1、 第课时 代数几何综合题 代数、几何知识相结合的综合题是以几何知识为主体,以代数知识为工 具(背 景),来 确 定 图 形 的 形 状、位 置、大 小(坐标)的问题解答时往往需要从代数几何的结合点或在几何图形中寻找各元素之间的数量关系或在代数条件中探讨各个量的几何模型,进行数与形之间的互相转化,使问题得到解决为了讲解方便,我们将代数几何综合题按题目叙述 的 背景分为:坐标系、函数为背景的代数几何综合题和以几何图形为背景的代数几何综合题类型一 坐标系、函数为背景典例(江 苏 扬 州)如 图(),在 平 面 直 角 坐 标 系中,矩形OABC 的顶点O 在坐标原点,顶点A、C 分别在x 轴、y 轴
2、的正半轴上,且OA,OC,矩形对角线 AC、OB 相交于点E,过点E 的直线与边OA、BC 分别相交于点G、H()直接写出点E 的坐标:;求证:AGCH;()如图(),以点 O 为圆心,OC 为半径的圆弧交OA 于点D,若直线GH 与弧CD 所在的圆相切于矩形内一点F,求直线GH 的函数关系式;()在()的结论下,梯形 ABHG 的内部有一点P,当P与 HG、GA、AB 都相切时,求P 的半径()()()【解析】()根据矩形的性质和边长即可求出点E 的坐标;推出CEAE,BCOA,推出HCEEAG,证出CHEAGE即可;()连接DE 并延长DE 交CB 于点M,求出DDOC OA,证CMEAD
3、E,求出 CMAD,推出四边形 CMDO 是矩形,求出 MD 切 O 于 点 D,设 CH HFx,推 出(x)()x(),求出点 H、G 的坐标,设直线 GH 的解析式是ykxb,把点G、H 的坐标代入求出即可;()连 接 BG,证 OCH BAG,求 出 CHO AGB,证HOEGBE,求出 OHE BGE,得出 BG 平分 FGA,推 出圆心 P 必在BG 上,过 点 P 作 PN GA,垂 足 为 N,根 据 GPN GBA,得出PNBA GNGA,设半径为r,代入求出即可【全解】(),()四边形OABC 为矩形,CEAE,BCOA HCEEAG 在CHE 和AGE 中,HCEEAG,
4、CEAE,HECGEA,CHEAGE AGCH()连接 DE 并延长DE 交CB 于点 M,DDOC OA,D 是OA 的中点 在CME 和ADE 中,MCEDAE,CEAE,MECDEA,CMEADE CMAD BCOA,COD,四边形CMDO 是矩形 MDOD,MDCB MD 切O 于点D HG 切O 于点F,E,(),可设CHHFx,FEED ME,在 RtMHE 中,有 MHMEHE,即(x)()x(),解得x H,(),OG 又 G ,(),设直线GH 的解析式是ykxb,把点G、H 的坐标代入,得 kb,kb解得k ,b ,直线GH 的函数关系式为y x ()连接BG,在OCH 和
5、BAG 中,CHAG,HCOGAB,OCAB,OCHBAG CHOAGB,CHAG HCO,HC 切O 于点C,HG 切O 于点F OH 平分CHF CHOFHOBGA 四边形OCBA 是矩形,BCOA,BCOA CHAG(已证),BHOG,BHOG 四边形BHOG 是平行四边形 OHBG OHEBGE CHOFHOBGA,BGABGE,即BG 平分FGA P 与 HG、GA、AB 都相切,圆心 P 必在BG 上过点 P 作PNGA,垂足为 N,GPNGBA PNBA GNGA 设半径为r,得r r,解得r ,即P 的半径是 【提醒】本题 综 合 考 查 了 矩 形 的 性 质 和 判 定,全
