1、 空间与图形 第课时 解直角三角形 能用锐角三角函数解直角三角形能结合仰角、俯角、坡度等专业术语,运用相关知识解决一些简单的实际问题直角三角形边角关系在 RtABC 中,C,A、B、C 的 对 边 分 别 为a,b,c,则有下列关系:()边:ab ()角:AB ()边 角:sinA ,cosA ,tanA 解直角三角形的应用关键是把实际问题转化为数学问题来解决在进行测 量 时,从 下 往 上 看,视 线 与 水 平 线 的 夹 角 叫 做 ;从 上 往 下 看,视 线 与 水 平 线 的 夹 角 叫 做 坡面的铅 直 高 度(h)与 水 平 宽 度(l)的 比 叫 做 坡 面 的 考点 解非直
2、角三角形例 (安徽)如图,在ABC 中,A,B,AC,求 AB 的长【解析】过点 C 作CD AB 于点 D,求出 BCD B,推 出BDCD,根据含 角 的 直 角 三 角 形 求 出 CD,根 据 勾 股 定 理 求 出AD,相加即可求出答案【全解】解法一:过点C 作CDAB 于点D,在 RtACD 中,cosAADAC,sinACDAC,A,AC,AD cos ,CD sin 在 RtBCD 中,tanBCDBD,B,CD,BD CDtan ABADBD 故 AB 的长是 解法二:过点C 作CDAB 于点D,ADCBDC B,BCDB CDBD A,AC,CD BDCD 由勾股定理,得
3、ADACCD,ABADBD 故 AB 的长是【小结】解非直角三角形抓住以下几点:()作三角形的高,构造直角三角形;()合理选择三角函数关系式求解;()求边时,往往将其转化为两个直角三角形的直角边的和或差;()特殊角直角三角形的也可利用相关定理解答,比如本题即可利用勾股定理,等腰三角形的性质和判定,含 角的直角三角形性质等知识点的解答考点 解直角三角形应用坡度坡角问题例 (浙 江 绍 兴)某 超 市 从 一 楼 到 二 楼 的 电 梯AB 的长为米,坡角BAC 为()求一楼于二楼之间的高度BC;(精确到米)()电梯每级的水平级宽均是米,如图(),小 明 跨上电梯时,该电梯以每秒上升级的高度运行,
4、秒后他上升了多 少 米?(精 确 到米)(sin,cos,tan)()()【解析】()在直角三角形 ABC 中利用BAC 的正弦值和AB的长求得BC 的长即可;()首先根据题意求得级高,然后根据秒钟上升的级数求小明上升的高度即可【全解】()sinBACBCAB,BCABsin米()tan级高级宽,级高级宽tan 秒钟电梯上升了级,小明上升的高度为米【提醒】本题 考 查 了 解 直 角 三 角 形 的 应 用,解 题 的 关 键是从实际问题中整理出直角三角形并求解例 (江苏苏州)如 图,已 知 斜 坡 AB 长 米,坡角(即BAC)为,BCAC,现计划在斜坡 中 点 D 处 挖去部分坡体(用阴影
5、表示)修建一个平行于水平线 CA 的平台DE 和一条新的斜 坡BE(请 将 下 面 小 题 的 结 果 都 精 确 到米,参考数据:)()若修建的斜坡 BE 的 坡 角(即 BEF)不 大 于,则平台 DE 的长最多为多少米;()一 座 建 筑 物 GH 距 离 坡 角 点 A 米 远(即 AG米),小明在点 D 测 得 建 筑 物 顶 部 H 的 仰 角(即 HDM)为点B、C、A、G、H 在同一个平面内,点C、A、G 在同一条直线上,且 HGCG,问建筑物GH 高为多少米?【解析】()根据题意得出,BEF 最大为,当BEF时,EF 最短,此时ED 最长,进而得出EF 的长,即可得出答案;(
6、)利用在 RtDPA 中,DP AD,以及 PAADcos进而得出 DM 的长,利用 HMDMtan得出即可【全解】()修建的斜坡 BE 的坡角(即BEF)不大于,BEF 最大为当BEF时,EF 最短,此时ED 最长,DACBDF,ADBD,BFEF BD,DF 故 DEDFEF()米()过点 D 作DPAC,垂足为 P在 RtDPA 中,DP AD ,PAADcos 在矩形 DPGM 中,MGDP,DMPG,在 RtDMH 中,HMDMtan ()GHHMMG 故建筑物GH 高为米【提醒】此题 主 要 考 查 解 直 角 三 角 形 中 坡 角 问 题,根 据图象构建直角三角形,利用锐角三角
