1、 空间与图形 第课时 与圆有关的位置关系 能说出点与圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系掌握切线的概念、切线的性质和判定以及切线长定理会用三角尺过圆上一点画圆的切线点与圆的位置关系设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,那么点在 dr点在 dr点在 dr直线和圆的位置关系设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,那么直线与圆 dr直线与圆 dr直线与圆 dr圆与圆的位置关系()圆心距:两圆 的距离叫圆心距()设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为R 和r,那么两圆 dRr两圆 dRr两圆相交 (Rr)两圆内切 (Rr)两圆内含 (Rr)(注意:两圆内含时,若d 为,则两圆为同心圆)切线的性
2、质和判定()切线的定义:直线和圆有 公共点时,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做 ()切线的性质:圆的切线垂直于过 的半径()切线的判定:经过半径的外端,并且 于这条半径的直线是圆的切线切线长定理()切线长:在经过圆外一点的圆的切线上,这点与切点之间的 长,叫做这点到圆的切线长()切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长 ,圆心 和 这 一 点 的 连 线 两 条 切 线的夹角考点 直线与圆的位置关系例 ()(江苏无锡)已知O 的半径为,直线l上有一 点 P 满 足 PO,则 直 线l 与 O 的 位 置 关 系 是()A相切B相离C相离或相切D相切或相交()(湖南衡阳)已知 O 的直
3、径等于 cm,圆心 O到 直 线l 的 距 离 为 cm,则 直 线l 与 O 的 交 点 个 数 为()ABCD无法确定【解析】()根据直线与圆的位置关系来判定分 OP 垂直于直线l,OP 不垂直直线l两种情况讨论当OP 垂直于直线l时,即圆心 O 到直线l的距离dr,O 与l相切;当OP 不垂直于直线l 时,即圆心O 到直线l的距离dr,O 与直线l相交故直线l与O 的位置关系是相切或相交()首先求得该圆的半径,再根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析判断进而利用直线与圆相交有两个交点,相切有一个交点,相离没有交点,即可得出答案该圆的半径是cm,即大于圆心到直线的距离cm,则直线和
4、圆相交,故直线l与O 的交点个数为【全解】()D()C【提醒】本题考查直线与圆的位置关系解决此类问题可通过比较圆心到直线距离 d 与圆半径大小关系完成判定第()题要特别注意是圆的直径考点 切线的性质和判定例 (湖南株洲)如图,已知 AD 为O 的直径,B 为AD 延长线上一点,BC 与O 切于点C,A求证:()BDCD;()AOCCDB【解析】()要证 BDCD,只需证BCDB 即可根据直径所对的圆周 角 是 直 角,等 边 对 等 角 与 三 角 形 外 角 的 性 质,可 求 得ACO,ODCOCD,又 由 BC 与 O 切 于 点C,根 据切线的性质,求得BCD,进而求得BCDB()由(
5、)可知AACOBCDB,即可得 ACBC,然后由 ASA,即可证得AOCCDB【全解】()AD 为O 的直径,ACD又 A,OAOCOD,ACO,ODCOCD又 BC 与O 切于点C,OCB BCD B BCDB BDCD()AACOBCDB,ACBC在AOC 和BDC 中,AB,ACBC,ACOBCD,AOCBDC(ASA)【提醒】此题 考 查 了 切 线 的 性 质、等 腰 三 角 形 的 判 定 与性质以及全等三角形的判定例 (浙江温州)如 图,在 ABC 中,ACB,D 是边AB 上一点,且ADCBE 是边BC 上的一点,以EC 为直径的O 经过点D()求证:AB 是O 的切线()若C
6、D 的弦心距为,BEEO,求BD 的长【解析】()运用切线的判定方法,连接 OD,证明 ODBD,即可确定出 AB 为O 的切线;()要求BD 的长,由()知BOD 为直角三角形,又BEEO,所以BOOD,只要求出O 的半径即可过点 O 作OM 垂直于CD,由已知条件易求出ODM,在RtODM 中,由 CD 的弦心距为,即OM不难求出O 的半径【全解】()连接OD,如图所示 ODOC,DCBODC又 DOB 为COD 的外角,DOBDCBODCDCB又 ADCB,ADOB ACB,AB DOBB BDO ODAB AB 是O 的切线()过点O 作OM CD 于点 M,如图所示 ODOEBE B