6、 等 三 角形的性质和判定,相似三角形的性质和判定,切线的性质和判定,一次函数和勾股定理等知识点,综合性强,难度偏大,但是也是一道比较好的题目类型二 几何图形为背景典例(江苏苏州)如图,已知半径为的 O 与直线l相切于 点 A,点 P 是 直 径 AB 左 侧 半 圆 上 的 动 点,过点 P作直 线l 的 垂 线,垂 足 为 C,PC 与 O 交 于 点 D,连 接PA、PB,设 PC 的长为x(x)()当x 时,求弦 PA、PB 的长度;()当x 为何值时,PDCD 的值最大?最大值是多少?【解析】()易证 RtPCARtAPB,由相似三角形的对应边成比例,可先求出 PA 的长,再利用勾股
7、定理即可求出 PB 的长;()过点O 作OE 垂直于PD 于点E,由垂径定理得到E 为PD 的中点,再由三个角为直角的四边形为矩形得到四边形 OACE 为矩形,可得ECOA,又 PCECPE,PDPE,这样就可以用x 表示出PD,尽而表示出CD,代入 PDCD 求出所求式子的最大值及此时x 的取值即可【全解】()O 与直线l相切于点A,且AB 为O的直径,ABl又 PCl,ABPC CPAPAB AB 是O 的直径,APB又 PCl,PCAAPB PCAAPB PCAPPAAB,即 PAPCAB PC ,AB,PA RtAPB 中,AB,PA由勾股定理,得 PB()过点O 作OEPD,垂足为E
8、,PD 是O 的弦,OEPD,PEED又 CEOECAOAC,四边形OACE 为矩形 CEOA又 PCx,PEEDPCCEx CDPCPDx(x)x PDCD(x)(x)xx(x)x,当x时,PDCD 的值最大,最大值是【提醒】本题考查了切线的性质,平行线的性质,矩形的判定与性质,垂径定理,勾股定理,相似三角形的判定与性质,以及二次函数的性质,熟练掌握性质及定理是解本题的关键典例(江苏苏州)如图,正方形 ABCD 的边AD与矩形EFGH 的边FG 重合,将正方形ABCD 以cm/s的速度沿FG 方向移动,移动开始前点 A 与点F 重合,在移动过程中,边 AD 始终与边FG 重合,连接 CG,过
9、点 A 作CG 的平行线交线段GH 于点P,连接 PD已知正方形 ABCD 的边长为cm,矩形EFGH 的边FG、GH 的长分别为cm,cm,设正方形移动的时间为x(s),线段GP 的长为y(cm),其中x()试求出y 关于x 的函数关系式,并求当y时相应x 的值;()记DGP 的面积为S,CDG 的面积为S试说明SS 是常数;热点题型探究 ()当线段 PD 所 在 直 线 与 正 方 形ABCD 的 对 角 线 AC垂直时,求线段 PD 的长【解析】()根 据 题 意 表 示 出 AG、GD 的 长 度,再 由 GCDAPG,利用对应边成比例可解出x 的值()利用()得出的y 与x 的关系式
10、表示出S、S,然后作差即可()延长 PD 交AC 于点Q,然后判断DGP 是等腰直角三角形,从而结合x 的范围得出x 的值,在 RtDGP 中,解直角三角形可得出PD 的长度【全解】()CGAP,GCDAPG CDGDPGAG GF,CDDA,AFx,GDx,AGx x yx,即yxx y 关于x 的函数关系式为yxx当y时,xx,解得x,经检验的x是分式方程的根故x 的值为()S GPGD xx(x)x,S GDCD (x)x,SSx x ,即为常数()延长 PD 交AC 于点Q 正方形 ABCD 中,AC 为对角线,CAD PQAC,ADQ GDPADQ DGP 是等腰直角三角形,则GDG
11、P xxx,化简,得xx解得x,x x 在 RtDGP 中,PD GDcos(x)【小结】()几何图形为背景的代数几何综合题,建立函数表达式的常见思路是:利用图形的面积公式建立函数表达式;或利用勾股定理或解直角三角形知识建立函数表达式;或利用相似三角形的线段成比例建立函数表达式()本题综合性非常强运用的几何知识有正方形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形及解直角三角形的知识;代数知识有解分式方程、一元二次方程以及函数知识等解答本题的关键是用移动的时间表示出有关线段的长度,然后运用所学知识进行求解(上海)如图,在平面直角坐标系中,二次函数yaxxc的图 象 经 过 点 A(,),B(,),与 y
