1、第课时 多边形与平行四边形 能识别多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等,掌握多边形的内角和与外角和公式懂得两条平行线间的距离,了解四边形的不稳定性,掌握平行四边形的概念、性质和判定,能运用平行四边形的性质和判定进行有关计算和证明理解三角形中位线的概念及性质n边形的内角和等于 ,任意多边形的外角和等于 平行四边形()定义:的四边形是平行四边形()性 质:平 行 四 边 形 的 两 组 对 边 ,对 角 ,对角线 四边形 ABCD 是平行四边形AB ,AD ;ABC ,DAB ;OA ,OB ()判定:除平行四边形定义外,还有两组对边分别 的四边形是平行四边形一组对边 的四边形是平行四边形两组对
2、角分别 的四边形是平行四边形对角线 的四边形是平行四边形若 AB ,AD 或 AB ,AD 或 AB 或 AD 或ABC ,DAB 或OA ,OB 四边形 ABCD 是平行四边形两条平行线间的距离两条平行线中,一 条 直 线 上 任 意 一 点 到 的 距 离,叫做两 条 平 行 线 间 的 距 离两 条 平 行 线 间 的 距 离 处 处 三角形的中位线连接三角形两边 的线段三角形中位线 第三边,并且等于第三边的 考点 多边形的内角和与外角和例 ()(江苏无锡)若一个多边形的内角和为,则这个多边形的边数为()ABCD()(广东肇庆)一个多边形的内角和与外角和相等,则这个多边形是()A四边形B
3、五边形C六边形D八边形【解析】第()题设这个多边形的边数为n,由n 边形的内角和等于(n),即可得方程(n),解此方程即可求得答案n第()题设此多边形是n边形,由多边形的外角和为,即可得方程(n),解此方程即可求得答案n故这个多边形是四边形【全解】()C()A【提醒】第()题考查了 多 边 形 的 内 角 和 公 式,第()题考查了多边形的内角和与外角和的知识均比较简单,解题时注意多边形的外角和为,n 边形的内 角 和 为(n)以及方程思想的应用考点 平行四边形的性质和判定例 (江 苏 无 锡)如 图,在 ABCD 中,点 E 在边BC 上,点F 在BC 的延长线上,且 BECF求证:BAEC
4、DF【解析】首先根据平行四边形的性质可得 ABDC,ABDC,再根据平行线的性质可 得 B DCF,即 可 证 明 ABE DCF,再根据全等三角形性质可得到结论【全解】四边形 ABCD 是平行四边形,ABDC,ABDC BDCF在ABE 和DCF 中,空间与图形 ABDC,BDCF,BECF,ABEDCF(SAS)BAECDF【提醒】此题 主 要 考 查 了 平 行 四 边 形 的 性 质,全 等 三 角形的判定与性质,关键是找到证明ABEDCF 的条件例 (辽宁沈阳)如图,在ABCD 中,延长 DA到点E,延长BC 到点F,使得AECF,连接EF,分别交AB、CD 于点 M、N,连接 DM
5、、BN求证:()AEMCFN;()四边形BMDN 是平行四边形【解析】()先根据平行四边形的性质可得出 ADBC,DABBCD,再根据平行线的性质及补角的性质得出EF,EAMFCN,从而利用 ASA 可作出证明;()根据平行四边形的性质及()的结论可得 BMDN,则由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明【全解】()四边形 ABCD 是平行四边形,DABBCD EAMFCN又 ADBC,EF在AEM 与CFN 中,EAMFCN,AECF,EF,AEMCFN()四边形 ABCD 是平行四边形,ABCD又 由(),得 AMCN,BMDN 四边形BMDN 是平行四边形【提醒】本题 考 查
6、了 平 行 四 边 形 的 判 定 及 性 质,全 等 三角形的判定,属于基础题,比较简单考点 三角形中位线定理例 ()(浙江台州)如图(),点 D、E、F 分别为ABC 三边的中点,若DEF 的周长为,则ABC 的周长为()ABCD()()()(山东烟台)如图()是跷跷板示意图,横板AB 绕中点O 上下转动,立柱OC 与地面垂直,设点B 的最大高度为h若将横板AB 换成横板AB,且ABAB,O 仍为AB的中点,设点B的最大高度为h,则下列结论正确的是()AhhBhhChhDh h【解析】()因为 D、E、F 分别为ABC 三边的中点,所以 DE、DF、EF 都是ABC 的中位线,根据中位线定
7、理可得 BCDF,ACDE,ABEF,故 ABC 的 周 长 ABBCAC(DFFEDE)()()本题是三角形中位线定理的应用如图()所示:因为O 为AB的中点,OCAD,BDAD,所以OCBD,从而知道OC 是ABD 的中位线,得到hOC,同理,当将横板 AB 换成横板AB,且 ABAB,O 仍为AB的中点,设B点的最大高度为h,则hOC,所以hh【全解】()C()C【提醒】此题 考 查 了 三 角 形 的 中 位 线 定 理,解 答 本 题 的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半例 (黑 龙 江)如 图,在 四 边 形 ABCD 中,点 P是对角线BD 的中点,点 E
