1、2021年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校5月联考高三数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合，集合，则（ ）ABCD2已知为实数，复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，若，则（ ）ABCD3在等比数列中，则（ ）ABCD4甲、乙、丙、丁四位同学决定去巴城老街、千灯古镇、周庄游玩，每人只能去一个地方，周庄一定要有人去，则不同游览方案的种数为（ ）ABCD5关于直线，有下列四个命题：甲：直线经过点；乙：直线经过点；丙：直线经过点；丁：如果只有一个假命题，则该命题是（ ）A甲B乙C丙D丁6已知的外心为，则的值是
2、（ ）ABCD7如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，线段与另一条渐近线交于点，且的面积是面积的倍，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD8已知实数，满足，则（ ）ABCD二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分）9已知，均为正数，且，则（ ）ABCD10如图，在棱长为的正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ）A三棱锥的体积是B平面C平面与平面所成的二面角为D异面直线与所成角的范围是11已知函数的图象上，对中心与对称轴的最小距离为，则下列结论正确
3、的是（ ）AB当时，C若，则D若，则的值为12函数，若时，有，是圆周率，为自然对数的底数，则下列说法正确的是（ ）ABCD，则最大三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13在的二项展开式中，的系数是 14请写出满足条件“对任意的恒成立，且在上不是增函数”的一个函数： 15已知抛物线，直线过抛物线的焦点与抛物线交于，两点，以为直径的圆与抛物线的准线的公共点是，则直线的斜率 16无人侦察机在现代战争中扮演着非常重要的角色，我国最新款的无人侦察机名叫“无侦-”无侦-（如图1所示）是一款以侦察为主的无人机，它配备了台火箭发动机，动力强劲，据报道它的最大飞行速度超过马赫，比大多数防空导弹都要快
4、如图2所示，已知空间中同时出现了，四个目标（目标和无人机的大小忽略不计），其中，且目标，所在平面与目标，所在平面满足二面角的大小是，若无人机可以同时观察到这四个目标，则其最小侦测半径为 图1 图2四、解答题（本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17设，分别是中角，的对边，（1）求；（2）若，求面积的最大值18已知数列的前项和为，满足，（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项积为，若对任意的，恒成立，求实数的最大值19已知中，为，上的动点，且，将三角形沿折起至如图所示，使平面平面 （1）证明：平面平面；（2）求平面和平面所成的锐二面角的余弦值的取值范围20随着
5、我国互联网的不断发展，自媒体业飞速发展起来，抖音、快手、微信视频号等等视频自媒体APP，几乎是全民参与某中学社会调研社团研究抖音在生活中的普及程度，走向街头巷尾、公园，各行各业办公室，对市民进行调研，发现约有的人发过抖音小视频为进一步研究，从这些被采访的人中随机抽取人进行调查，假设每个人被选到的可能性相等（1）记表示发过抖音视频的人数，求的分布列；（2）随着研究人群范围的扩大，为提高效率，研究组在对某些行业人群集中调研时，先随机抽取一人，如果他发过抖音小视频，就不再对该群体中其他人进行调查，如果没有发过抖音小视频，则继续随机抽取，直到抽到一名发过抖音小视频的人为止，并且规定抽样的次数不超过次，
6、（其中小于当次调查的总人数），在抽样结束时，抽到的没发过抖音视频的人数为，求的数学期望21已知抛物线的焦点为点，为上一点，若点到原点的距离与点到点的距离都是（1）求的标准方程；（2）动点在抛物线上，且在直线的右侧，过点作椭圆的两条切线分别交直线于，两点当时，求点的坐标22已知函数（1）当时，求的导函数在上的零点个数；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围2021年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校5月联考高三数学参考答案1-8 BBAB CDCD9-12 BC AB BD ABD13 14【答案不唯一】 15 1617解：（1），（2），即，当且仅当时取等号面积的最大值为18
7、解：（1）由，得是首项为，公差为的等差数列，当时，符合上式，所以（2），因为对任意的，恒成立，所以，即19解：（1）证明：由题意知，而平面，平面，平面，平面又平面，平面平面（2）【解法一】延长，交于点，则为平面和平面的交线过作于，连接平面，又，平面，所以即为平面与平面所成的角；设，则，且，在中，令，则【解法二】设，则，且由（1）知，两两互相垂直，分别以，为轴，轴，轴建立直角坐标系，则，则，设平面的法向量为，则，解得取，又平面的法向量为，所以，所以所以平面和平面所成的锐二面角的余弦值的取值范围是20解：（1）由题意知，故的所有可能为，的分布列为（2）依题意，的所有可能的值是，当时，；当时，由，得
8、，21解：（1）设，则，解得（负值舍去）（2）不妨设，设过点作椭圆的切线方程为，由，得，由得，所以，在中令得，解得，点的坐标为22解：（1），所以是的一个零点令，则时，所以在上单调递减，在上单调递增，则又，且，所以在上存在唯一零点，则在上亦存在唯一点因为是奇函数，所以在上也存在唯一零点综上所述，当时，的导函数在上的零点个数为（2）不等式恒成立，即不等式恒成立令，则等价于不等式（1）恒成立，若，即时，不等式（1）显然成立，此时；若时，不等式（1）等价于（2）设，则当时，令，则，且，在，上单调递减，在上单调递增，又，所以在上恒成立，所以在上单调递减，则，显然为偶函数，故在上的最大值为，因此，综上所述，满足题意的实数的取值范围为