7、O,BDO,B DOB ODOC,DCBODC又 DOB 为ODC 的外角,DOBDCBODCODC ODC 在 RtODM 中,ODM,OM,ODOM OD,BOBEOEOE 在 RtBDO 中,根据勾股定理,得BD【提醒】此题 考 查 了 切 线 的 性 质,垂 径 定 理,勾 股 定 理,含直角三角形的性质,三角形的中位线定理,三角形的外角性质,以及直角三角形斜边上的中线性质,熟练掌握定理及性质是解本题的关键例 (湖北孝感)如图,AB 是O 的直径,AM、BN 分别切O 于点A、B,CD 交AM、BN 于点D、C,DO 平分ADC()求证:CD 是O 的切线;()若 AD,BC,求O 的
8、半径R【解析】()过点O 作OECD 于点E,通过角平分线的性质得出OEOA 即可证得结论()过点D 作DFBC于点F,根据切线的性质可得出 DC 的长度,继而在 RtDFC中利用勾股定理可得出DF 的长,继而可得出半径【全解】()过点O 作OECD 于点E,AM 切O 于点A,OAAD又 DO 平分ADC,OEOA,OA 为O 的半径,CD 是O 的切线()过点 D 作DFBC 于点F,AM、BN 分别切O 于点A、B,ABAD,ABBC 四边形 ABFD 是矩形 ADBF,ABDF又 AD,BC,FC AM、BN、DC 分别切O 于点A、B、E,DADE,CBCE DCADBC在 RtDF
9、C 中,DFDCFC AB O 的半径R 是【小结】证明 直 线 是 圆 的 切 线,若 已 知 直 线 与 圆 有 公 共点,连接圆心和公共点,证明直线与经过公共点的半径垂直简记为:证切 线,添 半 径,证 垂 直;若 不 知 道 直 线 与 圆 有 公 共点,过圆心作与直线垂直的线段,证明垂线段长等于半径简记为:证切线,添垂直,证半径考点 切线长定理例 (广 东 佛 山)如 图,直 尺、三 角 尺 都 和 圆 O相切,ABcm求圆O 的直径 空间与图形 【解析】连 接 OC、OA、OB,根 据 切 线 长 定 理 和 切 线 性 质 求 出OBA,OACOAB BAC,求出BAC,求出OA
10、B和BOA,求出OA,根据勾股定理求出OB 即可【全解】连接OC、OA、OB,AC、AB 都是O 的切线,切点分别是C、B,OBA,OACOAB BAC CAO,BAC OAB BOA OAABcm由勾股定理,得OBOAAB (cm),即O 的半径是 cm O 的直径是 cm故圆O 的直径是 cm【提醒】本题 考 查 了 勾 股 定 理,切 线 性 质,切 线 长 定 理,含角的直角 三 角 形 等 知 识 点 的 应 用,关 键 是 求 出 OBA和OAB 的度数,题目具有一定的代表性,是一道比较好 的题目考点 圆与圆的位置关系例 ()(江苏扬州)已知O、O 的半径 分别为cm、cm,且它们
11、的圆心距为cm,则O 与O 的位置关系是()A外切B相交C内切D内含()(江苏盐城)已知O 与O 的半径分别是方程xx的两根,且 OOt,若这两个圆相切,则t 【解析】()由O、O 的半径分别为cm、cm,且(cm),又它们的圆心距为cm,根据两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系可得出O 与O 的位置关系是外切()先解方程xx,得两根为和,所以O、O 的半径分别是和,再分两圆外切和两圆内切两种情况列出关于t的方程讨论求解即当两圆外切时,圆心距OOt,解得t;当两圆内切时,圆心距OOt,解得t t为或【全解】()A()或【小结】圆与圆的位置关系的有关计算问题:()注意掌握两圆
12、位置关系与圆心距d,两圆半径 R,r的数量关系间的联系;()两圆相切,应考虑内切或外切两种情况,甚至两圆相交,都应考虑圆心在公共弦的同侧或异侧两种情况(湖北宜昌)已知 O 的半径为,圆心 O 到直线l 的距离 为,则 反 映 直 线 l 与 O 的 位 置 关 系 的 图 形 是()(山东青 岛)已 知 O 与 O 的 半 径 分 别 是 和,OO,则O 与O 的位置关系是()A内切B相交C外切D外离(四川巴中)已知两圆的半径分别为和,当这两圆内含时,圆心距d 的范围是()AdBdCdDd(福建漳州)如图,O 的半径为cm,当圆心 O 到直线AB 的距离为 cm 时,直线 AB 与O 相切(第