12、 轴 交 于点C,点 D 在线段OC 上,ODt,点E 在第二象限,ADE,tanDAE ,EFOD,垂足为F()求这个二次函数的解析式;()求线段EF、OF 的长(用含t的代数式表示);()当ECAOAC 时,求t的值(第题)(陕西)如图,正三角形 ABC 的边长为()如图(),正方形EFPN 的顶点E、F 在边 AB 上,顶点 N在边AC 上,在正三角形ABC 及其内部,以点A 为位似中心,作正方形EFPN 的位似正方形EFPN,且使正方形EFPN的面积最大;(不要求写作法)()求()中作出的正方形EFPN的边长;()如图(),在正三角形 ABC 中放入正方形DEMN 和正方形EFPH,使
13、得 DE、EF 在边AB 上,点 P、N 分别在边CB、CA 上,求这两个正方形面积和的最大值和最小值,并说明理由()()(第题)【基础达标】(河 北)如 图,已 知 点 A(,),B(,),点 C 在y 轴的正半轴 上,CBO,CDAB,CDA点P 从点Q(,)出发,沿x 轴向左以每秒个单位长度的速度运动,运动时间为t秒()求点C 的坐标;()当BCP时,求t的值;()以点 P 为 圆 心,PC 为 半 径 的 P 随 点P 的 运 动 而 变化,当P 与四边形ABCD 的边(或 边 所 在 的 直 线)相切时,求t的值(第题)(浙江嘉兴)在平面直角坐标系xOy 中,点P 是抛物线yx 上的
14、动点(点 P 在第一象限内)连接 OP,过点 O 作OP 的垂线交抛物线于另一点Q连接 PQ,交y 轴于点 M 作 PAx 轴 于 点A,QBx 轴 于 点B设 点 P 的 横 坐 标为m()如图(),当 m 时求线段OP 的长和tanPOM 的值;在y 轴上找一点C,使OCQ 是以OQ 为腰的等腰三角形,求点C 的坐标;()如图(),连接AM、BM,分别与OP、OQ 相交于点D、E用含 m 的代数式表示点Q 的坐标;求证:四边形ODME 是矩形()()(第题)【综合拓展】(湖南株洲)如图,在ABC 中,C,BC米,AC米点 M 在 线 段 CA 上,从 点 C 向 点 A 运 动,速 度 为
15、米/秒;同时点 N 在线段AB 上,从点A 向点B 运动,速度为米/秒运动时间为t秒()当t为何值时,AMNANM?()当t为何值时,AMN 的面积最大?并求出这个最大值(第题)(江苏常州)已知,在矩形 ABCD 中,AB,BC,点 M为边BC 的中点,点 P 为边CD 上的 动 点(点 P 异 于C、D 两点)连接 PM,过点 P 作PM 的垂线与射线DA 相交于点E(如图),设CPx,DEy()写出y 与x 之间的关系式 ;()若点E 与点A 重合,则x 的值为 ;()是否存在点P,使得点D 关于直线PE 的对称点D落在边AB 上?若存在,求x的值;若不存在,请说明理由(第题)第课时 代数
16、几何综合题【当堂过关】()二次函数yaxxc的图象经过点A(,),B(,),ac,ac解得 a,c 这个二次函数的解析式为yxx()EFDEDA,DEF EDF,EDF ODA DEFODA EDFDAO EFDOEDDA EDDAtanDAE ,EFDO ,即EFt EF t同理DFOA EDDA,DF,OFt()抛物线的解析式为yxx,C(,),OC如图,连接EC、AC,过点 A 作EC 的垂线交CE 于点G(第题)ECAOAC,在GCA 与OAC 中,GCACAO,ACAC,COACGA,GCAOAC CG,AGOC如图,过点E 作EM x 轴于点 M,在 RtAEM 中,EMOFt,A
