1、第课时 特殊三角形 掌握等腰三角形、等边三角形的性质和判定,并会进行有关计算和证明掌握直角三角形的性质和判定,掌握勾股定理及逆定理,并会进行有关计算和证明等腰三角形()性质:等腰三 角 形 的 两 个 底 角 (简 称“等 边 对等角”)等腰三 角 形 、与 互 相 重 合(简称“三线合一”)等腰三角形和等边三角形都是 对称图形等边三角形的三条边 、三个角 ,都是 ()判定:有两个角相等的三角形是 三角形(简称“等角对等边”)三个角相等的三角形是 三角形有一个角等于 度的等腰三角形是等边三角形直角三角形直角三角形的两个锐角 直角三角形中,角所对的直角边等于斜边的 直角三角形斜边上的中线等于斜边
2、的 直角三角形两条直角边的平方和等于 的平方(即“勾股定理”)如果三角形的三边长a,b,c满足 (c最长),那么这个三角形是直角三角形考点 等腰(或等边)三角形的性质和判定例 ()(江西)等腰三角形的顶角为,则它的底角是()ABCD()(山东滨州)如图,在ABC 中,ABADDC,BAD,则C 【解析】()等腰三角形的一个顶角为,底角()()因为 ABAD,BAD,根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理,有B(BAD)(),根据三角形外角的性质,有ADCBBAD,由 ADDC,得C(ADC)()【全解】()B()【提醒】本题 是 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质、三 角 形 的 内 角和
3、定理、三角形外角的性质求度数的问题例 ()(福建泉州)如图(),在ABC 中,ABAC,BC,ADBC 于点D,则BD ()()()(江苏海南)如图(),在ABC 中,B 与C 的平分线交于点O,过点O 作DEBC,分别交AB、AC 于点D、E若 AB,AC,则ADE 的周长是 【解析】()直接根据等腰三角形“三线合一”的性质进行解答即可 在ABC 中,ABAC,BC,ADBC 于点D,BD BC ()由在ABC 中,B 与C 的平分线交于点O,过点 O 作DEBC,易证得DOB 与EOC 是等腰三角形,即 DODB,EOEC,继而可得ADE 的周长等于ABAC,即可求得答案具体过程是:在AB
4、C 中,B 与C 的平分线交于点O,DBOCBO,ECOBCO DEBC,DOBCBO,EOCBCO DBODOB,ECOEOC ODBD,OECE AB,AC,ADE 的周长为:ADDEAEADDOEOAEADDBECAEABAC【全解】()()【提醒】本题考查的是等腰三角形的性质第()题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质此题难度适中,证得DOB 与EOC 是等腰三角形是解此题的关键,注意掌握数形结合思想与转化思想的应用考点 直角三角形的性质例 ()(河北)如图(),AB、CD 相交于点O,ACCD 于点C,若BOD,则A ()()空间与图形 ()()(浙江湖州)如
5、图(),在 RtABC 中,ACB,AB,CD 是AB 边上的中线,则CD 的长是()ABCD()(广东梅州)如图(),AOEBOE,EFOB,ECOB,若EC,则EF 【解析】()利用对顶角相等得到AOC 的度数,然后利用 直角三角形两锐角互余求得A 即可具体过程是:BOD,AOC ACCD 于点C,AAOC()在 RtABC 中,ACB,AB,CD 是AB 边上的中线,CD AB()作EGOA 于点G,根据角平分线的性质得到 EG 的长度,再根据平行线的性质得到OEFCOE,然后利用 三 角 形 的 外角和内角的关系求出EFG,利用角所对的直角边是斜边的一半解题具体过程是:作EGOA 于点