13、题)(浙江丽水)如图,AB 为 O 的 直 径,EF 切 O 于 点D,过点B 作BH EF 于点 H,交O 于点C,连接BD()求证:BD 平分ABH;()如果 AB,BC,求圆心O 到BC 的距离(第题)(福建南平)如图,直线l与 O 交于C、D 两点,且与半径OA 垂直,垂足为 H,已知OD,O()求CD 的长;()在OD 的 延 长 线 上 取 一 点B,连 接 AB、AD,若 ADBD,求证:AB 是O 的切线(第题)【基础达标】(江苏宿迁)若O、O 的半径分别是r,r,圆心距d,则这两个圆的位置关系是()A内切B相交C外切D外离(四川成都)已知两圆外切,圆心距为 cm,若其中一个圆
14、的半径是cm,则另一个圆的半径是()AcmBcmCcmDcm(广西)如图,已知线段OA 交O 于点B,且OBAB,点P 是O 上的一个动点,那么OAP 的最大值是()(第题)ABCD(江西)如图,AC 经过 O 的圆心O,AB 与 O 相切于点B,若A,则C (第题)(第题)(江苏扬州)如图,PA、PB 是O 的切线,切点分别为A、B,点C 在O 上,如 果 ACB,那 么 P 的 度 数 是 (辽 宁 丹 东)如 图,在 ABC 中,BAC,以 AB为直径的O 经过点C过点 C 作O 的切线交AB 的延长线于点P点 D 为圆上一点,且BCCD,弦 AD 的延长线交切线PC 于点E,连接BC(
15、)判断OB 和BP 的数量关系,并说明理由;()若O 的半径为,求 AE 的长(第题)(黑龙江大庆)已知等边ABC 和M()如图(),若M 与BA 的延长线AK 及边AC 均相切,求证:AMBC;()如图(),若M 与BA 的延长线AK、BC 的延长线CF及边AC 均相切,求证:四边形 ABCM 是平行四边形()()(第题)【综合拓展】(四川南充)如图,在平面直角坐标系中,O 的半径长为,点 P(a,),P 的 半 径 长 为,把 P 向 左 平 移,当P 与O 相切时,a的值为()(第题)ABC,D,(山东济南)如图,在 RtABC 中,B,AB,BC,以其三边为直径向三角形外作三个半圆,矩
16、形 EFGH 的各边分 别 与 半 圆 相 切 且 平 行 于 AB 或BC,则 矩 形EFGH 的周长是 (第题)(福建莆田)如图,点C 在以AB 为直径的半圆O 上,延长BC 到点D,使得CDBC,过点 D 作DEAB 于点E,交 AC 于点F,点G 为DF 的中点,连接CG、OF、FB()求证:CG 是O 的切线;()若AFB 的面积是DCG 的面积的倍,求证:OFBC(第题)第课时 与圆有关的位置关系【自主梳理】圆外 圆上 圆内相离 相切 相交()圆心 切点()外离 外切 RrdRr dRr dRr()唯一()切点()垂直()线段()相等 平分【当堂过关】B A D()连接OD,(第题
17、)EF 是O 的切线,ODEF又 BHEF,ODBH ODBDBH ODOB,ODBOBD OBDDBH BD 平分ABH()过点O 作OGBC 于点G,则BGCG,在 RtOBG 中,OGOBBG ()OACD,H 为CD 的中点,即CHDH在 RtOHD 中,O,ODH又 OD,OH OD根据勾股定理,得 HDODOH 则CDHD()OAOD,O,AOD 为等边三角形 ODAD OADODA又 ADDB,DABDBA OAD ODA DAB DBA(ODADAB)OADDAB,即OAB则 AB 为圆O 的切线【课后精练】B D A ()OBBP理由:连接OC,(第题)PC 切O 于点C,O
18、CP OAOC,OAC,OACOCA COP P在 RtOCP 中,OC OPOBBP()由()得,OB OP,O 的半径是,APOB BCCD,CADBAC BAD P,E在 RtAEP 中,AE AP ()连接 AM,(第题)ABC 是等边三角形,BBAC KACBAC M 与BA 的延长线AK 及边AC 均相切,KAMCAM KAC KAMB AMBC()ABC 是等边三角形,BBACACB KACBAC,FCA M 与BA 的延长线AK、BC 的延长线CF 及边AC 均相切,KAM CAM KAC ,FCMACM FCA KAMB,FCMB AMBC,CMAB 四边形 ABCM 是平行四边形D()在ABC 中,AB 是O 的直径,ACB又 OAOC,AACO在 RtDCF 中,点G 为DF 的中点,CGGF(第题)GCFCFG DEAB,CFGAFE,在 RtAEF 中,AAEF ACOGCF,即GCO CGOC CG 是O 的切线()AB 是O 的直径,ACB,即 ACBD又 CDBC,点G 为DF 的中点,SAFB SABC SBCF (ACBCCFBC),SDCG SFCD DCCF BCCF AFB 的面积是DCG 的面积的倍,(ACBCCFBC)BCCF ACCF,即点F 是AC 的中点 点O 是AB 的中点,OF 是ABC 的中位线 OFBC
