3)动点C在射线BN上运动，求ABD周长最小值-参考答案-一、单选题1、C【解
9、析】【分析】如图，在RtACB中，先根据勾股定理求出AB，然后在RtABD中根据勾股定理求出BD，进而可得答案【详解】解：如图，在RtACB中，ACB90，BC1.5米，AC2米，AB21.52+226.25，AB=2.5米，在RtABD中，ADB90，AD0.7米，BD2+AD2AB2，BD2+0.726.25，BD25.76，BD0，BD2.4米，CDBC+BD1.5+2.43.9米故选：C【考点】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键2、C【解析】【分析】首先根据非负数的性质可得a-5=0，b-12=0，c-13=0，进而可得a、b、c的值，再利用勾股定理逆
10、定理证明ABC是直角三角形，最后由直角三角形面积公式求解即可【详解】解：+(b-12)2+|c-13|=0，a-5=0，b-12=0，c-13=0，a=5，b=12，c=13，52+122=132，ABC是直角三角形，SABC=30故选：C【考点】此题主要考查了非负数的性质，以及勾股定理逆定理，熟练掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形，利用非负数性质求出a、b、c的值是解题的关键3、B【解析】【详解】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果解：将长方体展开,连接AB，则AB最短.AA=3+2+3+2=10c
11、m，AB=6 cm，AB=cm.故选B.4、C【解析】【分析】设这跟芦苇的长度为 x 尺，根据勾股定理，即可求解【详解】解：设这跟芦苇的长度为 x 尺，根据题意得：52(x1)2 x2故选：C【考点】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键5、C【解析】【分析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个直角三角形的面积可得问题的答案【详解】标记如下：，（ab）2a2+b24a22ab+b2故选：C【考点】此题考查的是利用勾股定理的证明，可以完全平方公式进行证明，掌握面积差得算式是解决此题关键6、D【解析】【分析】分三种情况讨论，当A=90，或B=90，或C=90
12、时，分别画出符合条件的图形，即可解答【详解】解：分三种情况讨论，当A=90，或B=90，或C=90如图 符合条件的格点C的个数是6个故选：D【考点】本题考查正多边形和圆的性质、直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是90等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键7、C【解析】【详解】如图，（1）当AB=时，AB与网格线相交所成的两个锐角：=45；（2）当AB=时，AB与网格线相交所成的锐角有2个不同的角度；综上所述，AB与网格线相交所成的锐角的不同角度有3个.故选C.8、A【解析】【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可【详解】解：A、如果a2=b2-c2，即b2=a2+c2，
13、那么ABC是直角三角形且B=90，选项错误，符合题意；B、如果A：B：C=1：2：3，由A+B+C=180，可得A=90，那么ABC是直角三角形，选项正确，不符合题意；C、如果a2：b2：c2=9：16：25，满足a2+b2=c2，那么ABC是直角三角形，选项正确，不符合题意；D、如果A-B=C，由A+B+C=180，可得A=90，那么ABC是直角三角形，选项正确，不符合题意；故选：A【考点】本题考查的是直角三角形的判定和勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形9、B【解析】【分析】根据垂线段最短可得PNOA时，PN最短，再根据角平
14、分线上的点到角的两边的距离相等可得PM=PN，再结合勾股定理求解即可【详解】解：当PNOA时，PN的值最小，OC平分AOB，PMOB，PM=PN，由勾股定理可知：PM=3，PN的最小值为3故选B【考点】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质及勾股定理，熟记性质是解题的关键10、A【解析】【分析】连接AC，利用勾股定理分别求出AB、AC、BC，根据勾股定理的逆定理得到ABC是等腰直角三角形，ACB=90，再根据三角形内角和定理得到答案【详解】连接AC，AC=BC，ABC是等腰直角三角形，ACB=90，ABC= (180-ACB)=45故选A【考点】本题考查了等腰三角
15、形，勾股定理的逆定理，解决问题的关键是作辅助线构建三角形，熟练掌握等腰三角形的定义和性质，熟练运用勾股定理的逆定理判断直角三角形二、填空题1、13【解析】【分析】将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知BC5尺，设水深ACx尺，则芦苇长（x+1）尺，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深【详解】解：设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺，在RtCAB中，AC2+BC2AB2，即x2+52（x+1）2，解得：x12，x+113，故芦苇长13尺，故答案为：13【考点】本题考查勾股定理，和列方程解决实际问题，能够在实际问题中找到直角三角形并应用勾股定理是解决本题的关键2、+24