6、G,EFOB,OEFCOE AOE,EFG EGCE,EF【全解】()()C()【提醒】第()题考 查 了 直 角 三 角 形 的 性 质 及 对 顶 角 的性质,解题的关键是知道直角三角形两锐角互余第()题考查了直角三角形斜边上的中线的性质,在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半(即直角三角形的外心位于斜边的中点)第()题考查了角平分线的性质和含角的直角三角形,有一定的综合性考点 勾股定理及逆定理例 ()(湖南怀化)等腰三角形的底边长为,底边上的中线长为,它的腰长为()ABCD()(广西)已知三组数据:,;,;,分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长,构成直角三角形的有()ABCD【解
7、析】()根据等腰三角形的性质可知BC 上的中线AD 同时是BC 上的高线,根据勾股定理求出 AB 的长即可具体过程是:在等腰三角形 ABC 中,ABAC,AD 是BC 上的中线,BDCD BC,AD 同时是BC 上的高线 ABADBD()根据勾股定理的逆定理,只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断,以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形,故不符合题意;,以这三个数为长度的线段能构成直角三角形,故符合题意;(),以这三个数为长度的线段能构成直角三角形,故符合题意故构成直角三角形的有【全解】()C()D【提醒】第()题考查勾股定
8、理及等腰三角形的性质,解题关键是得出中线 AD 是BC 上的高线,难度适中第()题主要考查了勾股定理的逆定理,已知三条线段的长,判断是否能构成直角三角形的三边,判断的方法是:判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断考点 等腰三角形和全等三角形的综合运用例 (广 东 肇 庆)如 图,已 知 ACBC,BDAD,AC 与BD 交于点O,ACBD求证:()BCAD;()OAB 是等腰三角形【解析】()根据 ACBC,BDAD,得出ABC 与BAD 是直角三角形,再根据 ACBD,ABBA,得出 ABC BAD,即可证出BCAD()根据ABCBAD,得出CABDBA,从而证出 OAOB,O
9、AB 是等腰三角形【全解】()ACBC,BDAD,ABC 与BAD 是直角三角形在ABC 和BAD 中,ACBD,ABBA,ACBADB,ABCBAD BCAD()ABCBAD,CABDBA OAOB OAB 是等腰三角形【提醒】本 题 用 到 的 知 识 点 是 全 等 三 角 形 的 判 定 及 性质、等腰三角形的判定等,全等三角形的判定是重点例 (江苏常州)如图,在ABC 中,ABAC,AD 平分BAC求证:DBCDCB【解析】利用SAS证得ACDABD,从而证得 BDCD,利用等边对等角证得结论即可【全解】AD 平分BAC,BADCAD 在ACD 和ABD 中,ABAC,BADCAD,
10、ADAD,ACDABD BDCD DBCDCB【提醒】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质特 别 是 在 应 用 SAS进 行 判 定 三 角 形 全 等 时,角应为两边的夹角解答此题也 可 以 利 用 等 腰 三 角 形“三 线合一”的性质来证明相关三角形的全等(黑龙江佳木斯)如图,在ABC 中,ABAC,BC,AD 平分BAC 交BC 于点D,点E 为AC 的中点,连接 DE,则CDE 的周长为()(第题)A B C D(广东广州)在 RtABC 中,C,AC,BC,则点C 到AB 的距离是()ABCD(甘肃白银)如图,在ABC 中,ACBC,ABC 的外角ACE,则A (
11、第题)(第题)(江苏淮安)如图,在ABC 中,ABAC,ADBC,垂足为 D,若BAC,则BAD (湖南益阳)如图,已知 AEBC,AE 平分DAC求证:ABAC(第题)(广西 南 宁)如 图 所 示,BAC ABD,ACBD,点O 是AD、BC 的交点,E 是AB 的中点()图中有哪几对全等三角形?请写出来;()试判断OE 和AB 的位置关系,并给予证明(第题)【基础达标】(浙江宁波)勾股定理是几何中的一个重要定理在我国古算书周髀算经中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载如图()是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理图()是由图()放入矩形内得到的,BAC,AB
