1、宜昌市人文艺术高中2018年秋季学期期中阶段性测试高二年级数学（理科）试卷考试时间：120分钟；命题人：周莉注意：本试卷包含、两卷。第卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知直线：和：互相平行，则实数A. 或3B. C. D. 或2. 已知经过两点和的直线的斜率大于1，则m的取值范围是A. B. C. D. 3. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号1，2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号
2、码为29，则抽到的32人中，编号落入区间的人数为 A. 7B. 9C. 10D. 124. 如图是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填的是A. i10B. i20D. i20A. B. C. D. 5. 已知，的平均数为10，标准差为2，则，的平均数和标准差分别为A. 19和2B. 19和3C. 19和4D. 19和86. 给出下列命题：若空间向量空间任意两个单位向量必相等若空间向量在正方体中，必有向量1，的模为；其中错误命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 47. 用秦九韶算法求多项式在时，的值为 A. 2B. C. 4D. 8. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A
3、. 16B. 26C. 32D. 9. 已知m、n为空间两条不同直线，、为不同的平面，则下列命题正确的是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则10. 已知M是圆C：上的动点，点，则MN的中点P的轨迹方程是A. B. C. D. 11. 已知圆：，圆：点分别是圆、圆上的动点，P为x轴上的动点，则的最大值是A. B. 9C. 7D. 12. 已知四面体的外接球的球心O 在AB 上，且平面ABC，若四面体的体积为，求球的表面积A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若，三点共线，则m的值为_ 14. 从圆外一点向这个圆引切线，则切线的方程为_ 15. 若两
4、个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是_ 16. 如图所示，在四棱锥中，底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，请你补充一个条件_，使平面MBD平面PCD，DMPCDMBMBMPC PM=MC(填写你认为是正确的条件对应的序号三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知公差不为零的等差数列满足：，且是与的等比中项求数列的通项公式；设数列满足 ， 求数列的前n项和18. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 判断的形状；若，点D为AB边的中点，求的面积19.某单位为了了解用电量y度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温 气温141286用电
5、量度22263438求线性回归方程；参考数据： ) 根据的回归方程估计当气温为时的用电量附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：20.如图，在三棱柱中，已知，侧面求直线与底面ABC所成角的正弦值；在棱不包含端点C，上确定一点E的位置，使得要求说明理由在的条件下，若，求二面角的大小21.已知圆C：，直线l：，求证：对，直线l与圆C总有两个不同的交点A、B；求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；是否存在实数m，使得圆C上有四点到直线l的距离为？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由22.已知圆C：，直线l： 求直线l所过定点A的坐标；求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的
6、值及最短弦长；已知点，在直线MC上为圆心，存在定点异于点，满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数宜昌市人文艺术高中2018年秋季学期期中阶段性测试答案和解析【答案】1. A2. D3. C4. C5. C6. C7. B8. C9. D10. A11. B12. B13. 414. 或15. 16. 或17. 解：设等差数列的公差为d，且是与的等比中项，解得，18. 解：中，由正弦定理可得，即，即，即，或，或，故为直角三角形或等腰三角形若，则为等腰三角形，则，如图所示：点D为AB边的中点，中，由余弦定理可得，即，的面积19. 解：， 把代入回归方程得，解得
