1、习题课指数函数及其性质的应用【基础全面练】(20分钟35分)1(2021鹰潭高一检测)已知函数f(x)3ax1的图象恒过定点P，则点P的坐标是()A(0，3) B(1，2)C(1，3) D(3，1)【解析】选B.因为yax的图象恒过定点(0，1)，所以yax的图象过定点(0，1)，则由函数的图象平移可得f(x)3ax1的图象恒过定点P(1，2).【补偿训练】 函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线yex关于y轴对称，则f(x)()Aex1 Bex1Cex1 Dex1【解题指南】把上述变换过程逆过来，求出yex关于y轴对称的函数，再向左平移1个单位长度得到f(x).【解析】选D.
2、与yex关于y轴对称的函数应该是yex，则f(x)可由yex向左平移1个单位长度得到，所以f(x)e(x1)ex1. 2y|2x2|的图像是()【解析】选B.y2xy2x2y|2x2|.3若指数函数f(x)ax在区间0，2上的最大值和最小值之和为10，则a的值为()A B3C3 D【解析】选B.因为指数函数f(x)ax在区间0，2上单调，且f(0)1，f(2)a2，即1a210，解得a3，又a0，a1，所以a3.4若函数f(x)a为奇函数，则实数a_【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)0，即a0，解得a.答案：5已知函数f(x)axb(a0，a1)的定义域和值域都是，则ab_【解析】
3、当a1时，根据指数函数单调性可知：yax是单调递增函数，所以此时f(x)axb(a0，a1)单调递增，可得：f(0)1b0，解得b1，fa1，即a，解得a4.所以ab3.当0a0，a1)单调递减，可得：f(0)1b，解得：b，fa0，即a，解得：a，所以ab；综上所述，ab3或ab.答案：3或6函数f(x)的定义域为集合A，关于x的不等式2ax(aR)的解集为B，求使ABB的实数a的取值范围【解析】由0，解得x2或x1，于是A(，2(1，)，2ax2xaxx0时，f(x)x22x1的对称轴为x1，抛物线开口向下，此时f(x)在(0，)上单调递减且f(x)1，综上f(x)是减函数，若f(a1)f
4、(a)，则a1a，即a，则实数a的取值范围是.3函数f(x)的递增区间是()A(，1 B(，1C1，) D1，)【解析】选B.由x22x30恒成立可知函数的定义域为R，又因为函数yx22x3在(，1上递减，所以函数y在(，1上递减，所以函数f(x)在(，1上递增，所以函数f(x)的递增区间是(，1.4已知f(x)是(，)上的增函数，那么a的取值范围是()A BC D【解析】选B.要使函数f(x)是(，)上的增函数，需解得0a.【误区警示】已知分段函数单调性求参数取值范围时，容易漏掉端点处需满足的大小关系5当x(，1时，不等式(m22m)4x2x30恒成立，则实数m的取值范围是()A0，2 B(
5、1，1)C1，1 D2，4【解析】选A.因为(m22m)4x2x30，所以，等式两边同乘4x得：m22m82x，因为函数y2x在(，1上是增加的，所以02x，当x(，1时，m22m82x恒成立等价于m22m0，故0m2.【光速解题】选A.代值验证：m1时，34x2x33(2x)282x3，因为x1，所以2x2，所以原式34与(m22m)4x2x3对任意xR恒成立，则实数m的取值范围是_【解析】不等式等价为 ，即x2x2x2mxm4恒成立，所以x2(m1)xm40恒成立，即(m1)24(m4)0，即m22m150，解得3m5.答案：3m5【补偿训练】 函数f(x) (a0且a1)是R上的减函数，
6、则a的取值范围是()A(0，1)BC D【解析】选B.由单调性定义，f(x)为减函数应满足：即a1. 7已知函数f(x)b，且函数图像不经过第一象限，则b的取值范围是_【解析】函数f(x)b为减函数，且图像不经过第一象限，所以f(0)2b0，即b2，故b的取值范围为(，2.答案：(，28函数y的值域为_【解析】设t2xx2(x1)211，则y为减函数，所以y，所以函数y的值域为.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求实数a的值(2)用定义证明f(x)在R上是减函数【解析】(1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)0，即0得，a1.(2)由(1)知
7、f(x)1，任取x1，x2R，且x1x2，则f(x2)f(x1)，因为x1x2，故2x10，2x20.从而f(x2)f(x1)f(x2)，故f(x)在R上是减函数10已知函数f(x)axb(a0，a1)的图像过点(0，2)，(2，0).(1)求a与b的值(2)求x1，2时，求f(x)的最大值与最小值(3)求使f(x)0成立的x的取值范围【解析】(1)因为函数图像过点(0，2)和点(2，0)，所以将点(0，2)和点(2，0)代入f(x)，得解得(舍去a)，故a，b3.(2)由(1)得f(x)()x3，指数函数的底数1，所以该函数在定义域内为增函数，即当x1，2时，f(x)递增，所以f(x)min
8、f(1)3，f(x)maxf(2)0.(3)由f(x)0，可得()x30，即()x3()2，因为y()x是增函数，所以解得x2.所以使f(x)0成立的x的取值范围是(2，).【应用创新练】已知函数f(x)a2x(a0且a1)，当x2时，f(x)1，则f(x)在R上()A是增函数B是减函数C当x2时是增函数，当x2时是减函数D当x2时是减函数，当x2时是增函数【解析】选A.令2xt，则t2x是减函数，因为当x2时，f(x)1，所以当t0时，at1.所以0a1，所以f(x)在R上是增函数【补偿训练】 一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2 KB，然后每3 min自身复制一次，复制后所占据内存是原来的2倍，那么开机后，该病毒占据64 MB(1 MB210 KB)内存需要经过的时间为多少分钟？【解析】设开机x min后，该病毒占据y KB内存，由题意，得y222.令y264210，又6421026210216，所以有116，解得x45.答：该病毒占据64 MB内存需要经过的时间为45 min.