12、,AC,点 D、E、F、G、H、I 都 在 矩 形KLMJ的边上,则矩形 KLMJ的面积为()()()(第题)ABCD(贵州毕节)如图,在 RtABC 中,A,DE 垂直平分斜边AC,交 AB 于点D,E 是垂足,连接CD,若 BD,则 AC 的长是()(第题)A BC D(四川广元)已知等腰三角形的一个内角为,则 另两个角的度数是 空间与图形 (浙江宁波)如图,AEBD,C 是BD 上的点,且 ABBC,ACD,则EAB (第题)(浙 江 绍 兴)小 明 和 同 桌 小 聪 在 课 后 复 习 时,对 课 本“目标与评定”中的一道思考题,进行了认真的探索【思考题】如图,一架米长的梯子 AB
13、斜靠在竖直的墙AC 上,这时B 到墙C 的距离为米,如果梯子的顶端沿墙下滑米,那么点B 将向外移动多少米?(第题)()请你将小明对“思考题”的解答补充完整:解:设点B 将向外移动x 米,即BBx,则BCx,ACACAA 而 AB,在 RtABC 中,由 BC AC AB,得 方 程 ,解方程得x ,x ,点B 将向外移动 米()解完“思考题”后,小聪提出了如下两个问题:【问题一】在“思 考 题”中,将“下 滑 米”改 为“下 滑米”,那么该题的答案会是米吗?为什么?【问题二】在“思 考 题”中,梯 子 的 顶 端 从 A 处 沿 墙 AC下滑的距离 与 点B 向 外 移 动 的 距 离,有 可
14、 能 相 等 吗?为什么?请你解答小聪提出的这两个问题(湖北襄阳)如图,在ABC 中,ABAC,ADBC 于点D,将ADC 绕点A 顺时针旋转,使 AC 与AB 重合,点D 落在点E 处,AE 的 延 长 线 交CB 的 延 长 线 于 点 M,EB的延长线交AD 的延长线于点N求证:AMAN(第题)【综合拓展】(山 东 泰 安)如 图,在 ABC 中,ABC,CDAB,BEAC,垂 足 分 别 为 D、E,F 为 BC 的 中 点,BE 与DF、DC 分别交于点G、H,ABECBE()线段BH 与AC 相等吗?若相等给予证明,若不相等请说明理由;()求证:BGGEEA(第题)第课时 特殊三角
15、形【自主梳理】()相等 底边上的中线 高 顶角平分线 轴 相等 相等()等腰 等边 互余 一半 一半 斜边 abc【当堂过关】C A AE 平分DAC,AEBC,B,C BC ABAC()ABCBAD,AOEBOE,AOCDOB;()OEAB理由如下 在 RtABC 和 RtBAD 中,ACBD,BACABD,ABBA ABCBAD DABCBA,OAOB 点E 是AB 的中点,OEAB【课后精练】C A,或,()(x)(舍去)()不会是米,若 AABB,则 AC,BC,ACBCAB,该题的答案不会是米有可能设梯子 顶 端 从 A 处 下 滑x 米,点 B 向 外 也 移 动x 米,则有(x)
16、(x),解得x或x(舍)如果当梯子顶端从A 处下滑米时,那么点B 向外也移动米,即梯子顶端从 A 处沿墙AC 下滑的距离与点B 向外移动的距离有可能相等 AEB 由ADC 旋转而得,AEBADC EABCAD,EBAC ABAC,ADBC,BADCAD,ABCC,EABDAB,EBADBA EBMDBN,MBANBA又 ABAB,AMBANB(ASA)AMAN()BDCBECCDA,ABC,BCD ABC,A DCA,AABE DBDC,ABEDCA,在DBH 和DCA 中,BDHCDA,BDCD,HBDACD,DBHDCA,BHAC()连接CG,(第题)F 为BC 的中点,DBDC,DF 垂直平分BC BGCG ABECBE,BEAC,AEBCEB在ABE 和CBE 中,AEBCEB,BEBE,CBEABE,ABECBE ECEA在 RtCGE 中,由勾股定理,得CGGECE故BGGEEA
