1、数学（理）试卷一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合，则A. B. C. D. 2. 已知函数，则A. 是奇函数，且在R上是增函数B. 是偶函数，且在R上是增函数C. 是奇函数，且在R上是减函数D. 是偶函数，且在R上是减函数3. 若函数在上是单调函数，则a的取值范围是A. B. C. D. 4. 若将函数的图象向左平移个单位，所得的图象关于y轴对称，则的最小值是A. B. C. D. 5. 已知函数，且，则 A. B. C. D. 6. 若，则A. B. C. D. 7. 已知命题p：对任意，总有；q：“”是“”的
2、充分不必要条件，在下列命题为真命题的是()A. B. C. D. 8. 若，则的值为A. B. C. D. 9. 已知向量，向量则的最大值，最小值分别是A. ，0B. 4，C. 16，0D. 4，010. 已知函数，且在上的最大值为，则实数a的值为A. B. 1C. D. 211. 已知函数是奇函数，其中，则函数的图象A. 关于点对称B. 关于轴对称C. 可由函数的图象向右平移个单位得到D. 可由函数的图象向左平移个单位得到12. 设函数在R上存在导函数，对于任意的实数x，都有，当时，若，则实数m的取值范围是A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13. “”是
3、“”的_条件填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”14. _15. 曲线上任一点P到直线的距离的最小值为_16. 定义在R 上的函数满足，当时，则函数在上的零点个数是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17. 12分已知函数求函数的对称中心；求在上的单调区间18. （12分的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知求；若，的面积为2，求b12分如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，点E在BC上，求证：平面平面PAC；若直线PE与平面PA
4、C所成的角的正弦值为，求二面角的余弦值20.12分已知函数为自然对数的底数当时，试求的单调区间；若函数在上有三个不同的极值点，求实数a的取值范围21.12分已知函数当函数在点处的切线方程为，求函数的解析式；在的条件下，若是函数的零点，且，求n的值；当时，函数有两个零点，且，求证： （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22（10）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为为参数，曲线的极坐标方程为求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；设P为曲线上一点，Q曲线上一点，求的最小值23（10分
5、已知函数 当时，求不等式的解集； 设关于x的不等式的解集为M，且，求a的取值范 围.数学（理）试卷【答案】1. A2. A3. B4. C5. C6. C7. A8. A9. D10. B11. B12. A13. 充分不必要14. 15. 16. 60517. 解：函数化简可得：令，得，故所求对称中心为令，解得又由于，故所求单调增区间为令，解得又由于，故所求单调减区间为18. 解：，；由可知，19. 证明：平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则0，2，1，4，设0，则4，0，平面PAC，平面PED，平面平面
6、PAC解：由知平面PAC的一个法向量为，直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，1，解得，即0，设平面PCD的一个法向量为y，2，取，得，二面角的平面角是锐角，二面角的余弦值为20. 解：易知，函数的定义域为，当时，对于，恒成立，所以若，若，所以单调增区间为，单调减区间为；由条件可知在上有三个不同的根，即在有两个不同的根，令，时单调递增，时单调递减，21. 解：，所以，函数的解析式为；分 ，因为函数的定义域为，令，当时，单调递减，当时， 0/，函数单调递增，且函数至少有1个零点，而，不符合要求，故分 当时，函数，两式相减可得：分 ，因为，所以， 设，所以在上为增函数，且，又，所以 分22. 解
7、：由消去参数，得曲线的普通方程为由得，曲线的直角坐标方程为设，则点P到曲线的距离为当时，d有最小值，所以的最小值为23. 解：当时，即或或解得或或，所以或或所以原不等式的解集为因为，所以当时，不等式恒成立，即在上恒成立，当时，即，所以，所以在上恒成立，所以，即；当时，即，即，所以在上恒成立，所以，即；综上，a的取值范围为【解析】1. 【分析】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用先分别求出集合A和B，再求出和，由此能求出结果【解答】集合，故A正确，D错误；，故B和C都错误故选A2. 解：，即函数为奇函数，又由函数为增函数，为减函数，故函数为增函数
8、，故选：A由已知得，即函数为奇函数，由函数为增函数，为减函数，结合“增”“减”“增”可得答案本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题3. 【分析】本题考查求导公式和法则，导数与函数单调性的关系，以及恒成立问题的转化，考查分离常数法，整体思想、分类讨论思想，属于中档题由求导公式和法则求出，由条件和导数与函数单调性的关系分类讨论，分别列出不等式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a的取值范围【解答】解：由题意得，因为在上是单调函数，所以或在上恒成立，当时，则在上恒成立，即，设，因为，所以，当时，取到最大值
