1、 空间与图形 第课时 圆的有关概念及性质 能解释圆、弧、弦、圆心角、圆周角等概念,能识别等圆、等弧能证明垂径定理及其推论、圆周角定理及其推论;掌握圆周角与圆心角及其所对弧的关系;会用它们解决圆中角、弦的有关计算和证明问题能说出三角形的内心和外心圆的有关概念和性质()圆的有关概念圆:平面 上 到 的 距 离 等 于 的 所 有点组成的图形叫做圆,其中定点为 ,定长为 弧:圆 上 任 意 的 部 分 叫 做 圆 弧,简 称 弧,大于 半 圆 的 弧 称 为 ,小 于 半 圆 的 弧 称 为 弦:连接圆上任意两点的 叫做弦,经过圆心的弦叫做 ()圆的有关性质圆是轴对称图形;其对称轴是 的直线;圆是中
2、心对称图形,对称中心为 垂径定理:垂直于弦的 平分这条弦,并且平分弦所对的 推论:平分弦(不是 )的直径 于弦,并且平分弦所对的弧弧、弦、圆心角的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两 条 ,两 条 中 有 一 组 量 相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等推论:在 同 圆 或 等 圆 中,同 弧 或 等 弧 所 对 的 圆 周 角 ;直径所对的圆周角是 ;的圆周角所对的弦是直径三角形的内心和外心确定圆的条件:的三个点确定一个圆三角形的外心:三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形 的 外 接 圆,外 接 圆 的 圆 心 是 三 角 形 三边的 ,叫做三角形的外心三角形的内心:和 三
3、 角 形 的 三 边 都 相 切 的 圆 叫 做 三角形 的 内 切 圆,内 切 圆 的 圆 心 是 三 角 形 的交点,叫做三角形的内心与圆有关的角()圆心角:顶点在 的角叫圆心角圆心角的度数等于它所对的 的度数()圆周角:顶 点 在 ,两 边 分 别 和 圆 相 交 的 角,叫圆周角圆 周 角 的 度 数 等 于 它 所 对 的 弧 的 度 数 的 ()圆心角与圆周角的关系:同圆或等圆中,同弧或等弧所对的 等于它所对的圆心角的一半考点 垂径定理及其推论例 ()(湖北黄冈)如图,AB 为O 的直径,弦CDAB 于 点 E,已 知 CD,BE,则 O 的 直 径 为()ABCD()(陕 西)如
4、 图,在 半 径 为 的O 中,AB、CD 是 互 相 垂 直 的 两 条 弦,垂足为 P,且 ABCD,则 OP 的 长 为()ABC D【解析】()连 接 OC,根 据 题 意,CE CD,BE在RtOEC 中,设OCx,则OEx,故(x)x解得x即直径 AB()作OMAB 于点 M,ONCD 于点 N,连接 OP、OB、OD,由垂径定理、勾股定理,得 OMON,因为弦 AB、CD 互相垂直,所以DPB,因为 OMAB 于点 M,ONCD 于点 N,所以OMPONP所以四边形 MONP 是正方形,所以 OP【全解】()D()C【提醒】本 题 是 对 垂 径 定 理 和 解 直 角 三 角
5、形 的 综 合 应用,解题的关键是利 用 勾 股 定 理 构 造 直 角 三 角 形本 题 考 查了垂径定理及勾股定理的知识,解题的关键是正确地作出辅助线例 (吉林长春)如图,在同一平面内,有一组平行线l,l,l,相邻两条平行线之间的距离均为,点 O 在直线l 上,O 与直线l 的 交 点 为 A、B,AB,求 O 的 半径【解析】过点 O 作ODAB,由垂径定理可知 AD AB,再根据相邻两条平行线之间的距离均为可知OD,在RtAOD中利用勾股定理即可求出OA 的长【全解】过点O 作ODAB 交AB 于点D,AB,AD AB 相邻两条平行线之间的距离均为,OD在 RtAOD 中,AD,OD,