7、函数求解是解题关键考点 解直角三角形应用仰角俯角问题例 (江苏盐城)如图所示,当小华站立在镜子EF 前A 处时,他看自己的脚在镜中的像的俯角为若小华向后退米到B 处,这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为求小华的眼睛到地面的距离(结果精确到米,参考数据:)【解析】利用等腰直角三角形的性质得出 ACAA,进而得出tanBDBBBDABABAA求出即可【全解】当小华站立在镜子 EF 前A 处时,他看自己的脚在镜中的像的俯角为,ACAA 小华向后退米到 B 处,这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为 ABAB米,DBB,tanBDBBBDABABAA BDBD 解得BD(米),故小华的眼睛到地面的距离为米【
8、提醒】此题主要考查直角三角形中仰角与俯角问题以及平面镜成像的性质,得出 ABAB米,再利用锐角三角函数求解是解题关键例 (广东珠海)如图,水渠边有一棵大木瓜树,树干 DO(不计粗细)上有两个木瓜A、B(不计大小),树干垂直于地面,量得 AB米,在水渠的对面与 O 处于同一水平面的C 处测得木瓜A 的仰角为、木瓜 B 的仰角为求 C处到树干DO 的距离CO(结果精确到米)(参考数据:,)【解析】本题 RtBOC 和 RtAOC 都不可能由已知条件直接解出,我们可以设 这 两 个 直 角 三 角 形 的 公 共 边 OCx,在 RtAOC中,用x 表示出OA,在 RtBOC 中,用x 表示出OB,
9、再根据ABOAOB列方程解出【全解】设OCx,在 RtAOC 中,ACO,OAOCx,在 RtBOC 中,BCO,OBOCtan x ABOAOBx x,解得x 米,OC米故C 处到树干DO 的距离CO 为米 空间与图形 【提醒】直角 三 角 形 在 现 有 条 件 下 的 都 不 可 解 时,我 们可以通过两个直角三角形中的公共元素,建立方程求解考点 解直角三角形应用方向角问题例 (江 苏 连 云 港)已 知 港 口 B 位 于 观 测 点 A北偏东方向,且其到观测点 A 正北方向的距离BD 的长为km,一艘货轮从港口 B 以km/h的速度沿如图所示的BC 方向航行,min后达到C 处,现测
10、得C 处位于观测点A 北偏东方向,求此时货轮与观测点 A 之间的距离AC的长(精确到km)(参 考 数 据:sin,cos,sin,cos,tan,)【解析】根据在 RtADB 中,sinDABDBAB,得出 AB 的长,进而得出tanBAHBHAH,求出BH 的长,即可得出 AH 以及CH 的长,进而得出答案【全解】BC,在 RtADB 中,sinDABDBAB,sin,所以 ABDBsinDAB如图,过点B 作BH AC,交 AC 的延长线于点 H,在 RtAHB 中,BAH DAC DAB,tanBAHBHAH,即BHAH,即 AHBH,BHAHAB,即BH(BH),解得BH,所以 AH
11、,在 RtBCH 中,BHCHBC,得CH,所以 ACAHCH ,故此时货轮与 A 观测点之间的距离AC 约为km【小结】解直角三角形应用问题要抓住以下几点:()理解题意,看懂图形,尤其是明确有关名词的含义;()将实际问题转化为数学问题,再利用解直角三角形知识求解;()有些问题中的直角三角形都不可解,我们可以利用这两个直角三角形中的公共元素,建立方程求解(四川巴中)一副直角三角板如图放置,点 C 在FD 的延长线上,ABCF,FACB,E,A,AC,试求CD 的长(第题)(浙江丽水)学校校园内有一小山坡 AB,经测量,坡角ABC,斜坡 AB 长为 米为 方 便 学 生 行 走,决 定开挖小山坡
12、,使斜坡BD 的坡比是(即为CD 与BC 的长度之比)A、D 两点处于同一铅垂线上,求开挖后小山坡下降的高度 AD(第题)(广东湛江)某兴趣小组用仪器测量湛江 海 湾 大 桥 主塔的高度如图,在距主塔 AE米的点 D 处用仪器测得主塔顶部 A 的仰角为,已知测量仪器的高 CD米,求主塔 AE 的高度(结果精确到米)(参考数据:sin,cos,tan)(第题)(江苏扬州)如图,一艘巡逻艇航行至海面 B 处时,得知正北方向上距B 处 海里的 C 处有一渔船发生故障,就立即指挥港口A 处的救援艇前往C 处营救已知C 处位于 A 处的北偏 东 的 方 向 上,港 口 A 位 于B 的 北 偏 西的方向
13、上求A、C 之间的距离(结果精确到海里,参考数据:,)(第题)【基础达标】(浙江杭州)如图,在 RtABO 中,斜边 AB若 OCBA,AOC,则()(第题)A点B 到AO 的距离为sinB点B 到AO 的距离为tanC点 A 到OC 的距离为sinsinD点 A 到OC 的距离为cossin(湖北宜昌)在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中,某学习小组测得太阳光线 与 水 平 面 的 夹 角 为,此 时 旗杆在水平地面上 的 影 子 的 长 度 为 米,则 旗 杆 的 高 度 约为()(参考 数 据:tan,sin,cos)(第题)A米B米C米D米(湖北襄阳)在一次数学活动中,李明利用一根栓有