17、MOAOMOAEF t,由勾股定理,得 AEAMEM t()(t)在 RtAEG 中,由勾股定理,得 EGAEAG t()(t)t 在 RtECF 中,EF t,CFOCOFt,CECGEGt,由勾股定理,得EFCFCE,即t()(t)t解得t(不合题意,舍去),t,t()如图(),正方形EFPN即为所求(第题()()设正方形EFPN的边长为x,ABC 为正三角形,AEBF x EFAEBFAB,x x x x ,即x(没有分母有理化或x也正确)()如图(),连接 ME、EP、PN,则NEP(第题()设正方形DEMN、正方形EFPH 的边长分别为m,n(mn),它们的面积和为S,则 NE m,
18、PE n PNNEPEmn(mn)Smn PN延长 PH 交ND 于点G,则 PGND在 RtPGN 中,PN PG GN (mn)(mn)ADDEEFBFAB,即 mmn n,化简,得 mn S (mn)(mn)当(mn)时,即 mn时,S 最小 S最小 当(mn)最大时,S 最大,即当 m 最大且n 最小时,S 最大 mn,由()知,m最大 n最小 m最大()S最大 (m最大 n最小)()(S最大 也正确)【课后精练】()BCOCBO,OCOB又 点C 在y 轴的正半轴上,点C 的坐标为(,)()分两种情况考虑:当点 P 在点B 右侧时,如图(),(第题()若BCP,得PCO,故 POCO
19、tan,此时t 当点 P 在点B 左侧时,如图(),(第题()由BCP,得PCO,故OPCOtan,此时t,t的值为 或()由题意知,若P 与四边形ABCD 的边相切时,有以下三种情况:当P 与BC 相切于点C 时,有BCP,从而OCP,得到OP,此时t;当P 与CD 相切于点C 时,有PCCD,即点P与点O 重合,此时t;当P 与AD 相切时,由题意,得DAO,点 A 为切点,如图(),PCPA(t),PO(t)于是(t)(t),解得t,t的值为或或()把x 代入yx,得y,P(,)OP PAx 轴,PAMO tanPOMtanOPAOPAP 设 Q(n,n),tanQOBtanPOM,nn
20、 n Q ,OQ 当OQOC 时,则C,C,;当OQCQ 时,则C(,)综上所述,所求点C 的坐标为C,C,C(,)()P(m,m),设 Q(n,n),APOBOQ,BQAOBOAP nm nm,得n m Q m,m()设直线 PO 的 解 析 式 为ykxb,把 点 P(m,m),Q m,m()代入,得mmkb,m mkb解得b M(,)BQMOBOAO m,QBOMOA,QBOMOA MAOQOB QOMA同理可证EMOD又 EOD,四边形ODME 是矩形()从点 C 向点A 运动,速度为米/秒;同时点 N 在 线 段 AB 上,从 点 A 向 点B 运 动,速 度 为米/秒运动时间为t秒
21、 AMt,ANt AMNANM,AMAN,从而tt解得t秒 当t为时,AMNANM()如图,作 NHAC 于点 H,(第题)NHAC NHBC NHAABC ANAB NHBC,即tNH NHt从而有SABC (t)t tt,当t时,S最大()PEPM,EPM DPECPM又 四边形 ABCD 为矩形,D DPEDEP CPMDEP又 CD,CPMDEP CPDECMDP 又 CPx,DEy,ABDC,DPx又 M 为BC 的中点,BC,CM xy x,则yxx()当点E 与点A 重合时,DEAD,CPMDEP,CPDECMDP 又 CPx,DE,CM,DPx,x x,即xx解得x 或x,x 的值为 或()存在,过点 P 作PH AB 于点 H,(第题)点 D 关于直线PE 的对称点D落在边AB 上,PDPDx,EDEDyxx,EAADEDxx,PDED在 RtDPH 中,PH,DPDPx,根据勾股定理,得DH(x)xx,EDAPDHPDHDPH,PDEPHD,EDADPH EDDP EADH,即xxx xxxx整理,得xx,解得x,当x 时,y ,此时E 在DA 的延长线上,不合题意,舍去;当x 时,y ,此时E 在DA 上,符合题意则x 时,点 D 关于直线PE 的对称点D落在边AB 上