6、OAADOD 故O 的半径为:【小结】利用垂径定理进行证明或计算,通常利用半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形进行求解由于圆中一条弦对应两条弧以及圆内的两条平行弦与原心的位置关系有两种情况,所以在没有提供图形时,利用垂径定理进行计算时不要漏解考点 垂径定理的应用例 (山东东营)某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架(如图(),若不计木条的厚度,其俯视图如图()所示,已知 AD 垂直平分BC,ADBCcm,则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 cm()()【解析】连接OB,如图,当O 为ABC 的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径的最大 AD 垂直平分BC,ADBCcm,点O 在AD 上,BDc
7、m在 RtOBD 中,设半径为r,则OBr,ODr,r(r),解得r即圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为cm【全解】【提醒】此题考查把实物图转化为几何图形的能力以及垂径定理和勾股定理考点 圆周角定理及其推论例 ()(江苏南通)如图(),在O 中,AOB,则ACB ()()()(山 东 青 岛)如 图(),点 A、B、C 在 O 上,AOC,则ABC 的度数是 【解析】()在O 中,AOB,根据在同圆或 等 圆 中,同弧或等弧所对的圆 周 角 等 于 这 条 弧 所 对 的 圆 心 角 的 一 半,即 可 求 得ACB AOB ()优弧 ABC 所对的圆心角是,由圆周角定理,即可求得ABC 等于
8、优弧 ABC 所对的圆心角的度数,即 【全解】()()【提醒】本题的两小题考查了圆周角定理注意当圆周角是钝角时,它所对的圆心角是一个超过的角,这一点要注意例 (湖北咸宁)如图,量角器的直径与直角三角板 ABC 的斜边AB 重合,其中量角器刻度线的端点 N 与点A 重合,射线 CP 从CA 处出发沿顺时针方向以每秒 的速度旋转,CP 与量角 器 的 半 圆 弧 交 于 点E,第 秒 时,点E在量角器上对应的读数是 【解析】首先连接OE,由ACB,可得点C 在以AB 为直径的O 上,即 得 AOEECA,而 ECA,所 以AOEECA【全解】【提醒】本题解 题 的 关 键 是 证 得 点 C 在
9、O 上,注 意 辅助线的作法考点 圆周角定理、垂径定理的综合例 (辽 宁 沈 阳)如 图,O 是 ABC 的 外 接圆,AB 是O 的直径,D 为O 上一点,ODAC,垂足为 E,连接BD()求证:BD 平分ABC;()当ODB时,求证:BCOD 空间与图形 【解析】()由ODAC,OD 为半径,根据垂径定理,即可得CDAD,又由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可证得BD 平分ABC;()首先由 OBOD,易求得AOD 的度数,又由 ODAC 于点E,可求得A 的度数,然后由 AB 是O 的直径,根据圆周角定理,可得ACB,继而可证得BCOD【全解】()ODAC,OD 为半径,C
10、DAD CBDABD BD 平分ABC()OBOD,OBDODB AODOBDODB又 ODAC 于点E,OEA A OEA AOD又 AB 为O 的直径,ACB在 RtACB 中,BC AB,OD AB,BCOD【小结】有关 圆 的 题 目,圆 周 角 与 它 所 对 的 弧 常 互 相 转化,利用垂径定理得到弧相等,进而转化为它们所对的圆周角相等,这是一条重要的解题思路(山东泰安)如图,AB 是O 的 直 径,弦 CDAB,垂足为 M,下列结论不成立的是()ACMDMBCBDBCACDADCDOMMD(第题)(第题)(云南)如图,AB、CD 是O 的两条弦,连接 AD、BC若BAD,则BC
