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江苏省泰兴中学2015-2016学年高一数学竞赛培训讲义:组合数学培训系列2 二项式定理与多项式 .doc

组合数学竞赛培训系列2 二项式定理与多项式知识、方法、技能1二项式定理2二项展开式的通项 它是展开式的第r+1项.3二项式系数 4二项式系数的性质(1)(2)(3)若n是偶数,有,即中间一项的二项式系数最大. 若n是奇数,有,即中项二项的二项式系数相等且最大.(4)(5)(6)(7)(8) 以上组合恒等式(是指组合数满足的恒等式)是证明一些较复杂的组合恒等式的基本工具.(7)和(8)的证明将在后面给出.5证明组合恒等式的方法常用的有(1)公式法,利用上述基本组合恒等式进行证明.(2)利用二项式定理,通过赋值法或构造法用二项式定理于解题中.(3)利用数学归纳法.(4)构造组合问题模型,将证明方法划归为组合应用问题的解决方法.赛题精讲例1:求的展开式中的常数项.例2:求的展开式里x5的系数.例3:已知数列满足 求证:对于任何自然数n,是x的一次多项式或零次多项式. (1986年全国高中数学联赛试题)例4:已知a,b均为正整数,且求证:对一切,An均为整数.例5:已知为整数,P为素数,求证:例6:若,求证:例7:数列中,求的末位数字是多少?例8:求N=19881的所有形如为自然数)的因子d之和.例9:设,求数x的个位数字.例10:已知试问:在数列中是否有无穷多个能被15整除的项?证明你的结论.

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