16、【解析】【分析】连结BD，可求出BD=6，再根据勾股定理逆定理，得出BDC是直角三角形，两个三角形面积相加即可【详解】解：连结BD，BD=6，BD2=36，CD2=64，BC2=100，BD2+CD2=BC2，BDC=90，SABD=，SBDC=，四边形ABCD的面积是= SABD+ SBDC=+24故答案为：+24【考点】本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型3、#【解析】【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论【详解】解：由勾股定理得：AC=，SABC=34-12-32
17、-24=4，ACBD=4，2BD=4，BD=，故答案为：【考点】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键4、【解析】【分析】设，在中利用勾股定理求出x即可解决问题【详解】解：是的中点，由折叠的性质知：，设，则， 在中，根据勾股定理得：，即：，解得，故答案为：【考点】本题考查翻折变换、勾股定理，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会转化的思想，利用方程的去思考问题，属于中考常考题型5、2+2【解析】【分析】地毯的竖直的线段加起来等于BC，水平的线段相加正好等于AC，即地毯的总长度至少为（AC+BC）【详解】在RtABC中，A=30，BC=2m，C=90，AB=2BC=4
18、m，AC=m，AC+BC=2+2（m）.故答案为2+2.【考点】本题主要考查勾股定理的应用，解此题的关键在于准确理解题中地毯的长度为水平与竖直的线段的和.三、解答题1、尺【解析】【分析】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高，进而解答即可【详解】解：设门高为x尺，则竹竿长为（x+1）尺，根据勾股定理可得：x2+42（x+1）2，即x2+16x2+2x+1，解得：x7.5，门高7.5尺，竹竿高7.5+18.5（尺）故答案为尺【考点】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解题关键2、大樱桃批发市场E
19、应建在离A站20千米的地方【解析】【分析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方分别求出和，列等式求解即可【详解】解：设大樱桃批发市场E应建在离A站x千米的地方，则千米在直角中，根据勾股定理得：，在直角中，根据勾股定理得：，又C、D两村到E点的距离相等，所以，解得大樱桃批发市场E应建在离A站20千米的地方【考点】本题考查勾股定理的实际应用，掌握两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键3、证明见解析【解析】【分析】连接AC，根据四边形ABCD面积的两种不同表示形式，结合全等三角形的性质即可求解【详解】解：连接AC，ABEBCD，AB=BC，AE=BD，BE=CD，BAE=CBD，ABE+BA
20、E=90，ABE+CBE=90，ABC=90，S四边形ABCD=，又S四边形ABCD=，AB2=AE2+BDBE-BEDE，AB2=AE2+（BD-DE）BE，即AB2=BE2+AE2【考点】本题考查了勾股定理的证明，解题时，利用了全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质4、A（n2+1）2，Bn2+1，15，17；12，37【解析】【分析】先根据整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入即可解答【详解】A（n21）2+（2n）2n42n2+1+4n2n4+2n2+1（n2+1）2，AB2，B0，Bn2+1，当2n8时，n4，n2142115，n2+142+117；当n2135时，n
21、6（负值舍去），2n2612，n2+137直角三角形三边n212nB勾股数组15817勾股数组351237故答案为：15，17；12，37【考点】本题考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知ABC的三边满足a2+b2=c2，则ABC是直角三角形5、 (1)ABD，ACE，；(2)BD的长为；(3)4【解析】【分析】（1）根据SAS可证ABDACE，得出BDCE，利用勾股定理求出CE即可得出BD的长度；（2）作AHBC于点H，以AB为边在左侧作等边ABE，连接CE，求出BH，HC即BC的长度，再利用勾股定理即可求出CE的长度，由（1）知BDCE，据此得解；（3）作AHBC于点H，以AB为边在左
22、侧作等边ABE，延长EB至F，使BFEB，连接AF交BN于C，连接EC，此时BDAC有最小值即为AF，此时ABD周长AFAB最小，求出AF即可(1)解：ACD和ABE是等边三角形，EABDAC60，ADAC，EABBACDACBAC，即EACBAD，在ABD和AEC中，ABDACE（SAS），BDCE，AB4，MBN30，AC2，BC，BDCE，故答案为：ABD，ACE，；(2)解：如下图，作AHBC于点H，以AB为边在左侧作等边ABE，连接CE，AB4，MAN30，AH2，BH，AC，HC ，BCBHHC，CE，由（1）可知BDCE，此时BD的长为；(3)解：如图，以AB为边在左侧作等边ABE，延长EB至F，使BFEB，连接AF交BN于C，连接EC， ECFCBD，此时BDAC有最小值即为AF，此时ABD周长ADBD+ABAFAB最小，作AGBE于G，AGBN，BAG30，BGAB2，AG，GFBGBF246，由勾股定理得AF，此时ABD周长为：4【考点】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键