7、回归方程为；当时，估计当气温为时的用电量为30度20. 解：如图，以B为原点建立空间直角坐标系，则0，2，2，直三棱柱中，平面ABC的法向量，又，设与平面ABC所成角为，则设y，0，则，即1，所以E为的中点0，则，设平面的法向量，则，取1，又平面，平面的法向量，二面角为21. 证明：圆C：的圆心为，半径为，所以圆心C到直线l：的距离所以直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同的交点；解：设中点为，因为直线l：恒过定点，当直线l的斜率存在时，又，所以，化简得当直线l的斜率不存在时，中点也满足上述方程所以M的轨迹方程是，它是一个以为圆心，以为半径的圆解：假设存在直线l，使得圆上有四点到直线l的
8、距离为，由于圆心，半径为，则圆心到直线l的距离为，由于圆心，半径为，则圆心到直线l的距离为化简得，解得或22. 解：依题意得，令且，得，直线l过定点，当时，所截得弦长最短，由题知，得，由得，圆心到直线的距离为，最短弦长为法一：由题知，直线MC的方程为，假设存在定点满足题意，则设，得，且整理得，上式对任意恒成立，且解得或，舍去，与M重合综上可知，在直线MC上存在定点，使得为常数法二：设直线MC上的点取直线MC与圆C的交点，则取直线MC与圆C的交点，则令，解得或舍去，与M重合，此时若存在这样的定点N满足题意，则必为，下证：点满足题意，设圆上任意一点，则，综上可知，在直线MC上存在定点，使得为常数【
9、解析】1. 【分析】由，解得经过验证即可得出【解答】解：由，解得或经过验证都满足两条直线平行，或故选：A本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2. 解：由题意知：，得，即，故选：D求出直线斜率，得到关于m的不等式，求出m的范围即可本题考查了直线的斜率问题，考查不等式问题，是一道基础题3. 【分析】根据系统抽样的定义先确定每组人数为人，即抽到号码的公差，然后根据等差数列的公式即可得到结论本题主要考查系统抽样的定义及应用，转化为等差数列是解决本题的关键【解答】解：根据系统抽样的定义先确定每组人数为人，即抽到号码的公差，第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为29，等
10、差数列的首项为29，则抽到号码数为，由，得，即编号落入区间的人数为10人故选C4. 【分析】本题考查的知识点是程序框图，利用当型循环结构进行累加运算时，如果每次累加的值为循环变量值时，一般条件为循环条件小于等于终值根据已知中程序的功能是求的值，由累加项分母的初值和终值可以判断循环次数，进而得到条件【解答】解：由于程序的功能是求的值，分母n的初值为1，终值为39，步长为2，故程序共执行20次，故循环变量i的值不大于20时，应不满足条件，继续执行循环，大于20时，应满足条件，退出循环，故判断框内应填的是故选C5. 【分析】利用平均数及标准差的性质直接求解本题考查平均数和标准差的求法，考查推理论证能
11、力、运算求解能力、考查整体思想、转化化归思想，是基础题【解答】解：，的平均数为10，标准差为2，的平均数为：，标准差为：故选：C6. 解：在中，若空间向量，向量与方向不一定相同，故是假命题；在中，空间任意两个单位向量的模必相等，但方向不一定相同，故是假命题；在中，若空间向量，则向量与不一定相等，故是假命题；在中，在正方体中，由向量相等的定义得必有，故是真命题；在中，由模式的定义得向量1，的模为，故是真命题故选：C在中，向量与方向不一定相同；在中，空间任意两个单位向量的方向不一定相同；在中，若空间向量，则向量与不一定相等；在中，由向量相等的定义得必有；在中，由模式的定义得向量1，的模为本题考查命
12、题真假的判断，考查空间空间向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于基础题7. 解：多项式，当时，故选B先将多项式改写成如下形式：，将代入并依次计算，的值，即可得到答案本题考查的知识点是秦九韶算法，其中熟练掌握秦九韶算法的运算法则，是解答本题的关键8. 【分析】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征及求相关几何量的数据是解答本题的关键，几何体是三棱锥，根据三视图可得三棱锥的一侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，把数据代入棱锥的表面积公式计算即可解：根据三视图知：该几何体是三棱锥，且三棱锥的一个侧棱
13、与底面垂直，高为4，如图所示：其中平面ABC，由三垂线定理得：，该几何体的表面积故选C9. 解：对于A，只有和交线垂直，才能得线面垂直，故错；对于B，与即可以平行，也可以相交，故错；对于C，若，则a、b平行或异面，故不正确；对于D，若，面内一定存在直线存在与直线m平行，则，正确；故选：D 本题考查空间直线的位置关系中平行的判定，直线与平面平行、垂直的性质定理等，要注意判定定理与性质定理的综合应用10. 解：设线段MN中点，则在圆C：上运动，即故选A设出线段MN中点的坐标，利用中点坐标公式求出M的坐标，根据M在圆上，得到轨迹方程本题考查中点的坐标公式、求轨迹方程的方法，考查学生的计算能力，属于基