14、小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪,去测量学校内一座假山的高度CD如图,已知小明距假山的水平距离BD 为m,他的眼镜距地面的高度为m,李明的视线经过量角器零刻度线OA 和假山的最高点C,此时,铅垂线 OE 经 过 量 角 器 的 刻 度 线,则 假 山 的 高 度 为()(第题)A()mB()mC()mD m(江苏南京)如图,将的AOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上:顶点O 与尺下沿的端点重合,OA 与尺下沿重合,OB 与尺 上 沿 的 交 点B 在 尺 上 的 读 数 恰 为 cm若按相同的方式将的AOC 放置在该刻度尺上,则 OC与尺上沿的交点C 在尺上的读数约为 cm(结果精
15、确 到cm,参 考 数 据:sin,cos,tan)(第题)(四川广元)如图,A、B 两座城市相距千米,现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路(即 线 段 AB)经测量,森林保护区中心点P 在A 城市的北偏东方向,B 城市的北偏西方向上已知森林保护区的范围在以P 为圆心,千米为半径的圆形区域内请问:计划修 筑的这条高等级公路会不会穿越森林保护区?为什么?(第题)【综合拓展】(广东)如图,小山岗的斜坡 AC 的坡度是tan ,在与山脚 C 距 离 m 的 D 处,测 得 山 顶 A 的 仰 角 为,求小山岗的高 AB(结果取整数,参考数据:sin,cos,tan)(第题)(四川乐山)如图,在东
16、西方向的海岸线l上有一长为千米的码头 MN,在码头西端 M 的 正 西 方 向 千 米 处有一观察站O某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O 的北偏西方向,且与 O 相距 千米的 A 处,经过分钟,又测得该轮船位于O 的正北方向,且与 O 相距千米的B 处()求该轮船航行的速度;()如果该轮船不改 变 航 向 继 续 航 行,那 么 轮 船 能 否 正 好行至码头 MN 靠 岸?请 说 明 理 由(参 考 数 据:,)(第题)第课时 解直角三角形【自主梳理】()c()()ac bc ab仰角 俯角 坡度【当堂过关】过点B 作BM FD 于点 M,在ACB 中,ACB,A,AC,BCAC ABC
17、F,BCM BMBCsin ,CMBM在EFD 中,F,E,EDF MDBMtan CDCMMD 在 RtABC 中,ABC,AC AB,BCABcosABC 斜坡BD 的坡比是,CD BC ADACCD 故开挖后小山坡下降的高度 AD 为()米根据题意,得在 RtABC 中,ABBCtan(米),CD米,BE米 AEABBE(米)故主塔 AE 的高度为米过点 A 作ADBC,垂足为 D,由题意,得ACD,ABD,设CDx,在 RtACD 中,可得 ADx,在 RtABD 中,可得BD x,又BC,即x x,解得x()AC x(海里)故 A、C 之间的距离为海里【课后精练】C D A 过点 P
18、 作PQAB,垂足为 E,由题可得APE,BPE,(第题)设 AEx,在 RtAPE 中,PE x,在 RtPBE 中,BEPE x,xx,x()PE x(),会穿过保护区故计划修筑的这条高速公路会穿越保护区 在直角三角形 ABC 中,ABBCtan ,BC AB在直角三角形 ADB 中,ABBDtan,即BDAB,BDBCCD,AB AB,解得 ABm故小山岗的高度为m()过点 A 作ACOB 于点C由题意,得(第题)OA 千米,OB千米,AOC AC OA (千米),在 RtAOC 中,OCOAcosAOC (千米)BCOCOB(千米)在 RtABC 中,AB ACBC(千米)轮船航行的速度为(千米/时)()如果该轮船不改变航向继续 航 行,不 能 行 至 码头 MN 靠岸理由:延长 AB 交l于点D ABOB(千米),AOC,OABAOC OBDOABAOC 在 RtBOD 中,ODOBtanOBDtan(千米),该 轮 船 不 改 变 航 向 继 续 航 行,不 能 行 至 码 头MN 靠岸
