1、第二章实数复习教案 教学目标 知识与技能:1.掌握平方根和立方根的概念,并能求出某些数的平方根和立方根.2.掌握估算的方法,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值.3.掌握实数的概念和意义,理解实数的分类,并能运用运算律进行实数的相关运算.4.了解二次根式、最简二次根式的概念,了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关的简单四则运算.过程与方法:1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程,理解实数.2.经历数系扩充、探求实数性质及其运算规律、借助计算器探索数学规律等活动过程.3.了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应,能
2、求实数的相反数与绝对值.4.了解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值.情感态度与价值观:1.发展抽象概括能力,并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.2.能运用实数的运算解决简单的实际问题,提高应用意识,发展解决问题的能力,从中体会数学的应用价值.教学重难点【重点】1.实数的概念和意义.2.会用计算器求平方根和立方根,并能探索一些有趣的数学规律.3.能对带根号的数进行化简,并能利用化简进行有关实数的简单四则运算.4.能运用实数的运算解决简单的实际问题.【难点】1.无理数概念的理解及应用.2.解决与实数有关的实际问题时的思维转化.3.运
3、算性质的掌握与应用.知识总结 实数分为:实数分类 有理数 整数分数无理数 正无理数负无理数平方根 定义 如果一个数 的平方等于 即 那么这个数 叫做 的平方根表示 若 则 算术平方根 若 则 的算术平方根为 立方根 定义 如果一个数 的立方等于 即 那么这个数 叫做 的立方根表示 若 则 二次根式 定义 形如 的式子叫做二次根式最简二次根式 被开方数不含分母 也不含能开得尽方的因数或因式重要性质 积、商的算术平方根的性质及二次根式的乘、除法法则 专题讲座:专题一 实数的相关概念、性质和运算【专题分析】有理数和无理数统称为实数,在有理数范围内的运算法则和运算律,以及倒数、绝对值、相反数等在实数范
4、围内仍然成立,明确平方根和立方根的含义.无理数和有理数一样,是初中数学学习乃至今后进一步学习的基础.实数是中学数学的重要基础,很多数学问题都是借助实数解决的,在中考中占有重要的地位.下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?,3.14159265,-,-1,-,3.1010010001(相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1).解析 整数和分数统称为有理数,无限不循环小数是无理数.解:3.14159265,-是有理数.,-,-1,3.1010010001(相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1)是无理数.知识总结 此题考查有理数和无理数的概念.整数和分数统称为有理数,这是有理数的判断方法.无
5、理数是无限不循环小数,这是无理数的判断方法.而无限不循环小数主要有以下几种:开方开不尽的方根;含的数;是无限小数且不循环.易错提示(-)2=5,是有理数,不是无理数.【针对训练 1】下列各数-,-,()2中,是无理数的是 .解析 根据无理数的定义判断.故填 ,.解题策略 判断是不是无理数时,不要只看表面形式,如-=-0.1,()2=2 都是有理数.计算.(1)-;(2)5 -9 .解析 本题主要考查实数的运算法则及二次根式的化简.解:(1)-2 =-.(2)5 -9 =5 -9 =10-9 +2=10-3+2=9.【针对训练 2】(1)已知 a,b 满足-+|b+3|=0,求(a+b)2019
6、的值;(2)已知 y=-2-+3,求 xy的值.解:(1)-0,|b+3|0,且-+|b+3|=0,-=0,|b+3|=0,a=2,b=-3,(a+b)2019=(2-3)2019=(-1)2019=-1.(2)2x-40,4-2x0,2x-4=4-2x=0,x=2,y=0-0+3=3,xy=23=8.解题策略 运用算术平方根的双重非负性解决此题,这也是本章的难点之一.【针对训练 3】已知ABC 中,AB=17,AC=10,BC 边上的高 AD=8,则边 BC 的长为多少?解析 分ABC 是锐角三角形和钝角三角形两种情况.解:如图(1)所示,当ABC 为锐角三角形时,易求 BD=15,DC=6