14、础题11. 解：圆：的圆心，半径为1，圆：的圆心，半径是3要使最大，需最大，且最小，最大值为，的最小值为，故最大值是关于x轴的对称点，故的最大值为，故选：B先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使最大，需最大，且最小，最大值为，的最小值为，故最大值是，再利用对称性，求出所求式子的最大值本题的考点是圆的方程的综合应用，主要考查圆的标准方程，点与圆的位置关系，体现了转化及数形结合的数学思想12. 【分析】本题考查了球与几何体的组合体，解题关键是利用转化思想求出半径，属于中档题由所在的圆是大圆，为球半径得四面体的体积为，求得，即可求球的表面积【解答】解：如图所示，四面体的外接球的球心O在AB上，平面AB
15、C，所在的圆是大圆，为球半径四面体的体积为，又，则，球的表面积，故选B13. 解：由题意可得，故答案为4由三点共线的性质可得AB和AC的斜率相等，由，求得m的值本题考查三点共线的性质，当A、B、C三点共线时，AB和AC的斜率相等14. 解：分两种情况考虑：若切线方程斜率不存在时，直线满足题意；若切线方程斜率存在时，设为k，此时切线方程为，即，直线与圆相切，圆心到切线的距离，即，解得：，此时切线方程为，即，综上，切线方程为或故答案为：或 当切线方程斜率不存在时，直线满足题意；当切线方程斜率存在时，设出切线方程，根据圆心到切线的距离列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时切线方程，综上
16、，得到满足题意的切线方程此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，利用了分类讨论的思想，分类讨论时注意考虑问题要全面，做到不重不漏15. 【分析】本题考查不等式成立的条件，注意运用转化思想，求最值，同时考查乘1法和基本不等式的运用，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题和一小题【解答】解：正实数x，y满足，则，当且仅当，取得最小值4由有解，可得，解得或故答案为16. 解：在四棱锥中，底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，平面PAC，当或时，即有平面MBD而PC属于平面PCD，平面平面PCD故答案为：或由已知得，从而平面PAC
17、，进而由此得到当或时，平面平面PCD本题考查面面垂直的条件的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用17. 根据等差数列的通项公式列方程组，求出首项和公差即可得出通项公式；利用裂项法求和本题考查了等差数列的性质，数列求和，属于中档题18. 由题意利用正弦定理、二倍角的余弦公式、诱导公式可得，可得，或，从而判断的形状若，则为等腰三角形，则，中，由余弦定理求得的值，可得的面积本题主要考查正弦定理、余弦定理，二倍角的余弦公式、诱导公式，属于中档题19. 求出x，y的均值，再由公式，计算出系数的值，即可求出线性回归方程；代入线性回归方程，计算出y的值，即为当气
18、温为时的用电量本题考查了线性回归方程过数据中心的特点，属于基础题20. 求出平面的法向量与直线所在的向量，利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为线面角即可根据点的特殊位置设出点的坐标为y，再利用向量的基本运算证明两个向量垂直即可证明两条直线相互垂直结合题意求出两个平面的法向量求出两个法向量的夹角，再转化为两个平面的二面角即可解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征以便建立空间直角坐标系，进而结合向量的基本运算计算空间角证明线面垂直，但向量法对运算能力有较高的要求21. 本题考查点到直线的距离公式，直线的一般式方程，轨迹方程，直线和圆的方程的应用，考查转化思想，考查分析问题解决问题的能
19、力，计算能力，是中档题圆心C到直线l：的距离，可得：对，直线l与圆C总有两个不同的交点A、B；设中点为，利用，即可求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；利用圆心到直线l的距离为，求出m的范围22. 本题考查直线与圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力利用直线系方程的特征，直接求解直线l过定点A的坐标当时，所截得弦长最短，由题知，求出AC的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可法一：由题知，直线MC的方程为，假设存在定点满足题意，则设，得，且，求出，然后求解比值法二：设直线MC上的点取直线MC与圆C的交点，则，取直线MC与圆C的交点，则，通过令，存在这样的定点N满足题意，则必为，然后证明即可