9、是：0，所以，当时，则在上恒成立，即，设，因为，所以，当时，取到最小值是：，所以，综上可得，或，所以实数a的取值范围是，故选B4. 解：函数图象向左平移可得：图象关于y轴对称，即 解得：，当时，的值最小值为故选C将化简只有一个函数名，通过变换后图象关于y轴对称建立关系，可得的最小值本题主要考查了函数的图象变换规律，属于基础题5. 【分析】本题考查了分段函数由函数值求自变量的问题，注意分段讨论，本题分为两段，每一段要注意前提条件，即本段函数的定义域，最后加以整合。【解答】解：已知函数，方程无解，解得，则故选A6. 解：，故选：C，可得，因此，即可得出本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推
10、理能力与计算能力，属于基础题7. 【分析】本题主要考查命题真假性的判断，以及复合命题真假性的判定，属于基础题目先判断命题p，q的真假，再判断复合命题的真假【解答】解：对于命题p：因为恒成立，故命题p正确对于“”是“”的必要不充分条件，故命题q不是真命题，所以是真命题故选A8. 【分析】本题考查了余弦二倍角公式与诱导公式的应用问题，是基础题利用二倍角公式求出的值，再利用诱导公式求出的值【解答】解：，故选A9. 解：，最大值为4，最小值为0故选：D先表示，再求其模，然后可求它的最值本题考查平面向量数量积的运算，三角函数的最值，是中档题10. 解：由已知得，对于任意的，有，当时，不合题意；当时，从而
11、在单调递减，又函数在上图象是连续不断的，故函数在上的最大值为，不合题意；当时，从而在单调递增，又函数在上图象是连续不断的，故函数在上的最大值为，解得，故选：B 由题意，可借助导数研究函数在上的单调性，确定出最值，令最值等于，即可得到关于a的方程，由于a的符号对函数的最值有影响，故可以对a的取值范围进行讨论，分类求解本题考察了利用导函数研究其单调性和函数的最值问题，需要分类讨论属于中档题11. 【分析】利用三角函数的奇偶性求得，再利用三角函数的图象对称性、函数的图象变换规律，判断各个选项是否正确，从而得出结论本题主要考查三角函数的奇偶性、对称性，函数的图象变换规律，属于中档题【解答】解：函数是奇
12、函数，其中，是奇函数，则函数，令，求得，可得的对称轴为，故A不正确，B正确，根据函数，故把函数的图象向右平移个单位，可得的图象，故C、D均不正确故选B12. 解：，设，则，函数为奇函数时，故函数在上是减函数，故函数在上也是减函数，若，则，即，解得：，故选：A利用构造法设，推出为奇函数，判断的单调性，然后推出不等式得到结果本题考查函数奇偶性、单调性、导数的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，难度比较大13. 【分析】此题主要考查不等式的基本性质和充分必要条件，是一道基础题【解答】解：由题意得，解得，“”是“”的充分不必要条件，故答案为充分不必要14. 【分析】本题主要考查了定积分的计算【解答】
13、解：因为，所以，而表示以原点为圆心，半径为1的圆的，其面积为所以，故答案为15. 【分析】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线问题和点到直线的距离公式的应用【解答】解：点P是曲线上任意一点，当过点P的切线和直线平行时，点P到直线的距离最小直线的斜率等于1，令，得方程，解得舍去或，故曲线上和直线平行的切线经过的切点坐标，点到直线的距离等于，故点P到直线的最小距离为故答案为16. 【分析】 本题考查抽象函数及其应用，求得函数的周期为10，且一个周期内函数有三个零点是关键由，可得为周期为10的函数，根据函数图象，当时，有三个零点，从而可得结果【解答】解：，两式相减得，为周期为10的函数，时，令得
14、：x，在同一坐标系中作出与的图象如下，由图知：当时，函数有3个零点轴右侧的两个零点为2和，当时，函数单调递减，即无零点，综上：函数在一个周期内有三个零点，在区间在上有201个完整周期，这201个周期内共603个零点，在内有2个零点，函数在上共有605个零点故答案为 17. 将函数利用二倍角和辅助角化简，结合三角函数的性质可求函数的对称中心；求出的单调增加区间，与求交集，可得答案本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键18. 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公
15、式化简，利用降幂公式化简，结合，求出；由可知，利用面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求出b19. 以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面平面PAC求出平面PAC的一个法向量和平面PCD的一个法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用20. 求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；做题转化为在有两个不同的根，且，令，根据函数的单调性求出a的范围即可本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中
16、档题21. 求出函数的导数，解关于a，b的方程组，求出a，b的值，从而求出函数的解析式即可；求出函数的导数，得到函数的单调区间，计算函数值，求出n的值即可；将代入，通过作差法和换元法结合函数的单调性证明即可本题考查了曲线的切线方程问题，函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及换元思想的应用，是一道综合题22. 由消去参数，得曲线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化方法，得到曲线的直角坐标方程；设，利用点到直线的距离公式，即可求的最小值本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题23. 将代入，根据零点分段法去掉绝对值，分别解出不等式再合并；不等式的解集为M，且，即不等式在上恒成立，根据零点分段去掉绝对值，分离参变量并求出最值，可得a的取值范围本题考查零点分段法解绝对值不等式以及含绝对值的恒成立问题，属于中档题