11、D 的度数为()A B C D(江 苏 泰 州)如 图,ABC 内 接 于 O,ODBC 于点D,A,则OCD 的度数是()ABCD(第题)(第题)(广东湛江)如 图,在 半 径 为 的 O 中,OC 垂 直 弦AB 于 点 D,交 O 于 点 C,AB,则 CD 的 长 是 (浙江台州)把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示,已知EFCD厘米,则球的半径为 厘米(第题)(第题)(浙江衢州)工程上常用钢珠来测量零件 上 小 圆 孔 的宽口,假设钢珠的直径是mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为mm,如图所示,则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为 mm(宁夏)在O 中,直径 ABC
12、D 于点E,连接 CO 并延长交AD 于点F,且CFAD求D 的度数(第题)(湖南长沙)如图,A、P、B、C 是半径为的O 上的四点,且满足BACAPC()求证:ABC 是等边三角形;()求圆心O 到BC 的距离OD(第题)【基础达标】(重庆)如图,已知 OA、OB 是O 的两条半径,且 OAOB,点C 在O 上,则ACB 的度数为()ABCD(第题)(第题)(江苏苏州)如图,已知 BD 是 O 的直径,点 A、C 在O 上,AB BC,AOB,则 BDC 的 度 数 是()ABCD(黑龙江哈尔滨)如图,O 是ABC 的外接圆,B,OPAC 于点P,OP,则O 的半径为()A B CD(第题)
13、(第题)(四川广元)如图,A、B 是O 上两点,若四边形ACBO是菱形,O 的 半 径 为r,则 点 A 与 点 B 之 间 的 距 离 为()A rB rCrDr(浙 江 嘉 兴)如 图,在 O 中,直 径 AB 弦 CD 于点 M,AM,BM,则CD 的长为 (第题)(第题)(贵 州 遵 义)如 图,AB 是 O 的 弦,AB 长 为,P 是O 上一个动点(不与 A、B 重合),过点 O 作OCAP 于点C,ODPB 于点D,则CD 的长为 (贵州六盘水)当宽为cm 的刻度尺的一边与圆相切时,另一边与圆的两个交点处的读数如图所示(单位:cm),那么该圆的半径为 cm(第题)(江苏南通)如图
14、,O 的半径为 cm,弦 ABCD,ABcm,CDcm,圆心 O 位于AB、CD 的 上 方,求AB 和CD 的距离(第题)【综合拓展】(黑龙江 大 庆)如 图 所 示,已 知 ACD 和 ABE 都 内接于同一个圆,则ADCAEBBAC 等于()ABCD(第题)(第题)(海南)如 图,点 A、B、O 是 正 方 形 网 格 上 的 三 个 格点,O 的 半 径 是 OA,点 P 是 优 弧AmB 上 的 一 点,则tanAPB的值是()AB C D(广西玉林)如图,矩形 OABC 内接于扇形 MON,当CNCO 时,NMB 的度数是 (第题)第课时 圆的有关概念及性质【自主梳理】()定点 定
15、长 圆心 半径 两点间 优弧 劣弧 线段 直径()任意一条过圆心 圆心直径 两条弧 直径 垂直弧 弦 相等 直角 不在同一直线上 垂直平分 线 的 交 点 三 条 角平分线()圆心 弧()圆上 一半()圆周角【当堂过关】D C A 连接BD(第题)AB 是O 的直径,BDAD又 CFAD,BDCF BDCC又 BDC BOC,C BOC ABCD,C ADC()在ABC 中,BACAPC,又 APCABC,ABC ACB BAC ABC ABC 是等边三角形(第题)()ABC 为等边三角形,O 为其外接圆,O 为ABC 的外心 BO 平分ABC OBD OD 【课后精练】A C A B 过点O 作弦AB 的垂线,垂足为 E,延长 AE 交CD于点F,连接OA、OC,ABCD,OFCD ABcm,CDcm,AE AB cm,CF CD cm,在 RtAOE 中,OEOAAE cm,在 RtOCF 中,OFOCCF cm,EFOFOEcm故 AB 和CD 的距离为cmB A