7、,从而求得 BC=15+6=21.如图(2)所示,当ABC 为钝角三角形时,易求BD=15,DC=6,从而求得 BC=15-6=9.知识总结 此题是关于运用实数相关知识解决三角形中线段长度的问题.其易错点是ABC 的形状有两种情况,学生容易忽略钝角三角形的情况.通过此题意在提高学生运用分类讨论的思想解决数学问题的能力.专题二 与二次根式有关的规律探究题【专题分析】二次根式在形式上有自己的特殊性,由于这种规律性,出题往往根据它来设计题目.在近年的中考中,逐渐关注此类的规律探索题.在解决此类题目时,通过已知条件,找准式子和序号之间的关系,从而确定二次根式的规律.1,按如图所示的方式排列.若规定(m
8、,n)表示第 m 排从左到右第 n 个数,则(4,2)与(21,2)表示的两数之积是()A.1 B.2 C.2 D.6 解析 若将上述数阵从左到右,从上到下排成一排,得到由1,这四个数循环排列的数列,那么(m,n)是第 -+n=-+n 个数,即(4,2)是第 -+2=8 个数,84=2,故(4,2)表示的数是 .(21,2)是第 -+2=212 个数,2124=53,所以(21,2)表示的数是,所以(4,2)与(21,2)表示的两数之积是 6.故选 D.【针对训练 4】观察下列各式及其验证过程,然后回答后面的问题.=2 ,验证:=2 ;=3 ,验证:=3 .(1)按照上述两个等式及其验证过程,
9、猜想 的变形结果并进行验证;(2)针对上述各式反映的规律,写出用 a(a 为任意自然数,且 a2)表示的等式,并给出验证.解析(1)通过观察,不难发现:等式左边的被开方数是两个数相加,两个加数分别是右边根号外的数和根号内的数.(2)根据上述变形过程的规律,即可推广到一般.表示等式时,注意等式右边根号外的数和根号内的分子相同,根号内的分母是分子的平方减去 1.解:(1)=4 .验证如下:=4 .(2)-=n -.验证如下:-=n -.阅读材料:小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如 3+2=(1+)2,善于思考的小明进行了以下探索:设 a+b=(m+n)2(其中
10、a,b,m,n 均为正整数),则有a+b=m2+2n2+2mn a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分形如 a+b 的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:(1)当 a,b,m,n 均为正整数时,若 a+b=(m+n)2,用含 m,n 的式子分别表示 a,b,则 a=,b=;(2)利用所探索的结论,找一组正整数 a,b,m,n 填空:+=(+)2;(3)已知 a+4=(m+n)2,且 a,m,n 均为正整数,求 a 的值.解析(1)根据完全平方公式运算法则,即可得出 a,b 的表达式.a+b a+b=m2+3n2+2mn a=m2+3n2,b=2mn.(
11、2)首先确定好m,n 的正整数值,然后根据(1)的结论即可求出 a,b 的值.设 m=1,n=1,则 a=m2+3n2=4,b=2mn=2.(3)根据题意,4=2mn,首先确定 m,n 的值,通过分析得 m=2,n=1 或 m=1,n=2,然后即可确定 a 的值.解:(1)m2+3n2 2mn(2)4 2 1 1(3)由题意,得 a=m2+3n2,b=2mn,4=2mn,且 m,n 为正整数,m=2,n=1 或 m=1,n=2,a=22+312=7 或 a=12+322=13.【针对训练 5】研究下列算式,你发现有什么规律?=2;=3;=4;=5 请你找出规律,并用含字母的等式表示出来.解:=
12、n+1(n 为正整数).【针对训练 6】先观察下列等式,再回答下列问题:=1+-=1 ;=1+-=1 ;=1+-=1 .(1)请你根据上面三个等式提供的信息,猜想 的结果,并验证;(2)请你按照上面各等式反映的规律,试写出用含 n 的式子表示上面规律的等式(n 为正整数).解:(1)=1+-=1 .验证:=1 .(2)=1+-=1+(n 为正整数).方法归纳 找准式子和序号之间的关系特别重要,关于二次根式的规律探究,可以从式子本身的特征出发,根据每个式子与式子序号之间的关系来确定.专题三 实数与数轴【专题分析】数轴上的点和实数是一一对应的,当然通过数轴还能比较数的大小.数轴上的点可以表示实数,
13、每一个实数都能在数轴上找到一个点和它对应.如图所示,直径为 1 个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周(不滑动),圆上的一点由原点到达点 O,点 O所对应的数值是 .解析 圆的周长为2r,将r=0.5代入,得周长为.故填.【针对训练 7】若 =-a,则实数 a 在数轴上的对应点一定在()A.原点左侧 B.原点右侧 C.原点或原点左侧 D.原点或原点右侧 解析 当 a0 时,=-a.故选 C.【针对训练 8】实数 a,b 在数轴上的位置如图所示,化简|a-|+|b-|.解析 由数轴可知 1a2,-1b0.解:原式=-a+-b=-a-b.方法归纳 数轴上的点和实数是一一对应的,当然通过数轴还能比较数的大小.