8、、F 分别 是AB、CD 的 中 点,ADBC,PEF,则PFE 的度数是()ABCD【解析】根 据 中 位 线 定 理 和 已 知,易 证 明 EPF 是 等 腰 三 角形从而求出PFE 的度数具体过程如下:在四边形 ABCD 中,P 是 对 角 线 BD 的 中 点,E、F 分 别 是AB、CD 的中点,FP、PE 分别是CDB 与DAB 的中位线 PF BC,PE AD ADBC,PFPE故EPF 是等腰三角形 PEF,PEFPFE【全解】D【小结】()本题 考 查 了 三 角 形 中 位 线 定 理 及 等 腰 三 角形的性质,解题时要善于根据已知信息,确定应用的知识()三角形中位线与
9、中线有着本质的区别,中位线性质反映了中位线与第三边位置和数量的两种关系,其用途比较广泛,又因为中位线具有平移、倍分转化的功能,因此当遇到中点三角形中线时,常作中位线(广西玉林)正六边形的每个内角都是()ABCD(福建南平)正多边形的一个外角等于,则这个 多边形的边数为()ABCD(福建南平)一个三角形的周长是,则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是()ABCD(福建厦门)五边形的内角和的度数是 (福建泉州)n边形的内角和为,则n (江苏南京)如图,、是五边形ABCDE的 个 外 角若 A,则 (第题)(第题)(湖南怀化)如图,在ABCD 中,AD,点E、F 分别是BD、CD 的中点,则E
10、F (浙江衢州)如图,在平行四边形 ABCD 中,E、F 是对角线BD 上的两点,且 BEDF,连接 AE、CF请你猜想:AE 与CF 有怎样的数量关系?并对你的猜想加以证明(第题)(浙江湖州)如 图,在 ABCD 中,点 F 在AB 的 延 长线上,且BFAB,连接FD,交BC 于点E()说明DCEFBE 的理由;()若EC,求 AD 的长(第题)(江苏泰州)如图,在四边形 ABCD 中,ADBC,AEAD 交 BD 于 点 E,CFBC 交 BD 于 点 F,且 AECF求证:四边形 ABCD 是平行四边形(第题)【基础达标】(北京)正十边形的每个外角等于()ABCD(山东泰安)如图,AB
11、CD,E、F 分别为AC、BD 的中点,若 AB,CD,则EF 的长是()ABCD(第题)(第题)(山东泰安)如图,在平行四边形 ABCD 中,过点 C 的直线CEAB,垂 足 为 E,若 EAD,则 BCE 的 度数为()ABCD 空间与图形 (四川巴中)不能判定一个四边形是平行四 边 形 的 条件是()A两组对边分别平行B一组对边平行另一组对边相等C一组对边平行且相等D两组对边分别相等(广东梅州)正六边形的内角和度数为 (浙江义乌)正n边形的一个外角的度数为,则n的值为 (山 东 烟 台)如 图 为 年 伦 敦 奥 运 会 纪 念 币 的 图案,其形状近似 看 作 为 正 七 边 形,则
12、一 个 内 角 为 度(不取近似值)(第题)(四川德阳)已知一个多边形的内角和是外角和的 ,则这个多边形的边数是 (辽宁大连)如图,在ABCD 中,点E、F 分别在 AD、BC上,且EDBF,EF 与AC 相交于点O,求证:OAOC(第题)(广东)如图,在四边形 ABCD 中,ABCD,对角线AC、BD 相交于点O,BODO求证:四边形 ABCD 是平行四边形(第题)【综合拓展】(辽宁阜新)如图,四边形 ABCD 是 平 行 四 边 形,BE平分ABC,CF 平分BCD,BE、CF 交于点G若使 EF AD,则平行四边形 ABCD 应满足的条件是()(第题)AABCBABBCCABBCDABB
13、C(广东湛江)如 图,在 平 行 四 边 形 ABCD 中,点 E、F分别在边AD、BC 上,且 AECF求证:()ABECDF;()四边形BFDE 是平行四边形(第题)第课时 多边形与平行四边形【自主梳理】(n)()两组对边分别平行()平行且相等 相等 互相平分CD BC CDA BCD OC AC OD BD()相等 平行且相等 相等 互相平分CD BC CD BC CD BC CDA BCD OCOD另一条直线 相等中点 平行于 一半【当堂过关】D C C 猜想:AECF 四边形 ABCD 是平行四边形,ABCD,ABCD ABECDF在ABE 和CDF 中,ABCD,ABECDF,BE
14、DF,ABECDF(SAS)AECF()四边形 ABCD 是平行四边形,ABDC,ABDC CDEF又 BFAB,DCFB在DCE 和FBE 中,CDEF,CEDBEF,DCFB,DCEFBE(AAS)()DCEFBE,EBEC EC,BCEB 四边形 ABCD 是平行四边形,ADBC AD AEAD,CFBC,EADCFB AECF AEDCFB在 RtAED 和 RtCFB 中,EADCFB,AEDCFB,AECF,RtAEDRtCFB ADBC ADBC,四边形 ABCD 是平行四边形【课后精练】B D B B 四边形 ABCD 是平行四边形,ADCB,AEOCFO,FCOEAO又 EDBF,ADEDBCBF,即 AECF在AEO 和CFO 中,AECF,AEOCFO,FCOEAO,AEOCFO OAOC ABCD,ABOCDO在ABO 与CDO 中,ABO CDO,BO DO,AOB DOC,ABOCDO ABCD 四边形 ABCD 是平行四边形D()四边形 ABCD 是平行四边形,AC,ABCD在ABE 和CDF 中,ABCD,AC,AECF,ABECDF(SAS)()四边形 ABCD 是平行四边形,ADBC,ADBC AECF,ADAEBCCF即 DEBF 四边形BFDE 是平行四边形
